Nota 10. Función inversa - [Detalles]

En esta nota explicamos el concepto de función inversa, partiendo de los conceptos de función inversa derecha y función inversa izquierda, vemos varios ejemplos relacionados y demostramos que si una función tiene tanto inversa derecha como izquierda entonces esta es la función inversa y además es única.

Función inversa - [Detalles]

Explicamos y definimos la inversa de una función, lo cual, dada una función "f(x)", definimos una nueva función la cual llamamos su función inversa, y damos las propiedades que debe cumplir.

Ejercicio Teorema de la Función Inversa - [Detalles]

En este video, aplicaremos el teorema de la función Inversa para demostrar que, si una función $f$ posee una primitiva, entonces su función inversa también la tiene.

Diapositivas sobre composición de funciones y función inversa - [Detalles]

Definimos 3 tipos de funciones que serán de utilidad en nuestro curso que son la función identidad, función restricción y la función inclusión; se muestra la operación que se puede realizar con funciones llamada composición, en esta se manifiesta cuáles son las condiciones necesarias para componer 2 funciones, entre estos temas se muestra la relación que tiene la función inversa con la función idnetidad y la composición, finalmente se demuestran unas propiedades sencillas de la función identidad. Durante toda la explicación se ponene ejemplos para la comprensión del alumno.

Unicidad de la función inversa - [Detalles]

Continuamos con la explicación de la función inversa, y demostramos que la función inversa de una función "f(x)" es única.

Equivalencia entre funciones biyectivas e invertibles - [Detalles]

Definimos la inversa de una función, demostramos principalmente que: Una función tiene inversa si y sólo si, es biyectiva. Además de esto demostramos otro par de Teoremas relacionados a la inversa de una función.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa. - [Detalles]

Estudio de los conceptos de función inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y de función inversa así cómo de resultados relacionados.

Diapositivas sobre funciones invertibles y biyectivas - [Detalles]

En este tema se demuestra una de las propiedades más importantes de todo el tema de funciones que es que una función es inversa de otra si la composición por ambos lados da la función identidad y segundo que si está función es biyectiva su inversa cumple que la composición resulta la identidad.

Introducción al teorema de la función inversa - [Detalles]

Enunciamos el teorema de la función inversa y lo explicamos. Probamos resultados auxiliares para su demostración.

Demostración del teorema de la función inversa - [Detalles]

Demostramos el teorema de la función inversa para varias variables (campos vectoriales). Damos un ejemplo de su aplicación.

Teorema de la Función Inversa - [Detalles]

En este video se hace una demostración del Teorema de la Función Inversa.

Continuidad de la función inversa - [Detalles]

Revisión de la relación entre una función, su inversa y la continuidad

Derivada de la función inversa - [Detalles]

Demostración y ejemplos de la derivada de la inversa de una función.

Nota 8. Imagen directa e inversa de una función. - [Detalles]

En esta nota seguimos hablando sobre funciones, vemos lo que significa que dos funciones sean iguales y definimos la imagen directa e imagen inversa de una función, vemos algunos ejemplos de esto y probamos algunas propiedades.

Teorema de la función implícita y demostración - [Detalles]

Damos el teorema de la función implícita para campos vectoriales (varias variables). Lo demostramos con el teorema de la función inversa.

Funciones inversas - [Detalles]

En esta sección hablaremos acerca de las funciones inversas, para ello introduciremos conceptos como el de inversa derecha y el de inversa izquierda, veremos como se relacionan con los conceptos anteriores de función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.

Funciones inyectivas, crecientes y decrecientes - [Detalles]

En este video definimos el concepto de inyectividad, que es un criterio por el que una función puede tener una función inversa, y se discute la relación entre inyectividad y crecimiento-decrecimiento de funciones.

Definición de función - [Detalles]

Definimos que es una función, vista como una relación entre conjuntos. Cabe mencionar que una función es una relación entre conjuntos, pero no toda relación entre conjuntos es una función, damos ejemplos que esto último

Ejercicio Representación de funciones con función par e impar - [Detalles]

En este video explicamos cómo descomponer cualquier función en dos compañeras esenciales: una función par y una función impar.

Funciones, Funciones en JAVA, Declarar, definir y usar una función - [Detalles]

Declarar, definir y usar una función - Cómo se declara y define una función universalmente- Ejemplo de cómo usar una función así como convenciones y parámetros formales y actuales.

Ejemplo de la unión de funciones - [Detalles]

Se demuestra que la función inversa de la unión de dos cinjuntos es la unión de las funciones inversas de cada conjunto.

Ejemplos de funciones invertibles - [Detalles]

Se muestran 2 ejemplos en donde se expresan 2 funciones y buscamos su función inversa en caso de que esta exista.

21. Logaritmo complejo y potencias complejas - [Detalles]

Con la motivación de definir una función inversa para la exponencial, analizaremos como podemos hacerlo de una manera que no haya problemas, introduciremos el logaritmo complejo y a la postre podremos dar una definición formal de "elevar un número complejo a otro".

Funciones (parte II) - [Detalles]

En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de como se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.

Aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton - [Detalles]

En esta entrada veremos ejemplos y aplicaciones del teorema de Cayley-Hamilton, como encontrar la inversa de una matriz o su polinomio mínimo.

Biyectividad - [Detalles]

Usando los conceptos de función inyectiva y suprayectiva, definimos cuando una función es biyectiva, hablamos de algunos ejemplos para ilustrar funciones biyectivas y demostramos que la función identidad es biyectiva.

Aplicaciones en economía - [Detalles]

Estudio de aplicaciones en economía y de conceptos como: función de costo, función de ingreso, función de utilidad, costo marginal, ingreso marginal y utilidad marginal.

Diapositivas sobre supreyectividad, inyectividad y biyectividad - [Detalles]

Clasificamos 3 tipos de funciones que son muy importantes para nuestro estudio que son: las inyectivas, suprayectivas y biyectivas; mostramos ejemplos de ellas y también se dan las ideas generales sobre cómo demostrar que una función es de alguna de este tipo como muestra de ello se demuestra que la función identidad cumple con ser inyectiva, suprayectiva y biyectiva al mismo tiempo, asimismo se demuestran teoremas muy importantes para la composición entre 2 funciones inyectivas da una función inyectiva y ese mismo resultado para subreyectivad y biyectividad.

33. Integrales de funciones híbridas - [Detalles]

Ahora en esta entrada, ya armados con el concepto de función híbrida, veremos la definición de la integral de una función híbrida, con esto luego podremos pasar a la integral de una función compleja.

Nota 11. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. - [Detalles]

En esta nota introducimos los conceptos de funcón inyectiva, función suprayectiva y función biyectiva, así como varios ejemplos de estas. También demostramos que es equivalente que una función sea biyectiva a que sea invertible.

Funciones inyectivas - [Detalles]

En esta sección abordaremos el concepto de función inyectiva, notaremos que la función inyectiva será aquella que mande elementos distintos a elementos distintos bajo una función. Veremos varios ejemplos así como equivalencias a ser inyectiva, por ultimo veremos que pasa con la composición de funciones y la inyectividad.

Equipotencia - [Detalles]

En esta nueva unidad comenzaremos a hablar acerca de conjuntos infinitos, para ello necesitamos hablar acerca de la cantidad de elementos que poseen estos conjuntos. En esta sección comenzaremos a entablar una relación entre los elementos de un conjunto y otro, veremos que si podemos establecer una función biyectiva entre dos conjuntos diremos que tales conjuntos son equipotentes. También veremos que pasa si en lugar de una función biyectiva solo tenemos una función inyectiva.

Ejercicio Función discontinua en todas partes - [Detalles]

Embárcate en un viaje por los misterios matemáticos mientras exploramos la famosa función de Dirichlet. En este video, nos sumergiremos en la estructura y propiedades de esta curiosa función, demostrando paso a paso cómo es discontinua en todos los puntos del dominio real.

Ejercicio Función con máximo global - [Detalles]

Si una función $f(x)$ es siempre positiva y tiende a $0$ cuando $x$ se acerca al infinito o al negativo infinito, ¿logra esta función alcanzar su valor máximo en algún punto?

Cuestionario de funciones trascendentes - [Detalles]

Este es un cuestionario para repasar el Módulo 18 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: función seno, coseno y sus respectivas propiedades, función exponencial, función logaritmica, etc.

Funciones de orden superior, Pasar una función como parámetro - [Detalles]

Pasar una función como parámetro - Implementar una interfaz funcional para pasar la función a parámetro. Introducción a las clases anónimas internas y a las LAMBDA

Ejemplos e intuición del teorema de la función implícita - [Detalles]

Damos ejemplos del teorema de la función implícita de varias variables para entenderlo mejor. Hablamos de la intuición detrás.

Los teoremas de Fermat y de Euler - [Detalles]

Vemos el pequeño teorema de Fermat y el Teorema de Euler. Primero demostramos el teorema de Euler, el cual nos da una relación de la función de Euler con una congruencia modulo "m", y usando este resultado demostramos el pequeño teorema de Fermat. 

Matrices invertibles - [Detalles]

Damos la definición de matrices invertibles. Probamos propiedades básicas y esbozamos un método inicial para encontrar la inversa de una matriz.

Tipos de relaciones entre conjuntos - [Detalles]

Hablamos de relaciones de conjuntos muy especiales, la relación identidad, la inversa de una relación, relación reflexiva, relación simétrica, relación transitiva y relación de equivalencia y damos un ejemplo de cada una.

Mini-cuestionario: Matrices invertibles mediante sistemas de ecuaciones - [Detalles]

Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo usar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar la inversa de una matriz

Relaciones - [Detalles]

En esta entrada vamos a ver el concepto de relación, definiremos nuevos conjuntos a partir de este concepto, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación. Concluiremos esta sección definiendo a la relación inversa.

Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]

Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler. 

Variables aleatorias continuas - [Detalles]

Presentamos el segundo tipo de variables aleatorias que son las continuas tomando un soporte infinito no numerable así como mostramos la relación de la función de masa con la función de distribución relacionado con el teorema fundamental del cálculo.

37. Consecuencias del teorema integral de Cauchy - [Detalles]

En esta entrada veremos unas cuantas consecuencias del Teorema Integral de Cauchy, tales como el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, el Teorema de Morera y más.

Composición de funciones - [Detalles]

Definimos la composición de dos funciones, la cual es una nueva función, vemos un ejemplo con una función numérica

Suprayectividad - [Detalles]

Usamos el conjunto Imagen, de una función, para definir cuando una función es suprayectiva, a través de gráficas y ejemplos representamos el concepto de suprayectividad.

Inyectividad - [Detalles]

Establecemos la regla para definir cuando una función es suprayectiva, a través de gráficas y ejemplos representamos el concepto de Inyectividad, damos una característica que todas las gráficas de una función inyectiva deben cumplir.

Concepto de función - [Detalles]

Estudio del concepto de función y algunos ejemplos.

Definición intuitiva de límite de una función - [Detalles]

Presentación de la idea intuitiva del límite de una función

Definición formal de límite de una función - [Detalles]

Definición formal del límite de una función

Límite de una función a través de sucesiones - [Detalles]

Estudio del límite de una función a través de sucesiones

Localización de máximos y mínimos. Monotonía de funciones. - [Detalles]

Estudio de los conceptos máximo y mínimo de una función, la derivada y la monotonía de una función y el Criterio de la primera derivada.

Funciones de distribución de probabilidad - [Detalles]

Definimos la función de distribución probabilística de una variable aleatoria, también demostramos que la función de distribución probabilística es efectivamente una distribución de probabilidad así como mostramos ejemplos de estas funciones.

Variables aleatorias discretas - [Detalles]

Presentamos el primer tipo de variables aleatorias que son las discretas tomando un soporte finito o infinito numerable, también se muestra la relación entre la función de masa de probabilidad y la función de distribución.

Diapositivas sobre imagen y preimagen de una función - [Detalles]

Damos la definición de 2 elementos de una función: la imagen y la preimagen; mostramos ejemplos de estos 2 conjuntos y el como identificarlos así como diferenciarlos, de igual modo enseñamos que al encontrar estos conjuntos es necesario realizar la demostración de la igualdad del conjunto con el propuesto como su preimagen o imagen.

Gráfica de una función - [Detalles]

Definimos formalmente la gráfica de una función de una variable (como un subconjunto de puntos que cumplen una propiedad). Vemos dos ejemplos con funciones usuales. 

Graficar funciones en coordenadas polares - [Detalles]

Vemos como graficar una función en el plano polar. Para mostrar un ejemplo tomamos una función del ángulo f(theta), y damos su grafica en el plano polar. 

Graficar funciones en coordenadas polares: otro método - [Detalles]

Damos un método alternativo para graficar una función en el plano polar. A partir de la gráfica de una función en coordenadas cartesianas, se puede usar como guía para dar la gráfica en coordenadas polares. 

Homología singular - El grado de una función entre esferas - [Detalles]

En este video definimos el grado de una función entre esferas y estudiamos sus propiedades básicas.

16. Diferenciabilidad en el sentido complejo - [Detalles]

Introducimos por fin el concepto de diferenciabilidad en el sentido complejo, veremos la definición de derivada de una función compleja y estudiaremos cuando una función es derivable y cuando no y las propiedades de estas.

43. Clasificación de ceros y singularidades de una función analítica - [Detalles]

En esta entrada vamos a definir lo que es una singularidad aislada de una función analítica y caracterizar los diferentes tipos que hay.

Nota 9. Composición de funciones. - [Detalles]

En esta nota vemos una operación entre funciones llamada composición, así como la prueba de que es una operación asociativa; también vemos varios ejemplos de composiciones y recursos interactivos que nos ayudan a entender mejor el tema, por ultimo introducimos una función muy importante: la función identidad.

43. Clasificación de ceros y singularidades de una función analítica - [Detalles]

Realizaremos unos ejercicios para aterrizar las definiciones de singularidad de una función, si es removible, polo o esencial con funciones muy bien conocidas.

Ejercicio Límite de función acotada y otra con valor $0$ - [Detalles]

Si $g(x)$ tiende a $0$ y $h(x)$ es una función acotada, ¿qué ocurre con el producto $g(x)h(x)$? En este video, exploramos y demostramos por qué este producto también tiende a $0$.

Cuestionario de funciones - [Detalles]

Este es un cuestionario para repasar el Módulo 16 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: valor de una función, grafica de una función y su relación, tabulación, etc.

Cuestionario de funciones algebraicas - [Detalles]

Este es un cuestionario para repasar el Módulo 17 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: función lineal, función cuadrática, sus propiedades, funciones polinomiales, etc.

Funciones, Parte 1 - [Detalles]

En este video se discute el concepto intuitivo de función, junto con otros conceptos asociados como dominio, codominio, regla de correspondencia y composición. Después se introduce la definición formal de función y se compara con la definición intuitiva. Finalmente se discuten algunos ejemplos.

Álgebra de límites - [Detalles]

En este video se demuestra que 1. El límite de la suma es la suma de los límites. 2. Si una función tiene límite cuando x tiende a un número a, entonces en alguna vecindad de a, la función está acotada. 3. El límite del producto de funciones es el producto de los límites. 4. El límite de la composición de funciones es el límite de la segunda componente cuando y tiende al límite de la primera componente cuando x tiende a un número a.

Ejemplos: determinar el dominio de una función - [Detalles]

En este video hacemos un par de ejemplos en los que se determina el dominio de una función, es decir, el dominio máximo de números reales, que es posible para una regla de correspondencia dada.

Razón de cambio instantáneo y derivada - [Detalles]

Se discute sobre la razón de cambio instantáneo de una función como el límite de razones de cambio en intervalos. Se define la función derivada. Se dan ejemplos de derivadas de funciones como las potenciales, raíz cuadrada, seno y las exponenciales. Se define (informalmente) la coinstante de Euler e.

Funciones de orden superior, Regresar una función como resultado - [Detalles]

Regresar una función como resultado - Aplicar métodos para obtener funciones como resultado. Anidar funciones.

Continuidad y diferenciabilidad de polinomios reales - [Detalles]

Definimos dos términos muy ocupados en general en matemáticas que son los conceptos de continuidad y derivada, éstos términos los definimos en general para funciones pero en nuestro módulo de álgebra lo limitamos a ocuparlo para polinomios, demostramos que todo polinomio es una función continua y también demostramos el teorema de valor intermedio y el teorema de la derivada de polinomios.

44. Teorema del residuo y aplicaciones - [Detalles]

En esta última entrada, definiremos el residuo de una función analítica y veremos el teorema del residuo, mediante el cual nos será posible evaluar integrales reales, tanto impropias como integrales definidas, de una manera sorprendentemente sencilla.

Teorema de Menelao - [Detalles]

Demostramos el teorema de Menelao, la forma trigonométrica del teorema de Menelao y el teorema de la división interna y externa

Teorema de Rolle y teorema del valor medio - [Detalles]

Demostración del teorema de Rolle y del teorema del Valor Medio.

Los Elementos de Euclides: Teorema 47. Teorema de Pitágoras - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 47 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la demostración del teorema de Pitágoras

Los Elementos de Euclides: Teorema 48. Recíproco del Teorema de Pitágoras. - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 48 de Los Elementos de Euclides. Aquí encontrarás la demostración del recíproco del teorema de Pitágoras.

El teorema espectral real - [Detalles]

En esta entrada enunciaremos y demostraremos el teorema espectral en el caso real. Una de las cosas que nos dice es que las matrices simétricas reales son diagonalizables. También nos garantiza que la manera en la que se diagonalizan es a través de una matriz ortogonal. Además, gracias al teorema espectral podremos, posteriormente, demostrar el famoso teorema de descomposición polar que nos dice cómo son todas las matrices.

Polinomios de Taylor (Parte 1) - [Detalles]

Estudio de los polinomios de Taylor: su definición formal y un teorema sobre ser una buena aproximación a una función dada.

Transformaciones de variables aleatorias continuas - [Detalles]

Mostramos dos métodos para realizar transformaciones de variables aleatorias. El primero es manipular directamente la función de distribución y la para el segundo método demostramos el teorema de cambio de variable, ambos métodos acompañados de ejemplos.

42. Series de Taylor y series de Laurent - [Detalles]

En esta última unidad, empezaremos por ver que toda función analítica puede ser representada por una serie de potencias bajo ciertas condiciones, esto es el teorema de Taylor, además veremos un tipo más de serie de potencias que es crucial para la representación de funciones analíticas.

Teorema de Pitágoras - [Detalles]

Bella demostración del teorema de Pitágoras. Se enuncia y se demuestra el teorema de Pitágoras

Factorización en números primos - [Detalles]

Vemos la factorización en números primos. Demostramos un teorema que nos dice que todo número entero mayor que uno se puede expresar como un producto de números primos. Mostramos un ejemplo y después veremos que este teorema está relacionado con el teorema fundamental de la aritmética. 

El teorema fundamental de la aritmética - [Detalles]

Hablamos sobre el teorema fundamental de la aritmética. Primero demostramos el lema de Euclides, y haciendo uso de este demostramos el teorema fundamental de la aritmética, el cual nos dice que: Todo número entero mayor que 1 se puede factorizar como producto de primos, y estos son únicos. ¡Es decir, la factorización es única! 

Teorema del Factor - [Detalles]

Explicamos el Teorema del Residuo, el cual nos dice que: El residuo de dividir un polinomio "p(x)" entre "x-a" (con "a" un escalar), es "p(a)", es decir que existe "q(x)" tal que: "p(x)=(x-a)*q(x)+r", con el residuo "r=p(a)". Mostramos algunos ejemplos y demostramos el teorema. 

Teorema para buscar las Raíces enteras y racionales de un polinomio - [Detalles]

Demostramos un teorema que nos ayuda a encontrar las raíces racionales o enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros. El teorema nos indica que basta con buscar en los divisores del término independiente ("a_0") y del coeficiente líder del polinomio ("a_n"). 

Semejanza de triángulos y teorema de Thales - [Detalles]

Demostramos el primer teorema de Thales y enunciamos el segundo teorema de Thales

Teorema de Pitágoras - [Detalles]

Demostraremos el teorema de Pitágoras y su reciproco, también veremos la ley del paralelogramo y el teorema de Apolonio.

Teorema de Thales - [Detalles]

Demostramos el teorema de Thales, el teorema de la bisectriz y sus recíprocos. También construimos el producto y cociente de dos segmentos.

Introducción al teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]

Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden y damos los primeros detalles para la demostración de dicho teorema.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden - [Detalles]

Se hace un generalización de la teoría preliminar vista en el teorema de existencia y unicidad de Picar-Lindelöf y se demuestra el teorema de existencia y unicidad para el caso general, es decir, para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden tanto lineales como no lineales

Teorema de Casey - [Detalles]

Demostraremos el teorema generalizado de Ptolomeo conocido como teorema de Casey y resolveremos algunos ejercicios.

Diapositivas sobre el teorema del binomio - [Detalles]

Enunciamos el teorema del binomio de Newton y el triángulo de Pascal, como estas 2 temas involucran combinatoria, se demuestra el teorema del binomio y se muestran ejemplos con el triángulo de Pascal y su relación con el número combinatorio. Finalmente se dejan una lista de ejercicios para practicar estos temas.

Teorema de Pitágoras - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el Teorema de Pitágoras, el cual relaciona la hipotenusa de un triángulo rectángulo con sus catetos mediante una formula. El Teorema de Pitágoras es válido solo para triángulos rectángulos. 

Teorema de Pitágoras - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el Teorema de Pitágoras, el cual relaciona la hipotenusa de un triángulo rectángulo con sus catetos mediante una formula. Usamos las fórmulas conocidas de un cuadrado para demostrar dicho teorema. 

El enunciado del teorema de van Kampen - [Detalles]

En este video damos una breve motivación para el enunciado del teorema de van Kampen. El video lo terminamos con el enunciado formal de dicho teorema. En un video posterior daremos la demostración. Espero que lo disfruten.

La demostración del teorema de van Kampen - [Detalles]

En este video damos la demostación del teorema de van Kampen. Este teorema es la herramienta computacional más poderosa para calcular grupos fundamentales.

Álgebra homológica - el teorema fundamental del álgebra homológica - [Detalles]

En este video enunciamos y demostramos el teorema fundamental del álgebra homológica. Seguramente el teorema más importante en esta área.

Homología singular - el teorema del punto fijo de Brouwer - [Detalles]

Como aplicación del cálculo de la homología de una esfera demostraremos el teorema del punto fijo de Brouwer en dimensiones arbitrarias. La estrategia es idéntica a la que ya usamos para demostrar el teorema de Brouwer en dimensión 2 con el grupo fundamental.

Algortimo de la división, teorema del factor y del residuo - [Detalles]

Acoplamos temas vistos en los enteros pero ahora para el anillo de los polinomios como el tema de divisibiliad y el teorema del algoritmo de la división conjuntamente con su demostración y su aplicación en la práctica. Asimismo se define lo que es un polinomio irreducible así como el teorema del facotor y el del residuo.

36. Teorema integral de Cauchy - [Detalles]

El Teorema Integral de Cauchy es un teorema importantísimo en el estudio de la variable compleja, veremos sus diferentes versiones y demostraciones.

Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]

El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.

Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía - [Detalles]

Para esta entrada nos apoyaremos en el diagrama de retícula propuesto anteriormente, con el cual introduciremos el segundo teorema de isomorfía. Posteriormente reforzaremos y daremos una versión mas intuitiva de este teorema.

Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía - [Detalles]

"Alguna vez te haz preguntado: ¿Qué ocurre con un cociente de cocientes?" Después de una breve introducción al tercer teorema de isomorfía, comenzaremos enunciándolo y probándolo a partir del primer teorema.

Los Elementos de Euclides: Teorema 24 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 24 de Los Elementos de Euclides. Este teorema prueba que si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales pero el ángulo comprendido por estos lados es mayor en el primer triángulo respecto del segundo, entonces el tercer lado del primer triángulo es mayor respecto del tercer lado del segundo triángulo.

Los Elementos de Euclides: Teorema 26 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 26 de Los Elementos de Euclides. En este teorema se demuestra el criterio de congruencia de triángulos ÁNGULO - LADO - ÁNGULO.

Los Elementos de Euclides: Teorema 27 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 27 de Los Elementos de Euclides. Este teorema prueba que si al incidir una recta sobre otras dos, hace los ángulos alternos iguales entre sí, entonces las dos últimas rectas son paralelas.

Los elementos de Euclides: Teorema 35 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 35 de Los Elementos de Euclides. Este teorema demuestra que los paralelogramos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas tienen áreas iguales.

Los elementos de Euclides: Teorema 36 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 36 de Los Elementos de Euclides. Este teorema nos dice que los paralelogramos que tienen bases iguales y que además están entre las mismas paralelas, tienen áreas iguales.

Introducción al teorema de Cayley-Hamilton - [Detalles]

En esta entrada introducimos el teorema de Cayley-Hamilton, otro de los teoremas importantes del curso. Intuitivamente este teorema nos dice que «el polinomio característico anula al operador lineal». Es decir, si $P(\lambda)$ es el polinomio característico de una transformación lineal $T$, entonces $P(T) = 0$ .

Teorema de Gauss - [Detalles]

En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices. Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.

El teorema de descomposición polar real - [Detalles]

En esta entrada veremos una de las consecuencias de el teorema espectral: el teorema de descomposición polar. Veremos que toda matriz $A$ tendrá una expresión de la forma $A = US$ donde $U$ es una matriz ortogonal y $S$ es una matriz simétrica positiva.

El teorema espectral y de descomposición polar complejos - [Detalles]

En esta entrada veremos el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.

Teorema del Valor Medio - [Detalles]

En este video demostraremos el Teorema del Valor Medio para derivadas, como consecuencia del Teorema de Rolle, que es demostrado previamente.

Funciones numéricas - [Detalles]

Damos ejemplos de funciones donde la relación es entre conjuntos de números, lo cual se denomina función numérica. Hablamos sobre como graficarla y cuales no son funciones.

Imagen y preimagen - [Detalles]

Damos la definición de la imagen y la preimagen de un elemento bajo una función cualquiera y damos algunos ejemplos sencillos.

Funciones - inclusión y restricción - [Detalles]

Vemos la definición de las funciones inclusión y restricción de una función, damos algunos ejemplos con funciones numéricas con sus graficas.

Método de las isoclinas - [Detalles]

Presentamos el método de las isoclinas para encontrar las soluciones de la ecuación dy/dt=f(t,y) mediante las curvas de nivel de la función f.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 2) - [Detalles]

Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función exponencial. Finalizamos el video con un ejemplo.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 3) - [Detalles]

Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función coseno o seno.

Transformada de Laplace y sus propiedades - [Detalles]

Definimos la transformada de Laplace de una función y demostramos algunas propiedades que nos servirán para resolver problemas de condición inicial.

Funciones pares e impares. - [Detalles]

Estudio de los conceptos de función par e impar y de resultados relacionados con las operaciones de este tipo de funciones.

Funciones crecientes y decrecientes. Funciones acotadas. - [Detalles]

Estudio de los conceptos de función creciente, decreciente y acotada, así cómo la revisión de ejemplos.

Funciones trigonométricas (Parte 1) - [Detalles]

Estudio de algunas identidades trigonométricas más utilizadas. Un primer acercamiento a las funciones seno y coseno, así como la definición de función periódica.

Teoremas sobre el límite de funciones - [Detalles]

Revisión de teoremas del límite de una función

Límites laterales - [Detalles]

Definición y ejemplos de límites laterales de una función

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados - [Detalles]

Al estudiar el caso no homogeneo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta un primer método que propone soluciones en forma de series similares a la función g

Longitud de una curva - [Detalles]

Enseñanza sobre el cálculo de la longitud de arco de una función en un intervalo.

Serie de Taylor y de Maclaurin - [Detalles]

Estudio de las series de Taylor y de Maclaurin como aproximación a una función.

Localización de máximos y mínimos. Regiones de convexidad y puntos de inflexión. - [Detalles]

Revisión del Criterio de la segunda derivada para encontrar máximos y mínimos de una función. Estudio de los conceptos convexidad, concavidad y puntos de inflexión.

Problemas de optimización - [Detalles]

Solución de algunos problemas de optimización haciendo uso del los criterios para hallar máximos y mínimos de una función.

Diferenciales - [Detalles]

Estudio del concepto de diferencial de una función y algunas aplicaciones.

Sistemas gradiente - [Detalles]

Estudiamos a los sistemas gradiente y sus principales propiedades. Además encontramos funciones de Lyapunov para puntos de equilibrio que sean mínimos locales estrictos de la función G que define al sistema.

Transformaciones de variables aleatorias - [Detalles]

Establecemos las bases para hacer transformaciones de variables aleatorias así como las hipótesis que deben cumplir como una composición de funciones, además demostramos que las funciones continuas son Borel-medibles y la composición de una función Borel-medible con una variable aleatoria es una variable aleatoria.

Diapositivas sobre funciones - [Detalles]

Definimos el término de función el cual es sumamente ocupado en matemáticas, se muestran ejemplos, explicamos las propiedades respecto a los conjuntos dominio y codominio que hacen diferentes a las funciones de las relaciones; también se abarca la igualdad entre 2 funciones y cuando se da.

Ejemplo de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas - [Detalles]

Se deja un ejemplo para demostrar que una función es inyectiva, suprayectiva y biyectiva; y otro en donde no lo es para mayor comprensión del tema para el alumno.

Cuestionario de gráfica de funciones - [Detalles]

Ponemos en práctica el tema de graficar una función sobre el plano cartesiano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.

Actividad Geogebra funciones en el plano polar - [Detalles]

En este nuevo interactivo nos muestra como una función en el plano cartesiano (como las conocemos) son deformadas en el plano polar creando que estas funciones se vean diferentes a como estamos acostrumbrados a visualizarlas.

Graficar funciones de dos variables - [Detalles]

Definimos formalmente la gráfica de una función de dos variables (como un subconjunto de puntos que cumplen una propiedad). Es análogo al caso anteriormente visto, pero el subconjunto de puntos ahora está en el espacio cartesiano. 

Homomorfismos inducidos - [Detalles]

En este video demostramos que cualquier función entre espacios topológicos induce una homomorfismo entre grupos fundamentales (con puntos bases adecuados).

Un criterio de levantamiento de funciones - [Detalles]

En este video demostramos un criterio que nos dice exactamente cuándo existe un levantamiento de una función con dominio arbitrario.

Unicidad del levantamiento de funciones - [Detalles]

En este video demostramos que si dos levantamientos de una función coinciden en al menos un punto, entonces coinciden en todo su dominio (siempre que el dominio sea conexo).

Homología singular - grupo fundamental vs primer grupo de homología - parte 2 - [Detalles]

En este video demostramos que la función del grupo fundamental de X al primer grupo de homología de X está bien definida y es un homomorfismo. Además demostramos que si X es arco-conexo entonces dicho homomorfismo en suprayectivo. Calcularemos el kernel en el siguiente video.

Complejos CW - funciones características y subcomplejos - [Detalles]

En este video definiremos lo que es una función característica y lo que es un subcomplejo de un complejo CW. Además daremos algunos ejemplos ilustrativos.

Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos - [Detalles]

Definimos las función exponencial, logaritmo y trigonométricas en los números complejos, asimismo se demuestran ciertas propiedades de estas funciones aaí como también la identidad de Euler.

Grupos cíclicos - parte 2 - [Detalles]

Se dan más propiedades de los grupos cíclicos y su relación con la función phi de Euler, se da una caracterización de los grupos cíclicos finitos.

Grupo cociente - [Detalles]

Se define el concepto de grupo cociente, se demuestra que es en efecto un grupo y se muestra que la función cociente es un homomorfismo con kernel el subgrupo en cuestión.

12. Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares. - [Detalles]

Chequemos un poquito de la definición de función y de sus partes real e imaginaria.

12. Funciones de variable compleja. Definiciones y preliminares. - [Detalles]

Comenzamos con el concepto de función, un objeto fundamental del estudio de la Variable Compleja, nos apoyaremos en nuestro conocimiento sobre funciones de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$ y notaremos cuales son sus diferencias y que propiedades se tienen en las funciones que toman valores en $\mathbb{C}$.

13. Funciones multivaluadas - [Detalles]

Ya que comenzamos nuestro estudio de las funciones de variable compleja, debemos introducir unas funciones llamadas "funciones multivaluadas" que no necesariamente cumplen con la definición usual de función, pero son de vital importancia cuando se habla de complejos.

14. Límites en $\mathbb{C}$ - [Detalles]

En esta entrada conoceremos el límite de una función de variable compleja, cuya definición no es lejana a la de funciones de variable real, para luego poder abrirnos paso hacia la continuidad.

26. Funciones complejas como transformaciones. Técnicas de graficación. - [Detalles]

Como sabemos, es un poco difícil visualizar la gráfica de una función que va de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$, este es más o menos el caso en funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$, por lo que para cerrar la unidad, estudiaremos algunos métodos que se pueden emplear para visualizar de cierta forma estas gráficas.

30. Series de potencias y funciones - [Detalles]

Una vez vistas las series de potencias, metámonos a ver como se relacionan con las funciones complejas y que puede pasar si una función está descrita por una serie de potencias.

32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]

Empezamos la unidad 4, en esta primera entrada, como preliminares, veremos algunas definiciones tales como la de una función híbrida, trayectoria o curva y algunas más, que mas adelante nos permitirán dar una definición de integral compleja.

Nota 7. Relaciones y funciones - [Detalles]

En esta nota se habla de lo que es una relación entre conjuntos y se indroducen conceptos como dominio, imagen y codominio de una relación. Las relaciones de conjuntos nos ayudan a comprender y definir lo que es una función entre conjuntos, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. La nota cuenta con varios ejemplos y recursos que nos ayudan a entender estos conceptos.

Nota 16. Los números naturales. - [Detalles]

En esta nota construimos los números naturales mediante el uso de conjuntos y la función sucesor, derivado de esto vemos los axiomas de Peano, entre ellos se encuentra el llamado "principio de inducción" el cual se utiliza mucho en pruebas relacionadas a números naturales; por ultimo definimos dos operaciones en este conjunto: la suma y el producto.

Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos. - [Detalles]

En esta nota vemos el principio del producto, el cual nos dice que la cardinalidad de el producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de sus cardinalidades, también vemos que si tenemos una función entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad son equivalentes ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación - [Detalles]

A partir de la entrada anterior, se puede definir el signo de una permutación. Lo cual guía a introducir la función signo y probar que es multiplicativa. Posteriormente se descubre al Grupo alternante.

Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo - [Detalles]

En esta entrada, nos enfocaremos en dos conjuntos fundamentales relacionados con los homomorfismos. En primer lugar, consideramos la colección de todos los elementos del dominio que son transformados en el elemento neutro del codominio. A este conjunto lo denominamos el núcleo del homomorfismo ϕ. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles la función ϕ y obtener el subconjunto correspondiente en el codominio. A este conjunto lo llamamos la imagen de ϕ. Estos dos subconjuntos desempeñan un papel crucial en el análisis de los homomorfismos.

Funciones - [Detalles]

Esta sección estará dedicada a un tipo de relaciones a las que llamaremos funciones. Este tema será de gran importancia pues utilizaremos funciones con mucha frecuencia a partir de ahora. En esta entrada abordaremos la definición de función, algunas de sus propiedades y ejemplos.

Funciones suprayectivas y biyectivas - [Detalles]

En esta entrada hablaremos acerca de funciones sobreyectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio, veremos ejemplos y que pasa con la composición de funciones. Tras definir este concepto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar un conjunto a través de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.

Ejercicio Funciones invertibles por un lado - [Detalles]

En este video, abordaremos un enigma matemático fundamental: Si \(f(g(x))\) es igual a la función identidad y \(g\) es inyectiva, ¿qué podemos deducir sobre \(f\)? A través de una demostración detallada y sistemática, revelaremos que \(f\) debe ser suprayectiva.

Ejercicio Discontinuidad y continuidad con valor absoluto - [Detalles]

En este video estudiamos una función \(f\) que es discontinua en todas partes, pero su valor absoluto resulta ser continuo en todo el dominio real.

Funciones - [Detalles]

En este capitulo de Cimientos Matemáticos veremos como las funciones son reglas matemáticas que asignan cada entrada de un conjunto (dominio) a una salida única en otro (contradominio). El dominio incluye todas las entradas posibles, mientras que el contradominio abarca las salidas. La gráfica de una función visualiza esta relación, y la regla de correspondencia define cómo se asocian dominio y contradominio.

Definición formal de gráfica conexa - [Detalles]

Definimos formalmente lo que es una gráfica conexa y sus componentes. Probamos dos resultados que confirman dos intuiciones claras: (1) que si en una gráfica de orden n todos los vértices tienen grado "grande" entonces la gráfica es conexa; (2) que si una gráfica de orden n tiene "muchas" aristas entonces la gráfica es conexa. En ambos casos se determina de manera exacta el significado de "muchas", en función de n.

Agente dirigido mediante tabla - [Detalles]

Se presentan los agentes dirigidos mediante tablas, es decir, agentes que ejecutan su función a partir de una tabla de percepciones y acciones.

Mundo del laberinto con tráfico - [Detalles]

Se modifica el mundo del laberinto para introducir los algoritmos de búsqueda informada y problemas de búsqueda con una función de costo.

Introducción a funciones - [Detalles]

En esta entrada revisamos el concepto de función matemática, así como la igualdad entre funciones.

Valor absoluto y más sobre el orden de los reales - [Detalles]

En este video definiremos la función valor absoluto, reconoceremos algunas de sus propiedades y veremos cómo son los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades que la involucran. Veremos también cómo se comporta el orden de los reales con operaciones como elevar al cuadrado y tomar recíprocos.

Funciones, Parte 2 - [Detalles]

En este video se discute exhaustivamente la naturaleza de la raíz cuadrada positiva de números reales no negativos, como función. El énfasis principal es mostrar que todo número real positivo tiene una raíz cuadrada positiva, haciendo uso del axioma del supremo.

Funciones, Parte 4 - [Detalles]

En este video sólo se muestra un ejemplo de problemas típicos de los libros de texto, consistente en "encontrar el dominio de una función".

Limites laterales - [Detalles]

En este video se explica la idea de los límites laterales, se hacen algunos ejemplos y se demuestra que cuando los límites laterales coinciden, el límite de la función existe y es igual al valor común de los límites laterales.

Introducción a las sucesiones de números reales. - [Detalles]

En este video se introduce la noción de sucesión de números reales como función real cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Se explica la notación y se dan pocos ejemplos. Al final se comenta sobre las sucesiones crecientes y acotadas, y cómo se comportan cerca del supremo de su imagen.

Distancia en R - [Detalles]

En este video se mencionan las propiedades de la diferencia en valor absoluto como una función que mide la distancia entre dos números reales, y se demuestra la desigualdad del triángulo en los números reales.

Derivación y continuidad - [Detalles]

En este video se demuestra que toda función derivable en continua.

Intervalos de crecimiento - [Detalles]

En este video se muestra la relación entre el signo de la derivada y la tendencia creciente/decreciente de una función. Al final se establece el criterio de la primera derivada para máximos y mínimos locales.

La pila de ejecución, Registros de llamadas a métodos - [Detalles]

Registros de llamadas a métodos - Dónde se guarda la información cada que se manda a llamar una función

La pila de ejecución, Alcance de variables en bloques - [Detalles]

Alcance de variables en bloques - Variables locales (bloque y función)

Interfaz gráfica de usuario (IGU), Diseño de la lógica de una calculadora simple - - [Detalles]

Diseño de la lógica de una calculadora simple - Parte 1/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.

Interfaz gráfica de usuario (IGU), Creación de una GUI con Netbeans - [Detalles]

Creación de una GUI con Netbeans - Parte 2/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.

Interfaz gráfica de usuario (IGU), Implementación de las transiciones en el código - [Detalles]

Implementación de las transiciones en el código - Parte 3/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.

Enchufes, Introducción a los enchufes - [Detalles]

Introducción a los enchufes - Definiciones, conceptos y función de los enchufes. Terminología importante así como los protocolos para enviar información.

Teorema de reducción gaussiana - [Detalles]

Demostarmos el teorema de reducción gaussiana, mostrando algoritmicamente que toda matriz puede ser llevada a una equivalente en forma escalonada reducida.

Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss - [Detalles]

Retomamos las formas bilineales y cuadráticas. Mostramos la identidad de polarización y sus consecuencias. Enunciamos el teorema de clasificación de Gauss.

Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el teorema espectral para transformaciones y matrices simétricas reales. Lo aplicamos a la clasificación de matrices positivas.

Teorema del binomio - [Detalles]

Explicamos y demostramos el Teorema del Binomio. La cual es una fórmula que proporciona el desarrollo de la n-ésima potencia de un binomio, hacemos el ejemplo para n=2.

Teorema del binomio ejemplo 1 - [Detalles]

Vemos un ejemplo usando el teorema del binomio. También damos consejos para calcular coeficientes en los términos que aparecen en la expansión de (a+b).

Teorema del binomio ejemplo 2 - [Detalles]

Usamos el Teorema del Binomio para demostrar, de forma muy sencilla y directa, que cierta serie es siempre cero.

El maximo común divisor como combinación lineal entera - [Detalles]

Demostramos un teorema que nos afirma que el máximo común divisor se puede escribir como una combinación lineal de sus dividendos. Hacemos uso de las propiedades de divisibilidad anteriormente vistas y después generalizamos el teorema para el máximo común divisor de un numero arbitrario de enteros. 

El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor - [Detalles]

Demostramos un teorema que relaciona el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos enteros "a", "b". El teorema nos dice que MCD(a,b)*MCM(a,b)=|a*b| 

Divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética - [Detalles]

Usando el teorema fundamental de la aritmética vemos algunas propiedades sobre los exponentes de la descomposición en primos de un divisor y su dividendo. Esto también nos da otro método para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en términos de la factorización de primos. 

Hay una cantidad infinita de números primos - [Detalles]

Para terminar esta sección demostramos un teorema de bastante relevancia, el cual nos dice que existe una cantidad infinita de numero primos. La demostración es sencilla y hacemos uso del teorema fundamental de la aritmética.  

Teorema sobre polinomios y números complejos - [Detalles]

Vemos y demostramos uno de los teoremas más importantes sobre polinomios: Si un número complejo es solución de un polinomio con coeficientes reales entonces su conjugado también es solución de ese mismo polinomio. Este teorema nos puede ayudar a encontrar soluciones de un polinomio. 

Potencias de números complejos - [Detalles]

Vemos el teorema de Moivre, el cual nos ayuda a calcular las potencias n-esímas de números complejos, de una forma muy facil (sin embargo, necesitamos la forma polar del complejo). Usamos el teorema de Moivre para calcular como ejemplo la potencia de algunos complejos y vemos como representar en el plano complejo la potencia de un complejo (podemos verlo como una rotación). 

Teorema de la derivada y la multiplicidad. Enunciados y ejemplo - [Detalles]

Vemos un teorema sobre la multiplicidad de la raíz de un polinomio, el cual nos dice que una raíz "a" de multiplicidad "m>1", es también raíz de la derivada del polinomio, con multiplicidad "m-1". También vemos un ejemplo sencillo. 

Teorema de la derivada y la multiplicidad. Demostración - [Detalles]

Damos la demostración del teorema de la derivada y la multiplicidad, el cual vimos en el video anterior. La demostración es relativamente sencilla teniendo en cuenta que sí "a" es de multiplicidad "m" en un polinomio entonces el polinomio es de la forma "(x-a)^m*Q(x)", por lo que podemos obtener su derivada de forma explícita, y demostrar que "a" es raíz de multiplicidad "m-1". 

Razón, semejanza y triángulos semejantes - [Detalles]

Demostramos el primer y segundo teorema de Thales y sus recíprocos, el teorema de Pitágoras y los criterios de semejanza de triángulos

Primer Teorema de Thales - [Detalles]

Demostramos el primer teorema de Thales

Segundo Teorema de Thales - [Detalles]

Demostramos el segundo teorema de Thales

Teorema de Pitágoras - [Detalles]

Demostramos el teorema de Pitágoras

Aplicacioneas del teorema de Pitágoras - [Detalles]

Damos algunas aplicaciones del teorema de Pitágoras

Caracterización de cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo - [Detalles]

Demostramos que por tres puntos no colineales pasa una única circunferencia, demostramos algunas propiedades de los cuadriláteros convexos, el teorema de Ptolomeo y su recíproco

Teorema de Ptolomeo - [Detalles]

Demostramos el teorema de Ptolomeo

Recíproco del Teorema de Ptolomeo - [Detalles]

Demostramos el recíproco del teorema de Ptolomeo

La línea de Simson y la circunferencia de los nueve puntos - [Detalles]

Definimos la proyección de un punto sobre una recta, demostramos el teorema de la línea de Simson y su recíproco y el teorema de la circunferencia de los nueve puntos

Teorema de la línea de Simson - [Detalles]

Enunciamos el teorema de la línea de Simson

Recíproco del Teorema de la línea de Simson - [Detalles]

Enunciamos el recíproco del teorema de la línea de Simson

Teorema de la bisectriz - [Detalles]

Demostramos el teorema de la bisectriz

Teorema de la bisectriz generalizada - [Detalles]

Demostramos el teorema de la bisectriz generalizada

Teorema de Ceva - [Detalles]

Demostramos el teorema de Ceva y su forma trigonométrica

Teorema de Ceva - [Detalles]

Demostramos la ida del teorema de Ceva

Teorema de Menelao - [Detalles]

Demostramos la ida del teorema de Menelao

Teorema de Desargues - [Detalles]

Demostramos la ida del teorema de Desargues

Teorema de Pascal - [Detalles]

Demostramos el teorema de Pascal

Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden - [Detalles]

Demostramos el Teorema de existencia y unicidad en su versión para ecuaciones lineales de primer orden

Teorema de existencia y unicidad. Ecuación integral asociada - [Detalles]

Damos los primeros detalles para la demostración del Teorema de existencia y unicidad de Picard. Encontramos una manera equivalente de resolver un problema de condición inicial, que es resolviendo una ecuación integral asociada.

Teorema de existencia y unicidad. Demostración de la unicidad - [Detalles]

Demostramos la parte de unicidad del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard, y previamente probamos dos lemas que nos ayudan a la demostración

Teorema de existencia y unicidad. Iteraciones de Picard - [Detalles]

Construimos las iteraciones de Picard que nos ayudarán a encontrar una solución al problema de condición inicial, bajo ciertas hipótesis que analizamos antes de demostrar la parte de la existencia del Teorema de Picard

Teorema de existencia y unicidad. Demostración de la existencia - [Detalles]

Demostramos la parte de existencia del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard, en un intervalo que construimos previamente mediante un lema

Teorema de existencia y unicidad. Dependencia continua de la condición inicial - [Detalles]

Concluimos el estudio al Teorema de existencia y unicidad analizando la dependencia continua de la solución al problema de condición inicial respecto a los valores de la condición inicial

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]

Probamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]

Probamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales NO homogéneos con coeficientes constantes.

Teorema del valor intermedio - [Detalles]

Demostración del teorema del valor intermedio

Teorema del máximo-mínimo - [Detalles]

Demostración del teorema del máximo-mínimo

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad - [Detalles]

Continuación con el estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no homogéneas y presentación del teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones diferenciales

Teorema de Existencia y Unicidad - Ecuación Integral, Funciones Lipschitzianas y Lema de Gronwall - [Detalles]

Se desarrolla una teoría preliminar necesaria para demostrar el teorema de existencia y unicidad, en dicha teoría se presentan las ecuaciones integrales, las funciones lipschitzianas y el lema de Gronwall

Teorema de Existencia y Unicidad - Iterantes de Picard y Convergencia - [Detalles]

Continuación con el desarrollo de una teoría preliminar para demostrar el teorema de existencia y unicidad, en este caso se presentan las iterantes de Picard y se hace un breve repaso de convergencia de series y sucesiones

Demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelof - [Detalles]

Presentación de la demostración del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden

Teorema del valor medio para la integral - [Detalles]

Teorema valor medio, valor medio generalizado, valor medio integral, valor medio generalizado integral

Teorema de Pappus-Guldinus - [Detalles]

Enseñanza del teorema de Pappus sobre el centroide, área y volumen de un objeto.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales - [Detalles]

Se demuestra el teorema de existencia y unicidad para los casos particulares en los que los sistemas de ecuaciones diferenciales son lineales con coeficientes constantes tanto homogéneos como no homogéneos

Teorema de Ptolomeo - [Detalles]

Demostramos el teorema de Ptolomeo y con ayuda de este construimos al cuadrilátero cíclico, también resolveremos ejercicios.

Teorema de Menelao - [Detalles]

Demostramos el teorema de Menelao, su forma trigonométrica y mostramos su utilidad estableciendo varios resultados sobre colinealidad.

Teorema de Ceva - [Detalles]

Demostramos el teorema de Ceva y su forma trigonométrica, y derivamos otros resultados sobre concurrencia de rectas.

Teoremas de Varignon y Van Aubel - [Detalles]

Demostramos el teorema de Varignon y el teorema de Van Aubel, vemos algunas rectas y puntos importantes del cuadrilátero.

Cuadrilátero cíclico - [Detalles]

Tras haber visto el teorema de Ptolomeo ampliamos nuestro estudio del cuadrilátero cíclico con la formula de Brahmagupta y el teorema Japonés

Teorema de probabilidad total - [Detalles]

Demostramos el teorema de probabilidad total, que es una herramienta muy útil a la hora de calcular probabilidades.

Teorema de Bayes - [Detalles]

Demostramos el teorema de Bayes, el cual relaciona distintas probabilidades condicionales y permite el cálculo de probabilidades de eventos que no son tan inmediatas.

Teorema de Poincaré-Bendixson en el plano - [Detalles]

Se enuncia el teorema de Poincaré-Bendixson cuyo resultado permite deducir si los sistemas no lineales estudiados presentan o no soluciones periódicas

Teorema de Poincaré - Bendixson en el plano - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el Teorema de Poincaré - Bendixson en el plano.

Diapositivas de distancia entre 2 puntos - [Detalles]

Motivamos el estudio para calcular la distancia que hay entre dos puntos dentro del plano y espacio cartesiano, para motivar a esta fórmula se ocupa una aplicación al teorema de Pitágoras, y para extender esta fórmula a más dimensiones se puede como consecuencia del teorema de Pitágoras, dando así la distancia entre 2 puntos en el plano y espacio cartesiano.

Demostración del teorema fundamental del álgebra usando el grupo fundamental del círculo - [Detalles]

En este video damos una demostración hermosa del teorema fundamental del álgebra usando e hecho de que el grupo fundamental del círculo es cíclico infinito.

El teorema del punto fijo de Brouwer en dimensión 2 - [Detalles]

En este video demostramos el teorema del punto fijo de Brouwer.

El teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 2 - [Detalles]

En este video demostramos el teorema de Borsuk-Ulam en dimensión 2.

Todo grupo es el grupo fundamental de algún espacio - [Detalles]

En este video demostraremos que todo grupos es el grupo fundamental de algún espacio. Las herramientas principales para demostrar este teorema es la existencia de una presentación y una aplicación muy directa del teorema de van Kampen.

El teorema de clasificación de cubrientes - parte 3 - [Detalles]

En este video demostramos finalmente el teorema de clasificación de cubrientes. Es decir, establecemos una biyección entre el conjunto de subgrupos del grupo fundamental y clases de isomorfismo de cubrientes.

Homología singular - escisión - [Detalles]

En este video enunciaremos en teorema de escisión sin demostración. Este teorema es una de las propiedades fundamentales de la homología y nos dice que siempre que tomemos homología relativa, podemos ignorar lo que pasa adentro del subespacio con el que estamos relativizando.

Homología singular - campos vectoriales en la esfera - el teorema de la bola peluda - [Detalles]

En este video demostramos que las únicas esferas que tienen campos vectoriales que no se hacen cero en ninguna parte son las de dimensión impar. Esto implica el teorema de la bola peluda, es decir, que todo campo vectorial sobre la esfera tienen un cero.

Mini-cuestionario: Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]

Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de lo que dice el teorema espectral para matrices simétricas reales.

Mini-cuestionario: Aplicaciones del teorema espectral - [Detalles]

Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de algunas aplicaciones que tiene el teorema espectral.

Principios de inducción y teoremas de recursión - [Detalles]

Demostramos el princicipio de inducción y el teorema de recursión débil, por otro lado enunciamos el teorema de recursión fuerte y el principio de buen orden.

Teorema fundamental de la aritmética e infinidad de números primos - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el teorema fundamental de la aritmética. Luego, lo usamos para ver que el conjunto de primos es infinito.

Teorema chino del residuo - [Detalles]

Motivamos la resolución de sistemas lineales de ecuaciones de congruencias y saber si se tienen solución, esto con ayuda del teorema chino del residuo el cual enunciamos y demostramos.

Raíces de números complejos y raíces de la unidad - [Detalles]

Motivamos el estudio de poder calcular reíces de un número complejo, así vamos obteniendo resultados que nos ayuden a poder calcular las raíces en los complejos llegando al teorema que da solución al estos problemas también lo demostramos al igual que el teorema de las raíces n-ésimas de la unidad.

Problemas de grado, evaluación de polinomios, teorema del residuo y del factor - [Detalles]

Resolvemos problemas referentes al tema de polinomios como la evaluación de polinomios, la aplicación de divisibilidad y la aplicación del teorema del factor.

Irreducibilidad en R[x] - [Detalles]

Enunciamos el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización única de polinomios sobre los complejos asimismo vemos las raíces complejas de un polinomio y su la irreducibilidad de un polinomio real.

El teorema de derivadas y multiplicidad - [Detalles]

Construimos un método por el cual a través de derivadas podamos determinar la multiplicidad de las raíces de un polinomio esto a través del teorema de multiplicidad y derivadas, también con ayuda de la simplificación de un polinomio para encontrar sus raíces, este método se basa en los conocimientos adquiridos en otra entrada que es calculas el máximo común divisor entre el polinomio y su derivada.

El teorema de Lagrange - [Detalles]

Se enuncia y demuestra el teorema de Lagrange.

Consecuencias del teorema de Lagrange - [Detalles]

Se exploran algunos corolarios y consecuencias del teorema de Lagrange.

El primer teorema de isomorfismo - [Detalles]

Se enuncia y demuestra el primer teorema de isomorfismo de grupos.

Ejemplos del primer teorema de isomorfismo - [Detalles]

Se muestran algunos ejemplos de aplicación del primer teorema de isomorfismo.

El segundo teorema de isomorfismo - [Detalles]

Se enuncia y demuestra el segundo teorema de isomorfismo de grupos.

Ejemplo del segundo teorema de isomorfimso - [Detalles]

Se da un ejemplo de aplicación del segundo teorema de isomorfismo.

El tercer teorema de isomorfismo - [Detalles]

Se enuncia y demuestra el tercer teorema de isomorfismo de grupos.

El teorema de la correspondencia - [Detalles]

Se enuncia y demuestra el teorema de la correspondencia.

Teorema de Cauchy - [Detalles]

Se define la noción de p-grupo y se demuestra el Teorema de Cauchy.

Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]

Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.

38. Teorema integral de Cauchy versión homótopica (opcional) - [Detalles]

Dos de las nociones básicas de la topología son la de homotopía y homología. La versión local del teorema integral de Cauchy, enfatiza la topología del dominio y cómo el camino se encuentra dentro de él. Para mejorar nuestra comprensión de este hecho, examinamos estas cuestiones topológicas con más detalle.

Elementos de Euclides: Teorema 1 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 1 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un triángulo equilátero.

Los Elementos de Euclides: Teorema 1 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 1 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un triángulo equilátero.

37. Consecuencias del Teorema Integral de Cauchy - [Detalles]

Veamos unos ejercicios sencillos para asentar bases de los teoremas importantes que se siguen del Teorema Integral de Cauchy

38. Teorema Integral de Cauchy, versión homotópica. - [Detalles]

Repasaremos los conceptos de homología y homotopía y la reformulación del Teorema de Cauchy para estos aspectos.

44. Teorema del residuo y aplicaciones - [Detalles]

Resolvamos integrales aplicando el Teorema del Residuo.

Álgebra Moderna I: Teorema de Lagrange - [Detalles]

A continuación, se revisara y demostrará uno de los teoremas mas importantes de la Teoría de Grupos, conocido como el Teorema de Lagrange. El cual nos dice que para un subgrupo H de G, el orden de G es un t veces del orden de H

Los Elementos de Euclides: Teorema 2 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 2 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un segmento en un punto dado, igual a un segmento dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 3 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 3 de Los Elementos de Euclides. Dados dos segmentos desiguales, quitamos del mayor un segmento igual al menor.

Los Elementos de Euclides: Teorema 4 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 4 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la demostración del criterio de congruencia de triángulos LADO - ÁNGULO - LADO.

Los Elementos de Euclides: Teorema 5 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 5 de Los Elementos de Euclides. Aquí se prueba que en todo triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales entre sí, y además si prolongamos los lados iguales, los ángulos situados bajo la base también son iguales entre sí.

Los Elementos de Euclides: Teorema 6 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 6 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que si en un triángulo dos de sus ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a dichos ángulos son iguales entre sí.

Los Elementos de Euclides. Teorema 7 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 7 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que no se pueden levantar sobre una misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas dadas.

Los Elementos de Euclides: Teorema 8 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 8 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra el criterio de congruencia de triángulos LADO - LADO - LADO.

Los Elementos de Euclides: Teorema 9 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 9 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de la bisectriz.

Los Elementos de Euclides: Teorema 10 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 10 de Los Elementos de Euclides. Aquí realizamos la construcción de la mediatriz.

Los Elementos de Euclides: Teorema 11 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 11 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de la recta perpendicular a una recta dada y en un punto de ella.

Los Elementos de Euclides: Teorema 12 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 12 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de la perpendicular a una recta dada, por un punto no perteneciente a la recta dada

Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía - [Detalles]

A partir de ilustraciones con retículas, en esta entrada se introduce al cuarto teorema de Isomorfía. El cual nos encargaremos de demostrar a lo largo de la sección y ejemplificar trabajando sobre el grupo diédrico.

Los Elementos de Euclides: Teorema 13 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 13 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que al levantarse una recta sobre otra se forman ángulos tales que cada uno de ellos es de 90° (es decir, cada uno de ellos es recto) o bien son suplementarios (es decir, suman 180°, suman dos rectos)

Los Elementos de Euclides: Teorema 14 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 14 de Los Elementos de Euclides. Aquí demostramos que si dos segmentos de recta forman con una recta y en un punto de ella, ángulos adyacentes iguales a dos rectos, y no están del mismo lado de dicha recta, entonces los segmentos forman parte de una misma recta.

Los Elementos de Euclides: Teorema 15 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 15 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Los Elementos de Euclides: Teorema 16 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 16 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que en todo triángulo, un ángulo externo es mayor que cada uno de los internos y opuestos a él.

Los Elementos de Euclides: Teorema 17 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 17 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que en todo triángulo la suma de dos cualesquiera de sus ángulos es menor que dos rectos (es decir, es menor a 180°).

Los Elementos de Euclides: Teorema 18 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 18 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que en todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

Los Elementos de Euclides: Teorema 19 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 19 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la demostración de la propiedad de los triángulos que afirma que a mayor ángulo se opone mayor lado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 20 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 20 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que en todo triángulo, la suma de las longitudes de dos cualesquiera de sus lados es mayor que la longitud del tercer lado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 21 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 21 de Los Elementos de Euclides. Aquí demostramos que si desde los extremos de uno de los lados de un triángulo se construyen dos rectas que se encuentren en el interior de él, las rectas construidas serán menores que los lados restantes del triángulo pero el ángulo comprendido por las rectas construidas será mayor.

Los Elementos de Euclides: Teorema 22 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 22 de Los Elementos de Euclides. Aquí se estudia la construcción de un triángulo a partir de tres segmentos dados que cumplen la condición de que la suma de las longitudes de dos cualesquiera de los segmentos es mayor que la longitud del tercer lado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 23 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 23 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción sobre una recta dada y en un punto de ella, de un ángulo rectilíneo igual a un ángulo dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 25 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 25 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que si dos triángulos tienen dos lados respectivamente iguales y en el primer triángulo el tercer lado es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido por los lados iguales en el primer triángulo es mayor que el ángulo respectivo en el segundo triángulo.

Los Elementos de Euclides: Teorema 28 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 28 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que si al incidir una recta sobre otras dos hace los ángulos correspondientes iguales, o los ángulos conjugados internos suplementarios, entonces las dos últimas rectas son paralelas.

Los Elementos de Euclides: Teorema 29 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 29 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra la congruencia de los ángulos alternos internos y de los ángulos correspondientes. Además, que los ángulos conjugados internos son suplementarios.

Los Elementos de Euclides: Teorema 30 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 30 de Los Elementos de Euclides, aquí se demuestra que si las paralelas a una misma recta son paralelas entre sí. (También se conoce como la propiedad transitiva del paralelismo de rectas)

Los Elementos de Euclides: Teorema 31 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 31 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de la recta paralela a una recta dada, por un punto dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 32 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 32 de Los Elementos de Euclides, el cual trata la propiedad que en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es igual a 180° (es decir dos rectos); y la propiedad que en todo triángulo la medida de un ángulo exterior del triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a él.

Los Elementos de Euclides: Teorema 33 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 33 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que las rectas que unen por los extremos y en el mismo lado, rectas iguales y paralelas, son también iguales y paralelas.

Los Elementos de Euclides: Teorema 34 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 34 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que en todo paralelogramo, los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales; y además que cualquier diagonal divide al paralelogramo en dos triángulos iguales.

Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley - [Detalles]

A partir de esta unidad veremos como cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. El objetivo principal es converger en el Teorema de Cayley

Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley - [Detalles]

Ya observamos la importancia del Teorema de Cayley, ya que nos permite visualizar a un grupo G como un subgrupo del grupo de permutaciones. En esta entrada relacionaremos al grupo G con un grupo simétrico mas pequeño que Sn . Utilizaremos los elementos de G no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.

Los Elementos de Euclides: Teorema 37 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 37 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que los triángulos que están sobre la misma base y entre las mismas paralelas tienen también áreas iguales.

Los Elementos de Euclides: Teorema 38 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 38 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que los triángulos que tienen bases iguales y que están entre las mismas paralelas tienen áreas iguales.

Los Elementos de Euclides: Teorema 39 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 39 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que si triángulos iguales están sobre la misma base y en el mismo lado, entonces también están entre las mismas paralelas.

Los Elementos de Euclides: Teorema 40 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 40 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que triángulos iguales, que están sobre bases iguales y en el mismo lado, también están entre las mismas paralelas.

Los Elementos de Euclides: Teorema 41 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 41 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra que si un paralelogramo y un triángulo tienen la misma base y están entre las mismas paralelas, determinadas por la base del triángulo y la paralela que pasa por el vértice opuesto a la base, entonces el área del paralelogramo es el doble que el área del triángulo.

Los Elementos de Euclides: Teorema 42 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 42 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un paralelogramo, en un ángulo dado y con un área igual al área de un triángulo dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 43 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 43 de Los Elementos de Euclides. Aquí trabajamos con una propiedad de los complementos de los paralelogramos.

Los Elementos de Euclides: Teorema 44 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 44 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un paralelogramo sobre una recta dada, con un ángulo igual a un ángulo dado, y cuya área sea igual al área de un triángulo dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 45 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 45 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un paralelogramo, que tenga un área igual al área de un cuadrilátero dado y con un ángulo igual a un ángulo dado.

Los Elementos de Euclides: Teorema 46 - [Detalles]

En este video cubrimos el Teorema 46 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la construcción de un cuadrado cuyo lado es igual a un segmento dado.

Funciones compatibles - [Detalles]

En esta entrada definiremos las funciones compatibles y veremos varios resultados relacionados a ellos. Este concepto será de gran utilidad en la demostración de nuestro siguiente teorema: el teorema de recursión.

Teorema de recursión - [Detalles]

En esta entrada veremos el concepto de calculo de longitud, así como la motivación y prueba del teorema de recursión, el cual nos ayudara a definir la suma en el conjunto de los numeros naturales.

Ejercicio Intervalos anidados - [Detalles]

En este video exploramos el Teorema de los Intervalos Anidados. Este teorema, una joya en el análisis real, nos habla de la intersección de una sucesión de intervalos cerrados y su misterioso comportamiento.

Ejercicio Estimación con Teorema del Valor Medio - [Detalles]

En este video, no solo desentrañaremos el significado y la intuición detrás del teorema del Valor Medio, sino que también lo utilizaremos como herramienta clave para demostrar una desigualdad intrigante.

Teorema de Cantor-Schröder-Bernstein - [Detalles]

Se enuncia y demuestar el teorema de Cantor-Schröder-Bernstein

Demostración del teorema de Cayley-Hamilton - [Detalles]

En esta entrada demostraremos el teorema de Cayley-Hamilton. Daremos dos demostraciones de sabores muy diferentes. La primera demostración explota las propiedades de la matriz adjunta, mientras que la segunda echa mano de las familias especiales de las cuales calculamos el polinomio característico.

Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss - [Detalles]

En esta entrada veremos un par de problemas para seguir repasando formas bilineales y cuadráticas y luego veremos al teorema de Gauss en acción.

Teorema de Sylvester - [Detalles]

En esta entrada introduciremos la noción de la signatura de una matriz. A grandes rasgos, esta noción nos dice «qué tan positiva» es una matriz simétrica. Para definir esta noción, lo haremos primero para las matrices diagonales. Luego lo definiremos para todas las matrices simétricas a través del teorema que demostramos la entrada anterior.

Introducción a forma canónica de Jordan - [Detalles]

En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. A grandes rasgos, lo que nos dice este teorema es que cualquier matriz prácticamente se puede diagonalizar.

Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes - [Detalles]

Enunciaremos el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia.

Teorema del valor medio para campos escalares - [Detalles]

Demostramos el teorema del valor medio para campos escalares. Con él, vemos que derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad.

Problemas de rango de transformaciones y matrices - [Detalles]

Resolvemos problemas de rango de matrices y transformaciones lineales usando sus propiedades, el teorema de rango nulidad y la desigualdad de Sylvester.

Ortogonalidad y espacio ortogonal - [Detalles]

Definimos y damos ejemplos de ortogonalidad y espacio ortogonal para subconjuntos de un espacio vectorial. Enunciamos y demostramos un teorema de dualidad.

Proceso de Gram-Schmidt - [Detalles]

Mostramos el teorema de Gram-Schmidt, que cambia un conjunto de vectores linealmente independientes a uno ortonormal. Vemos ejemplos de su aplicación.

Matrices simétricas reales y sus eigenvalores - [Detalles]

Enunciamos el teorema espectral para matrices simétricas reales. Mostramos que estas matrices tienen eigenvalores reales y otros dos resultados auxiliares.

Aplicaciones del teorema espectral, bases ortogonales y más propiedades de transformaciones lineales - [Detalles]

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Logica proposicional - Proposiciones condicionales - [Detalles]

Se estudia el conector condicional. Definimos la implicación contrapositiva y la conversa. Se finaliza con un teorema que demuestra algunas equivalencias entre formas proposicionales.

Lógica Proposicional - Proposiciones Bicondicionales - [Detalles]

Se estudia el conector bicondicional, se muestran ejemplos y se demuestra un teorema con varias equivalencias de formas proposicionales.

Reglas para escribir una demostración - [Detalles]

Platicamos en que consiste una demostración, y además damos cuatro reglas a seguir para conseguir una demostración coherente y exitosa. Una demostración es una justificación de la veracidad de un teorema.

Demostración directa y primeros ejemplos - [Detalles]

Explicamos sobre el método de demostración conocido como "Demostración directa". Demostramos un teorema sobre los números pares e impares.

Demostración de que hay infinitos primos - [Detalles]

Explicamos cómo demostrar que hay una cantidad infinita de números primos. Para tal fin suponemos ciertos el teorema fundamentar de la aritmética.

Composición de inyectivas es inyectiva - [Detalles]

Usando el concepto de inyectividad, demostramos el teorema: Si dos funciones son inyectivas, entonces su composición es inyectiva.

Composición de suprayectivas es suprayectiva - [Detalles]

Usando el concepto de suprayectividad, demostramos el teorema: Si dos funciones son suprayectivas, entonces su composición es inyectiva.

Propiedades del combinatorio - [Detalles]

Vemos un teorema que contiene cuatro propiedades sobre la fórmula de conteo de la combinatoria: el coeficiente binomial o combinatorio. Demostramos dos propiedades, una propiedad nos dice que, el coeficiente binomial es igual si escogemos n-k elementos o k elementos.

Combinatoria (4) - [Detalles]

Damos una demostración alternativa del Teorema del Binomio. También explicamos la relación del binomio con la combinatoria y el triángulo de Pascal.

Operaciones elementales renglón - [Detalles]

Se definen sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, y se da un teorema que demuestra que aplicar operaciones elementales a un sistema, resulta en un sistema equivalente. Finalmente explicamos como al usar operaciones elementales se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Propiedades del máximo común divisor - [Detalles]

Demostramos algunas propiedades sobre el máximo común divisor, vemos que puede sacar enteros, y varias propiedades más, las cuales demostramos haciendo uso del teorema de combinación lineal anteriormente visto. 

Como calcular el máximo común divisor de dos enteros - [Detalles]

Retomamos el teorema anterior sobre el máximo común divisor y el algoritmo de la división. Haciendo uso de estos dos resultados damos un método para calcular el máximo común divisor de dos enteros.  

El mínimo común múltiplo - [Detalles]

Definimos el mínimo común múltiplo de "n" enteros. Primero damos la definición de común múltiplo y el más pequeño es aquel que tomamos como mínimo común múltiplo. Definimos la notación para expresar el mínimo común múltiplo y demostración un teorema sobre el mismo. 

Ejemplos de cómo resolver una ecuación diofántica - [Detalles]

Vemos un método para encontrar una solución particular de la ecuación diofántica lineal. En el método hacemos uso del Máximo común divisor y a partir de la solución encontrada podemos generar todas las demás soluciones utilizando las fórmulas del segundo teorema del tema actual. 

Más propiedades de congruencias - [Detalles]

Continuamos viendo propiedades sobre las congruencias. Vemos que si dos enteros expresados productos: "a*x", "a*y", son congruentes modulo "m", es equivalente a que los enteros "x", "y" sean congruentes modulo "m/MCD(a,m)", dándonos una relación entre el módulo y el máximo común divisor. Igualmente vemos algunas propiedades más que surgen de este teorema. 

Cuantas soluciones tiene una congruencia lineal - [Detalles]

Usando un ejemplo vemos cuantas soluciones llega a tener una ecuación lineal modulo "m", esto nos lleva a buscar un método para conocer el número de soluciones de una ecuación lineal. Haciendo uso de un teorema que demostramos durante el video, llegamos a un corolario el cual nos dice que una ecuación lineal modulo "m", tiene MCD(a,m) soluciones. 

Cómo calcular las raíces enésimas de un número - [Detalles]

Usando el teorema de Moivre deducimos una fórmula para calcular la raíz n-esíma de un numero complejo (la fórmula es muy similar a la de Moivre). Vemos que las raíces de un numero complejo tienen una representación geométrica muy peculiar en el plano complejo. 

División sintética - [Detalles]

Primero vemos un teorema que nos ayudara para entender la división de polinomios, ya que nos dice que dados los polinomios "a(x), b(x)", existen polinomios únicos tal que "a(x)=b(x)*q(x)+r(x)" (los detalles los vemos en el video). Después vemos el algoritmo de la división para polinomios, hacemos un ejemplo usando los pasos del algoritmo de la división y obtenemos los polinomios "q(x), r(x)". 

Teorema del Residuo - [Detalles]

Dado un polinomio "p(x)", leemos "p(a)" como, "p(x)" evaluado en "a". Definimos la raíz de un polinomio cuando un escalar "a" evaluado en el polinomio es cero: "p(a)=0". Mostramos algunos ejemplos y demostramos una propiedad sobre las raíces de los polinomios. 

Criterio de Eisenstein para verificar que un Polinomio es irreducible - [Detalles]

Presentamos el criterio de Eisenstein, el cual es un teorema que nos dice: Dado un polinomio con coeficientes en los enteros, si existe un numero primo que cumpla cierta propiedad (la cual detallamos en el video), entonces el polinomio es irreducible.  Usando este criterio podemos saber si un polinomio es reducible sobre los enteros. 

Proposición I.5 - [Detalles]

Demostramos el primer teorema de Thales

Potencia de un punto - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el teorema de la potencia de un punto

Ejercicios de segmentos dirigidos - [Detalles]

Generalizamos la fórmula de Chasles para n puntos, demostramos el teorema de Euler y algunos resultados al respecto

Rectas armónicas - [Detalles]

Demostramos el teorema de la bisectriz generalizada, definimos cuándo dos rectas son armónicas conjugadas y demostramos algunos resultados que involucran este concepto

Teorema de Desargues - [Detalles]

Demostramos cuándo dos triángulos están en perspectiva

Ecuaciones diferenciales exactas - [Detalles]

Comenzamos el estudio de las ecuaciones exactas, y demostramos un teorema que nos dice cuándo una ecuación es exacta y tiene solución

Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 2) - [Detalles]

Hablamos un poco del problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden, así como del Teorema de existencia y unicidad correspondiente, tanto en una versión general como en su versión para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.

Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 2) - [Detalles]

Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además definimos cuándo este subconjunto de soluciones es linealmente dependiente o independiente. Finalmente demostramos un teorema que relaciona estos dos conceptos.

Solución general al sistema lineal no homogéneo. - [Detalles]

Enunciamos y probamos un teorema que nos dice cómo encontrar la solución general a un sistema lineal no homogéneo con la ayuda del sistema homogéneo asociado.

Otros teoremas de funciones continuas - [Detalles]

Estudio de teoremas derivados del teorema del valor intermedio

Semejanza de triángulos - [Detalles]

Demostramos los criterios de semejanza para triángulos con la ayuda del teorema de Thales y resolvemos algunos ejercicios.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de existencia - [Detalles]

Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de unicidad - [Detalles]

Demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.

Teorema del valor medio para integrales - [Detalles]

Introducción al concepto del valor medio para integrales.

Criterio de comparación y comparación en el limite - [Detalles]

Estudio del teorema de comparación y el criterio de comparación en el limite para series.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios repetidos - [Detalles]

Se finaliza el método de valores y vectores propios con el caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son algunos repetidos y se presenta el teorema de Cayley-Hamilton

Puntos de Fermat y triángulos de Napoleón - [Detalles]

Demostramos el teorema de Napoleón y mostramos la relación que hay entre los triángulos de Napoleón y los puntos de Fermat.

Segmento dirigido y teorema de Stewart - [Detalles]

El concepto de segmento dirigido nos ayudara a desarrollar temas como los teoremas de Stewart, de Ceva y de Menelao y división armónica.

Triángulos en perspectiva - [Detalles]

Estudiamos algunos teoremas relacionados con triángulos en perspectiva, el principal de ellos, el teorema de Desargues.

División armónica - [Detalles]

Veremos algunos resultados básicos sobre división armónica, finalizamos mostrando el teorema de Feuerbach apoyándonos en la división armónica

Teorema de continuidad de la probabilidad - [Detalles]

Demostramos la propiedad de continuidad de la probabilidad, un resultado teórico que será útil en otras demostraciones.

Secciones locales y caja de flujos - [Detalles]

Continuamos presentando las herramientas necesarias para la demostración del teorema de Poincaré - Bendixson en el plano. En esta ocasión definimos una sección local en un punto del plano y su caja de flujos.

Diapositivas sobre ejemplos de inducción - [Detalles]

Demostramos de 2 maneras distintas el teorema de la suma de Gauss y mostramos la manera compacta de externar una suma.

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano - [Detalles]

Usamos el Teorema de Pitágoras para deducir la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano. Con esta fórmula podemos conocer la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano,  

Distancia entre dos puntos en el espacio cartesiano - [Detalles]

Retomando la fórmula para la distancia entre dos puntos en el plano, y el teorema de Pitágoras, damos una deducción para la fórmula de la distancia entre dos puntos en el espacio cartesiano, es decir, la distancia para dos puntos en un espacio tridimensional. 

Leyes de cósenos. Demostración - [Detalles]

Demostramos la ley de Cosenos, la cual es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría.  

Trigonometría - [Detalles]

Damos un repaso a trigonometría, las razones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y los elementos más relevantes de un triángulo rectángulo. 

COMAL: Topología Algebraica I - [Detalles]

Curso de introducción a la topología algebraica. Comenzamos hablando del grupo fundamental. Luego, estudiamos el teorema de Van Kampen. Continuamos con varios temas de espacios cubrientes. Finalmente hablamos del concepto de homología y varios resultados alrededor de él. Material recopilado en Matemáticas a Distancia con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.

La propiedad de levantamiento de homotopías para cubrientes - [Detalles]

En este video demostramos una de las propiedades más importantes de los espacio cubrientes: el teorema de levantamiento de homotopías. En videos posteriores veremos algunas consecuencias de este enunciado.

El homomorfismo inducido por un cubriente - [Detalles]

En este video demostramos que el homomorfismo inducido en grupos fundamentales por una proyección cubriente es inyectivo. Este resultado es una consecuencia del teorema de levantamiento de homotopías.

El teorema de clasificación de cubrientes - parte 1 - [Detalles]

En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.

El teorema de clasificación de cubrientes - parte 2 - [Detalles]

En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un único cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.

Transformaciones de cubierta - parte 2 - [Detalles]

En este video demostramos el teorema que relaciona el grupo de transformaciones de cubierta de un cubriente con el grupo fundamental del espacio base.

Álgebra homológica - el lema de la serpiente - [Detalles]

En este video enunciamos y demostramos el "lema de la serpiente". Este lema será usado en la demostración del teorema fundamental del álgebra homológica.

Homología singular - la sucesión exacta de la tercia - [Detalles]

En este video deducimos una sucesión exacta larga que involucra grupos de homología relativas de tres espacios Z contenido en Y y Y contenido en X. Esta sucesión es muy parecida a la sucesión exacta larga de la pareja y se deduce usando el teorema fundamental del álgebra homológica.

Homología singular - la homología de un cociente - [Detalles]

En este video demostraremos que la homología de la (buena) pareja (X,A) es isomorfa a la homología reducida del cociente X/A. La demostración hace uso del teorema de escisión.

Homología singular - invarianza de la dimensión - [Detalles]

En este video demostraremos que si dos abiertos de ciertos espacios euclideanos son homeomorfos, entonces los espacios tienen la misma dimensión. Este teorema es muy bonito porque es intuitivo el enunciado, la demostración no es nada trivial, pero con toda la herramienta que hemos desarrollado es posible demostrarlo en términos simples.

Mini-cuestionario: Formas cuadráticas, propiedades, polarización y teorema de Gauss - [Detalles]

Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la teoría básica de formas cuadráticas, sus propiedades y la identidad de polarización

Ideales en los enteros - [Detalles]

Definimos a los ideales en los enteros. Vemos ejemplos, una definición alternativa, propiedades y un teorema de caracterización.

Números primos y sus propiedades - [Detalles]

Damos la definición de que un entero sea primo. Vemos dos equivalencias y propiedades para preparar el teorema fundamental de la aritmética.

Problemas que usan teoremas de Fermat y Wilson - [Detalles]

Resolvemos un ejercicio de congruencias, un ejercicio ocupando el teorema de Wilson y otro para aplicar el teorama de Fermat.

Problemas de ecuaciones en congruencias y teorema chino del residuo - [Detalles]

Resolvemos una serie de ejercicios de ecuaciones lineales de congruencias.

Ecuaciones cuadráticas complejas - [Detalles]

Damos un primer acercamiento al teorema fundamental del álgebra y como repercute este en el campo de los complejos, también mostramos una manera de resolver ecuaciones cuadráticas en el campo complejo que no tienen solución en el campo de los reales, también mostramos que la fórmula general es aplicable sobre C.

Problemas de fórmula de De Moivre y raíces n-ésimas - [Detalles]

Resolvemos problemas que ocupan el teorema de De Moivre para potencias de un número complejo y el cálculo de la raíz de un número complejo.

Problemas de MCD, algortimo de Euclides e irreducibilidad en R[x] - [Detalles]

Resolvemos problemas propuestos que involucran los temas del máximo compun divisor en los polinomios mediante el algortimo de Euclides y la factorización de polinomios ocupando el teorema del factor.

Desigualdades de polinomios - [Detalles]

Desarrollamos herramientas para poder resolver problemas del orden en el anillo de los polinomios y para que valores se cumplen estas relaciones de orden asimismo se da el teorema de la factorización de polinomios reales.

Producto directo de grupos - parte 2 - [Detalles]

Se continúa el estudio del producto directo, se enuncia y demuestra el teorema de factorización.

Grupo alternante (3) - [Detalles]

Se demuestra el teorema principal de la sección: An es simple para todo n>=5. Para ello se prueban lemas preliminares.

Algunos teoremas de representaciones - [Detalles]

Se motiva la necesidad de representar a un grupo como subgrupo de otro más conocido y se muestran algunos teoremas de representación incluido el teorema de Cayley.

Unidad IV: Integración compleja - Tarea - [Detalles]

En esta tarea en equipo se evalúan temas de la cuarta unidad tales como integral de funciones a lo largo de trayectorias, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville.

Unidad V: Aplicaciones - Tarea - [Detalles]

En esta tarea en equipo se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.

Unidad V: Aplicaciones - Examen - [Detalles]

En este examen se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.

35. Integrales de contorno II - [Detalles]

En esta entrada veremos teoremas de integrales complejas muy importantes, tales como el Teorema Fundamental del Cálculo para integrales de contorno y el lema de Goursat.

35. Integrales de contorno II - [Detalles]

Continuaremos con integrales de contorno, y haciendo camino hacia el Teorema Fundamental del Cálculo para funciones complejas.

Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes - [Detalles]

Dentro de las operaciones básicas de un grupo, podemos encontrar la asociatividad. La cual es tratada dentro de esta sección, además de algunas de sus consecuencias inmediatas y un teorema generalizando.

Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por X - [Detalles]

El primer teorema a probar dentro de la sección es el de si todo subgrupo de un cíclico, es cíclico también. Posterior a este resultado se busca encontrar al menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto X.

36. Teorema Integral de Cauchy - [Detalles]

Hagamos unos ejercicios que nos ayudarán a entender mejor uno de los teoremas más importantes del curso.

39. Teoremas de Weierstrass - [Detalles]

Repasemos conceptos importantes acerca de sucesiones de funciones que nos serán de utilidad para aplicar el Teorema Integral de Cauchy.

Principio de inducción - [Detalles]

En esta entrada hablaremos acerca del principio de inducción, este principio nos permitirá demostrar propiedades que cumple los números naturales. Será de gran importancia pues emplearemos este teorema como método de demostración en el conjunto de los naturales.

Suma en los naturales - [Detalles]

En esta nueva entrada presentaremos la definición formal de la suma, veremos que, gracias al teorema de recursión, es única y demostraremos algunas de las propiedades que satisface usando el principio de inducción.

Buenos órdenes para cualquier conjunto - [Detalles]

En esta entrada veremos mas equivalencias del axioma de elección, en particular veremos el teorema del buen orden.

Ejercicio Teorema del Sandwich - [Detalles]

¡Sumérgete en una sabrosa rebanada de matemáticas con la inigualable Ley del Sándwich! En este video, nos adentraremos en los ingredientes esenciales de esta fascinante teoría, desplegando paso a paso su demostración. Al igual que un sándwich artesanalmente preparado, esta ley tiene capas y matices que vale la pena explorar en detalle. ¿Podrán dos funciones acotar a una tercera como las rebanadas de pan a un delicioso relleno?

Ejercicio todo número positivo tiene raíz cuadrada - [Detalles]

En este video demostraremos que todo número positivo tiene una raíz cuadrada. ¿Cómo lo hacemos? ¡Con la ayuda del poderoso Teorema del Valor Intermedio!

Ejercicio Teorema del Valor Intermedio - [Detalles]

Si $f$ valuada en $0$ es igual a $f$ valuada en $1$, entonces debe existir un valor $x$ tal que $f$ valuada en $x$ es igual a $f$ valuada en $x$ más $1/n$.

Ejercicio Ejemplos de L'Hôpital - [Detalles]

En este video, nos sumergiremos en la aplicación de este teorema para resolver dos límites esenciales: el límite de \( \frac{\tan(x)}{x} \) y el límite de \( \frac{\cos^2(x) - 1}{x} \) cuando \( x \) tiende a 0.

El grado de un vértice - [Detalles]

En este video se definen la vecindad, el grado de un vértice y el grado promedio de una gráfica. Se prueba el primer teorema en Teoría de Gráficas, a saber, que la suma de todos los grados en una gráfica es el doble del número de aristas. Se definen y estudian también las gráficas regulares y la secuencia de grados de una gráfica.

Geometría elemental - [Detalles]

En este capítulo de Cimientos Matemáticos, exploraremos el mundo de las formas y sus propiedades. Definiremos conceptos como punto, línea y ángulo, y aprenderemos a clasificar y medir ángulos. Estudiaremos las relaciones entre rectas, como paralelismo y perpendicularidad, y descubriremos la mediatriz y la bisectriz de un segmento. Veremos el estudio de los triángulos como clasificarlos. Finalmente, exploraremos el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos.

Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]

En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar

Caracterizaciones de diagonalizar - [Detalles]

En esta entrada enunciaremos y demostraremos un teorema de caracterización de matrices diagonalizables, el cual nos ayudará a entender con más profundidad la diagonalizabilidad.

Formas cuadráticas hermitianas - [Detalles]

El análogo complejo a las formas cuadráticas son las formas cuadráticas hermitianas. En esta entrada las definiremos, enfatizaremos algunas diferencias con el caso real y veremos algunas de sus propiedades. Al final enunciaremos una versión compleja del teorema de Gauss.

Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos - [Detalles]

En esta entrada veremos como se relacionan los conceptos de espacio dual y producto interior. Lo primero que haremos es ver cómo conectar la matriz que representa a una forma bilineal con una matriz que envía vectores a formas lineales. Después, veremos una versión particular de un resultado profundo: el teorema de representación de Riesz. Veremos que, en espacios euclideanos, toda forma lineal se puede pensar «como hacer producto interior con algún vector».

Proceso de Gram-Schmidt en espacios euclideanos - [Detalles]

En esta entrada recordaremos el teorema de Gram-Schmidt el cual nos ayuda a encontrar una base ortonormal en un espacio euclidiano, y veremos ejemplos de su aplicación

El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales - [Detalles]

En esta entrada buscamos entender mejor el grupo de transformaciones ortogonales. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión 2. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.

Unicidad de la forma de Jordan para nilpotentes - [Detalles]

En esta entrada nos enfocaremos en demostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan, en este caso será un poco más cómodo trabajar con la forma matricial del teorema.

Existencia de la forma canónica de Jordan - [Detalles]

Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de la forma canónica de Jordan para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración.

Unicidad de la forma canónica de Jordan - [Detalles]

En esta entrada enunciamos la versión para matrices del teorema de la forma canónica de Jordan (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.

Aplicaciones de la forma canónica de Jordan - [Detalles]

En las entradas anteriores demostramos que cualquier matriz (o transformación lineal) tiene una y sólo una forma canónica de Jordan. Además, explicamos cómo se puede obtener siguiendo un procedimiento específico. Para terminar nuestro curso, platicaremos de algunas de las consecuencias del teorema de Jordan.

Derivadas parciales de orden superior - [Detalles]

Definimos qué son las derivadas parciales de orden superior para campos escalares. Damos ejemplos y un teorema de conmutatividad.

Formas cuadráticas - [Detalles]

Hacemos un repaso de lo que son las formas cuadráticas. Vemos la identidad de polarización, el teorema de Gauss y hablamos de positividad.

Multiplicadores de Lagrange - [Detalles]

Enunciamos y demostramos el teorema de multiplicadores de Lagrange para optimizar campos escalares bajo restricciones. Damos ejemplos de uso.

Reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]

Hablamos de operaciones elementales, forma escalonada reducida y el teorema de reducción de Gauss-Jordan. Complementamos con ejemplos.

Ley del sándwich y límites en situaciones indeterminadas - [Detalles]

En este video demostramos la ley del sándwich y probamos un útil teorema que nos permite calcular y demostrar límites en situaciones indeterminadas.

Derivación implícita - [Detalles]

En este video se explica en método de derivación implícita, se muestra una justificación intuitiva del teorema que la respalda, y se ejemplifica en el cálculo de la pendiente de rectas tangentes.