Nota 14. Familia de Conjuntos y particiones. - [Detalles]
En esta nota vemos lo que es una familia de conjuntos, una familia indexada de conjuntos y usaremos esos conceptos para establecer lo que es una partición de un conjunto dado. También estableceremos la relación que hay entre las particiones y las relaciones de equivalencia.
Familias de conjuntos - [Detalles]
Damos la definición de familia de conjuntos, unión e intersección de familias de conjuntos., mediante ejemplos platicamos que es una familia de conjuntos y sus propiedades.
Diapositivas sobre familias de conjuntos - [Detalles]
Hablamos sobre los conjuntos que tienen como elementos conjuntos a los cuales llamamos familias de conjuntos, al igual que lo que hemos ya estudiado de conjuntos a estos también podemos unirlos e intersectarlos entre sí como familia, además de indexarlos (ponerles índices y por ende un orden de conjuntos), Se demuestran unas propiedades y se muestran en estas uniones e intersecciones las leyes de De Morgan.
Familias indexadas de conjuntos - [Detalles]
Continuamos con la discusión sobre familias de conjuntos, pero ahora añadimos el concepto de índice, el cual sirve para indexar una familia de conjuntos.
Diapositivas sobre relaciones de conjuntos - [Detalles]
Definimos un nuevo término que es la relación entre 2 conjuntos y su producto cartesiano, también definimos nuevos conjuntos que se dan al hacer una relación, estos nuevos conjuntos se llaman dominio, codominio y el conjunto imagen, estos conjuntos son de gran importancia pues se verán en gran parte de la carrera y en demás materias (tales como los cálculos), para finalizar mostramos las relaciones más comunes en el estudio de matemáticas y una operación entre relaciones llamada composición,
Nota 4. Unión e intersección de Conjuntos. - [Detalles]
En esta nota se definen dos operaciones entre conjuntos, la unión y la intersección, las cuales nos dan nuevos conjuntos, se ven propiedades de estas operaciones y como los conjuntos que obtenemos se relacionan con los conjuntos originales. También hay un recurso de geogebra que nos ayuda a entender mejor estos conceptos.
Definimos a los ω-conjuntos límite y los α-conjuntos límite para puntos en el plano. Probamos algunas propiedades de dichos conjuntos límite.
Diapositivas sobre demostraciones de conjuntos - [Detalles]
Se muestran las diferentes maneras por las cuales se demuestran proposiciones de conjuntos como la demostración de una contención; la igualdad de conjuntos por doble contención, por si y solo si; demostración por casos la cual es ocupada para demostrar propiedades de conjuntos en donde está involucrada la operación unión.
Diapositivas sobre cardinalidad y conjuntos - [Detalles]
Proporcionamos la definición de lo que es la cardinalidad y de lo que es la quivalencia de 2 conjuntos finitos, se anotan una serie de ejemplos respecto a conjuntos finitos equivalentes, también se demuestran una serie de propiedades del tema de cardinalidad en conjuntos finitos.
Relaciones entre conjuntos - [Detalles]
Definimos que es una relación entre conjuntos. Mediante ejemplos explicamos que es una relación entre conjuntos y sus propiedades. También definimos que es el Dominio, Codominio e Imagen, en una relación de conjuntos.
Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad - [Detalles]
En esta nota hablamos de la cardinalidad de un conjunto, es decir, su tamaño o número de elementos que contiene, vemos como el tamaño de dos conjuntos se puede comparar mediante funciones. Por último probamos el principio de la suma, el cual nos dice la cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos y ajenos, con este resultado veremos en general la cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos.
En esta nueva unidad comenzaremos a hablar acerca de conjuntos infinitos, para ello necesitamos hablar acerca de la cantidad de elementos que poseen estos conjuntos. En esta sección comenzaremos a entablar una relación entre los elementos de un conjunto y otro, veremos que si podemos establecer una función biyectiva entre dos conjuntos diremos que tales conjuntos son equipotentes. También veremos que pasa si en lugar de una función biyectiva solo tenemos una función inyectiva.
Conjuntos y Lógica - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos veremos que los conjuntos son agrupaciones de elementos únicos, además de nociones esenciales como el conjunto sin elementos, la cantidad de miembros en un conjunto, y la idea de conjuntos dentro de conjuntos. En cuanto a lógica, las nociones de consecuencia lógica y contradicción juegan roles primordiales en determinar la verdad de las afirmaciones.
Cuestionario de conjuntos y logica - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 13 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: conjuntos, elementos de conjuntos, cardinalidad, símbolos de pertenencia, subconjunto, operaciones con conjuntos, lógica de proposiciones, etc.
Introducción a las bifurcaciones. Valor de bifurcación - [Detalles]
Definimos una familia uniparamétrica de ecuaciones diferenciales autónomas y mediante un ejemplo revisamos el concepto de valor de bifurcación
Introducción a las bifurcaciones. Diagrama de bifurcaciones - [Detalles]
Dibujamos un diagrama que contiene la información de todas las soluciones a una familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas, así como los valores de bifurcación, y la naturaleza de las soluciones de equilibrio
Introducción a las bifurcaciones. Determinación de los valores de bifurcación - [Detalles]
Determinamos los valores de bifurcación con ayuda de las gráficas y las primeras derivadas de las funciones que determinan a la familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas
Construcción de σ-álgebras - [Detalles]
Desarrollamos el concepto de sigma-álgebra generado por una familia de subconjuntos del espacio muestral. Con este se construye el sigma-álgebra de los borelianos.
Introducción: ¿Qué son las Ciencias de la Computación?, Disciplinas semejantes - [Detalles]
1.5 Disciplinas semejantes - Presentación de la familia de disciplinas altamente relacionadas a ciencias de la computación tales como programación, ingeniería de la computación, cibernética, informática, tecnologías de la información y ciencia de datos además de por qué no son lo mismo.
Todas las gráficas no isomorfas de orden 4 - [Detalles]
En este video presentamos todas las gráficas no isomorfas de orden 4. A partir de esta pequeña familia, introducimos de manera intuitiva conceptos importantes como: la gráfica completa, ciclos, trayectorias, estrellas, gráficas conexas, árboles y gráficas planares. Todos estos conceptos se definirán de manera formal en video subsecuentes.
Existencia de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de la forma canónica de Jordan para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración.
Conjuntos iguales - [Detalles]
Damos la definición de igualdad de conjuntos, explicamos cuando dos conjuntos son iguales y damos algunos ejemplos.
Producto cartesiano - [Detalles]
Definimos el producto cartesiano de dos conjuntos, mediante ejemplos vemos algunas propiedades del producto cartesiano. También hablamos de conjuntos que resultan del producto cartesiano de dos conjuntos, como el plano cartesiano.
Definición de función - [Detalles]
Definimos que es una función, vista como una relación entre conjuntos. Cabe mencionar que una función es una relación entre conjuntos, pero no toda relación entre conjuntos es una función, damos ejemplos que esto último
Diapositivas sobre conjuntos - [Detalles]
Introducimos la idea de conjuntos, las primeras definiciones como conjuntos, subconjuntos, elemento; se muestran ejemplos de conjuntoas más populares y unas primeras proposiciones sencillas de demostrar.
Diapositivas sobre conjuntos infinitos - [Detalles]
Ahora estudiamos otro tipo de conjuntos infinitos o infinitos numerables, estos son los que cumplen una biyección entre el conjunto y el conjunto de los números naturales, se muestran unas propiedades sencillas de demostrar. Hacemos una división entre los conjuntos contables y no contables.
Guía de estudio sobre funciones y cardinalidad - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los funciones, relaciones, conjuntos infinitos, conjuntos finitos y cardinalidad de conjuntos. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Ejemplos de cardinalidad de conjuntos - [Detalles]
Se exponen dos conjuntos con características distintas y el ejercicio pide que se demuestre que estos conjuntos tienen la misma cardinalidad.
Conjuntos Lineamente Dependientes Y Linealmente Independientes - [Detalles]
Repasamos la definición de conjuntos linealmente dependientes y linealmente independientes. Vemos varios ejemplos de conjuntos linealmente dependientes, y otros linealmente independientes.
Nota 7. Relaciones y funciones - [Detalles]
En esta nota se habla de lo que es una relación entre conjuntos y se indroducen conceptos como dominio, imagen y codominio de una relación. Las relaciones de conjuntos nos ayudan a comprender y definir lo que es una función entre conjuntos, uno de los conceptos más importantes de las matemáticas. La nota cuenta con varios ejemplos y recursos que nos ayudan a entender estos conceptos.
Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos. - [Detalles]
En esta nota vemos el principio del producto, el cual nos dice que la cardinalidad de el producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de sus cardinalidades, también vemos que si tenemos una función entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad son equivalentes ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
Álgebra de conjuntos - [Detalles]
En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. A traves de varios ejemplos veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.
Conjuntos inductivos y axioma del infinito - [Detalles]
En esta entrada, hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos con una cantidad infinita de elementos, este axioma será pieza importante pues los axiomas que tenemos hasta ahora no nos permiten probar que la colección de números naturales es un conjunto.
Conjuntos finitos - [Detalles]
En esta sección veremos a los conjuntos finitos, los cuales podremos contar según el número natural al que sean equipotentes. Además, veremos resultados acerca de la cardinalidad de la unión de dos conjuntos.
Conjuntos finitos (parte II) - [Detalles]
En esta entrada daremos continuación al tema de conjuntos finitos. Probaremos más resultados que se satisfacen para los conjuntos finitos y veremos cuál es la cardinalidad del conjunto potencia dada un conjunto finito.
Conjuntos y elementos - [Detalles]
Estudiamos las primeras nociones de teoría de conjuntos. Vemos qué significa que un elemento pertenezca a otro y cómo describir conjuntos.
Leyes de De Morgan y diferencia simétrica de conjuntos - [Detalles]
En esta entrada hablamos de la diferencia y diferencia simétrica entre conjuntos, las leyes de De Morgan y un resumen de las propiedades de conjuntos.
Breviario de Lógica y Conjuntos - [Detalles]
En este video se comentan algunos aspectos de lógica y conjuntos, que serán de uso muy frecuente en el curso. En especial se comenta sobre los conectivos lógicos y los conjuntos solución de proposiciones sobre números reales.
Qué es un conjunto y otras cuestiones - [Detalles]
Damos la definición de conjunto, y algunos ejemplos de conjuntos importantes. También explicamos la notación que se utiliza para conjuntos.
Unión e intersección de conjuntos - [Detalles]
Definimos la intersección y unión de conjuntos, también damos algunos ejemplos ilustrativos y casos particulares
Diferencia y diferencia simétrica de conjuntos - [Detalles]
Vemos las definiciones diferencia y diferencia simétrica de conjuntos, además damos algunos ejemplos
Ejercicio de repaso de operaciones con conjuntos - [Detalles]
Damos un repaso a las operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, etc. Usamos ejemplos sencillos de subconjuntos de números naturales.
Conjunto potencia - [Detalles]
Definimos el conjunto potencia de un conjunto, hablamos de ejemplos de los conjuntos potencia de conjuntos sencillos, y damos propiedades y teoremas relacionados al conjunto potencia
Tipos de relaciones entre conjuntos - [Detalles]
Hablamos de relaciones de conjuntos muy especiales, la relación identidad, la inversa de una relación, relación reflexiva, relación simétrica, relación transitiva y relación de equivalencia y damos un ejemplo de cada una.
Composición de relaciones entre conjuntos - [Detalles]
Definimos que es la composición de relaciones entre conjuntos, usamos ejemplos para dar composiciones sencillas
Cardinalidad - conjuntos finitos - [Detalles]
Usando lo visto anteriormente, usando la cardinalidad, damos la definición de un conjunto finito o infinito. Hablamos de varios teoremas relacionados a los conjuntos finitos.
Introducción. Repaso Teoría de Conjuntos (Parte 1) - [Detalles]
Presentación de los problemas que fundamentan el cálculo. Conceptos básicos de teoría de conjuntos.
Repaso Teoría de Conjuntos (Parte 2) - [Detalles]
Presentación de las operaciones de conjuntos.
Diapositivas sobre operaciones de conjuntos - [Detalles]
Definimos las operaciones de conjuntos básicas tales como la unión, la intersección, la diferencia, la diferencia simétrica, el complemento y en base a ejemplos incentivamos algunas propiedades de estas operaciones, no se demuestran de manera formal pues se busca que el lector se apropié primero de las definiciones.
Diapositivas sobre conjuntos potencia - [Detalles]
Damos la definición de lo que es el conjunto potencia, lo que representa este tipo de conjunto y además se aclara la idea respecto a la diferencia entre los elementos del conjunto y los elementos del conjunto potencia. Se demuestran 2 propiedades importantes del conjunto potencia, como lo es su "cardinalidad" (número de elementos de un conjunto) y la contención del conjunto potenci involucra la contención de los conjuntos y visceversa.
Guía de estudio sobre conjuntos y relaciones - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los temas de conjuntos, operaciones de éstos y relaciones, en esta lista se contempla que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Cuestionario sobre conjuntos - [Detalles]
Se deja un cuestionario electrónico para que el alumno refuerce sus conocimientos en cuanto a conjuntos, al realizarlo arroja una calificación evaluando su desempeño, así mostrando en que áreas necesitaría volver a revisar.
Ejemplos sobre conjuntos y relaciones - [Detalles]
Se deja una lista de ejemplos respecto a los temas de conjuntos y relaciones con el objetivo de que los alumnos que deseen profundizar más en su estudio respecto a este tema puedan clarificar su comprensión.
Diapositivas sobre imagen y preimagen de una función - [Detalles]
Damos la definición de 2 elementos de una función: la imagen y la preimagen; mostramos ejemplos de estos 2 conjuntos y el como identificarlos así como diferenciarlos, de igual modo enseñamos que al encontrar estos conjuntos es necesario realizar la demostración de la igualdad del conjunto con el propuesto como su preimagen o imagen.
Se definen las acciones de grupo y los G-conjuntos, se prueba que las acciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del grupo en el grupo simétrico, se muestran ejemplos, se definen las órbitas y los estabilizadores.
Nota 1. Noción de Conjunto - [Detalles]
En esta nota se da una noción intuitiva de lo que es un conjunto y un elemento de un conjunto, se muestra como construir conjuntos a partir de propiedades y se listan un par de axiomas de la teoría de conjuntos.
Nota 5. Leyes de De Morgan y la diferencia simétrica. - [Detalles]
En esta nota vemos las Leyes de De Morgan las cuales nos hablan de como se comporta el complemento de un conjunto con las operaciones de unión e intersección. También vemos dos nuevas operaciones: la diferencía de conjuntos y la diferencía simétrica de conjuntos.
Ejercicio de Conjuntos (De Morgan) - [Detalles]
En este video, emprenderemos un viaje meticuloso para demostrar la validez de las Leyes de De Morgan, dos principios fundamentales que conectan la lógica con las operaciones de conjuntos.
Nota 30. Dependencia e independencia lineal - [Detalles]
En esta nota definiremos y veremos ejemplos de conjuntos linealmente dependientes y conjuntos linealmente independientes, veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.
Diferencia simétrica - [Detalles]
En esta sección hablaremos de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos, algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.
Clases de equivalencia y particiones - [Detalles]
Esta entrada estará dedicada a dos conjuntos nuevos a los que llamaremos clases de equivalencia y particiones. Dichos conjuntos nos permitirán por un lado agrupar a los elementos de un conjunto conforme estén relacionados con otros y así estudiar a un conjunto no solo como un total si no por partes.
En esta nueva sección hablaremos acerca del sucesor de un número natural. Este nuevo concepto nos permitirá definir a los conjuntos inductivos e iniciar a descubrir el concepto del infinito desde la perspectiva de la teoría de conjuntos.
Conjuntos infinitos - [Detalles]
En esta sección comenzaremos definiendo que es un conjunto infinito para posteriormente probar resultados acerca de la cantidad de elementos que estos poseen, es decir, la cardinalidad de dichos conjuntos.
Conjuntos numerables - [Detalles]
En esa entrada seguiremos trabajando con conjuntos infinitos, en especial aquellos que tienen la misma cantidad de elementos que los numeros naturales .
Conjuntos importantes - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos revisaremos los conjuntos de números más importantes y los más usuales con los que solemos trabajar, tal es el caso de los naturales y enteros que ya hemos visto en capítulos anteriores, pero ahora añadiendo a los números, racionales, irracionales, reales y hasta los números complejos, que de complejos únicamente es el nombre, ya que veremos que la manera de trabajar con este es muy sencilla.
Axiomas de los conjuntos. - [Detalles]
En esta entrada hablamos sobre la teoría de conjuntos y sus axiomas.
Intersecciones, uniones y complementos de conjuntos - [Detalles]
En esta entrada revisamos tres operaciones de la teoría de conjuntos: La intersección, la unión y el complemento.
Parejas ordenadas y producto cartesiano de conjuntos - [Detalles]
En esta entrada introducimos el concepto de parejas ordenadas y del producto cartesiano entre conjuntos.
Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición - [Detalles]
En esta entrada hablamos sobre relaciones entre conjuntos, el dominio, imagen de una relación así como la composición entre relaciones.
Varios tamaños de conjuntos infinitos - [Detalles]
En esta entrada revisamos el concepto de conjuntos con cardinalidad infinita y damos algunos ejemplos de ellos.
COMAL: Teoría de los Conjuntos - [Detalles]
En este curso en notas tipo blog, comenzamos con una introducción a los axiomas de ZFC y sus consecuencias. A partir de ahí, definimos relaciones, funciones y órdenes. Definimos a los números naturales desde la perspectiva de conjuntos inductivos. Exploramos la definición de equipotencia y finitud, hablando un poco de aritmética cardinal. Terminamos discutiendo el axioma de elección, sus equivalencias y consecuencias. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.
Conjuntos generadores e independencia lineal - [Detalles]
Definimos qué es un conjunto generador de vectores. Definimos los conceptos de dependencia e independencia lineal. Vemos ejemplos y propiedades básicas.
El lema del intercambio de Steinitz - [Detalles]
En un espacio vectorial los conjuntos independientes son "chicos" y los generadores son "grandes". El lema de intercambio de Steinitz formaliza esto.
Transformaciones lineales y vectores independientes - [Detalles]
Estudiamos el efecto que tienen las transformaciones lineales en bases, en conjuntos generadores y en linealmente independientes.
Bases ortogonales y ortonormales - [Detalles]
Definimos conjuntos ortogonales y ortonormales. Definimos también bases ortogonales y ortonormales. Damos propiedades básicas y vemos algunos ejemplos.
Demostraciones con conjuntos - [Detalles]
Usamos ejemplos para dar tips y métodos para demostrar contenciones e igualdades, así como las reglas para demostrar por casos.
Particiones, relaciones y clases de equivalencia - [Detalles]
Definimos un tipo especial de relación entre conjuntos, la Relación de equivalencia, y cuáles son las 3 propiedades que debe cumplir, también hablamos de la clase de equivalencia y la partición de una relación de equivalencia
Funciones numéricas - [Detalles]
Damos ejemplos de funciones donde la relación es entre conjuntos de números, lo cual se denomina función numérica. Hablamos sobre como graficarla y cuales no son funciones.
Funciones iguales - [Detalles]
Hablamos sobre la igualdad de funciones, vista como relaciones entre conjuntos, es decir como subconjuntos del producto cartesiano. Usamos como ejemplos algunas funciones numéricas
Cardinalidad - definición y ejemplos - [Detalles]
Damos la definición de la cardinalidad de un conjunto, usando ejemplos mostramos cuando dos conjuntos tienen la misma cardinalidad.
Cardinalidad - conjuntos infinitos - los naturales - [Detalles]
Hablamos sobre la cardinalidad del conjunto de los números naturales, y mostramos que el conjunto es infinito. Haciendo uso de esto, definimos cuando un conjunto es "Numerable" y damos algunos ejemplos.
Inducción matemática (1) - [Detalles]
Definimos los conjuntos inductivos, y la relación que guarda con el Principio de Inducción Matemática (PIM). También hablamos de cómo usarlo para hacer una demostración por inducción.
Inducción matemática (1) - [Detalles]
Definimos los conjuntos inductivos, y la relación que guarda con el Principio de Inducción Matemática (PIM). También hablamos de cómo usarlo para hacer una demostración por inducción.
El grado de un polinomio - [Detalles]
Hablamos sobre las propiedades de las operaciones con polinomios, notamos que depende del conjunto de escalares y vemos que la suma y la multiplicación de polinomios cumplen ciertas propiedades, si los coeficientes pertenecen a los Enteros, Racionales, Reales o Complejos. Finalmente vemos que, si los coeficientes están en cualquiera de estos conjuntos, el conjunto de polinomios es un anillo conmutativo.
Conjuntos infinitos - [Detalles]
Revisión del concepto de cardinalidad de un conjunto, conjunto infinito y numerable.
Interpretación de las operaciones con eventos - [Detalles]
Explicamos el significado de las operaciones con conjuntos en el contexto de la probabilidad.
Lenguaje de la teoría de los conjuntos - [Detalles]
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Operaciones entre conjuntos - [Detalles]
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Diapositivas sobre funciones - [Detalles]
Definimos el término de función el cual es sumamente ocupado en matemáticas, se muestran ejemplos, explicamos las propiedades respecto a los conjuntos dominio y codominio que hacen diferentes a las funciones de las relaciones; también se abarca la igualdad entre 2 funciones y cuando se da.
Diapositivas sobre cardinalidad y los racionales - [Detalles]
En estas diapositivas se prueba uno de los resultados más sorprendentes durante el primer semestre que es que la cardinalidad entre los naturales es igual que los racionales. También se prueba que la unión disjunta de dos conjuntos infinito-numerable es infinito-numerable.
Diapositivas sobre combinatoria - [Detalles]
Motivamos el estudio del cálculo combinatorio, definimos un número factorial y un número combinatorio, demos unos ejemplos en los cuales para ordenar elementos en un conjuntos importando el orden y no importando el orden donde a los primeros los llamamos permutaciones. Para hacer este tipo de cálculos es muy usual que los alumnos confundan las fórmulas y las ocupen de manera errónea, así que para que el alumno se relacione mejor con las fórmulas se hizo una tabla muy fácil de usar acompañada de varios ejemplos.
Diapositivas sobre bases de espacios vectoriales - [Detalles]
A partir de las definiciones pasadas creamos una nueva que es la de una base la cual debe cumplir con ser un conjunto generador del espacio y ser linealmente independiente, se muestran algunos ejemplos de conjuntos que son bases en sus respectivos espacios y entre estos los ejemplos de las bases canónicas.
Lugares geométricos como su conjuntos del plano y del espacio cartesiano - [Detalles]
Describimos algunos lugares geométricos como subconjuntos del plano y espacio cartesiano. Mostramos que podemos tomar la unión de dos subconjuntos del plano, es decir, la unión de dos lugares geométricos.
Mini-cuestionario: Generadores e independientes - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de los conceptos de conjuntos de vectores generadores y linealmente independientes.
La construcción de las naturales - [Detalles]
Definimos lo que es un conjunto inductivo, demostramos propiedades de este tipo de conjuntos y que el conjunto de los números naturales satisface los axiomas de Peano.
Conjuntos transitivos - [Detalles]
Definimos lo que es un conjunto transitivo y demostramos que todos los naturales y el conjunto de naturales son transitivos.
El tamaño de $N$ y de cada natural - [Detalles]
Caracterizamos a los conjuntos finitos e infinitos y demostramos que el conjunto de los números naturales es el infinito más pequeño.
Problemas de conjuntos transitivos y cardinalidad de los naturales - [Detalles]
Descripción pendiente
Grupos - "Casi grupos" - [Detalles]
Se dan ejemplos de conjuntos con operaciones que "casi" son grupos y se explican las propiedades de grupo que fallan.
26. Funciones complejas como transformaciones. Técnicas de graficación - [Detalles]
Para terminar la unidad, veremos ejercicios de cómo modifican funciones de variable compleja conjuntos del plano en el plano.
Nota 2. Subconjuntos - [Detalles]
En esta nota se presenta la idea de subconjunto así como varias propiedades que derivan de ella, se ven un par de demostraciones básicas de conjuntos y subconjuntos y se dan un par de axiomas.
Nota 6. Conjunto potencia y el producto cartesiano - [Detalles]
En esta nota introducimos un nuevo conjunto: el conjunto potencía, así como varías propiedades sobre él. También vemos otra operación entre conjuntos, el producto cartesiano, llamado así en honor de Rene Descartes; hay un recurso en geogebra que nos ayuda a ilustrar mejor este concepto.
Nota 16. Los números naturales. - [Detalles]
En esta nota construimos los números naturales mediante el uso de conjuntos y la función sucesor, derivado de esto vemos los axiomas de Peano, entre ellos se encuentra el llamado "principio de inducción" el cual se utiliza mucho en pruebas relacionadas a números naturales; por ultimo definimos dos operaciones en este conjunto: la suma y el producto.
Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de H en G - [Detalles]
En esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Nos referimos al grupo de los enteros con la suma (Z,+) en el cual es posible establecer una relación de equivalencia que induce a una partición con exactamente n conjuntos.
Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en dos conjuntos fundamentales relacionados con los homomorfismos. En primer lugar, consideramos la colección de todos los elementos del dominio que son transformados en el elemento neutro del codominio. A este conjunto lo denominamos el núcleo del homomorfismo ϕ. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles la función ϕ y obtener el subconjunto correspondiente en el codominio. A este conjunto lo llamamos la imagen de ϕ. Estos dos subconjuntos desempeñan un papel crucial en el análisis de los homomorfismos.
El complemento de un conjunto - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca del complemento de un conjunto y algunos resultados que se dan a partir de esta definición. A su vez, veremos las leyes de De Morgan, las cuales nos dirán cuál es el complemento de la intersección y de la unión de dos o más conjuntos.
Pares ordenados y producto cartesiano - [Detalles]
En esta nueva entrada definiremos a un par ordenado y probaremos cuando dos parejas ordenadas son iguales. Así mismo dados dos conjuntos definiremos su producto cartesiano y daremos algunos ejemplos sobre este concepto.
Propiedades del producto cartesiano - [Detalles]
En esta entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Hablaremos acerca de la conmutatividad y asociatividad de esta operación. A partir de esta entrada haremos uso de los números naturales aunque formalmente no los hemos definido, por el momento los utilizaremos simplemente como números y no como conjuntos.
En esta entrada vamos a ver el concepto de relación, definiremos nuevos conjuntos a partir de este concepto, como lo son el dominio, la imagen de una relación, la imagen de un conjunto bajo una relación. Concluiremos esta sección definiendo a la relación inversa.
Funciones (parte II) - [Detalles]
En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de como se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.
Funciones suprayectivas y biyectivas - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de funciones sobreyectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio, veremos ejemplos y que pasa con la composición de funciones. Tras definir este concepto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar un conjunto a través de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.
Cotas inferiores e ínfimos - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de cotas inferiores e ínfimos. Estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar conjuntos ordenados. También veremos como se relacionan estos conceptos con el minimo.
Cotas superiores y supremos - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar conjuntos ordenados. También veremos como se relaciona este concepto con el máximo de un conjunto.
Isomorfismos de orden - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con propiedades particulares a las que llamaremos isomorfismos, tabién veremos algunos resultados sobre isomorfismos.
Construcción de los números naturales - [Detalles]
En esta sección comenzaremos con la construcción rigurosa de los números naturales, es decir, desde la teoría de conjuntos, sin dejar de lado la noción intuitiva que ya tenemos, para ello veremos el concepto de conjunto transitivo.
Axioma de elección - [Detalles]
En esta sección abordaremos un axioma relevante no sólo en teoría de conjuntos sino en muchas ramas de las matemáticas. Distintas proposiciones aparentemente sencillas no podrían demostrarse sin su ayuda y algunas de sus consecuencias son tan poderosas que cuesta trabajo aceptarlas. Es por eso que el llamado axioma de elección ha sido controversial desde su formulación a manos de Ernst Zermelo.
Cuestionario de conjuntos importantes - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 14 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: los números naturales, los números enteros, los números racionales e irracionales, etc.
Propiedades del producto cartesiano - [Detalles]
En esta entrada analizamos distintas propiedades del producto cartesiano. En particular, cómo se comporta con la unión y la intersección de conjuntos.
Tipos de relaciones en conjuntos - [Detalles]
En esta entrada vemos los conceptos de relaciones inyectivas, suprayectivas, reflexivas, transitivas y simétricas.
Relaciones de equivalencia y clases de equivalencia - [Detalles]
En esta entrada revisamos las relaciones de equivalencia, clases de equivalencia y particiones de conjuntos.
Funciones invertibles - [Detalles]
Introducción Anteriormente vimos el concepto de composición entre funciones, que nos permiten saltar entre varios conjuntos de manera sencilla, revisamos algunas de sus propiedades y dimos algunos ejemplos. Ahora nos toca profundizar un poco más en la composición de funciones analizando un caso particular de funciones: las invertibles. Que en términos simples nos permiten deshacer […]
Cardinalidad de conjuntos finitos - [Detalles]
Introducción ¿Qué es lo que entiendes cuando alguien te dice: «En esta canasta hay cinco manzanas»? Probablemente te llegue a la mente una imagen similar a la siguiente: Y es que para nosotros es muy natural el decir «cuántas» cosas hay dentro de un conjunto. De hecho los primeros usos que dieron lugar al nacimiento […]
Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I - [Detalles]
En este video se presentará el contenido del curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Se exponen de manera informal los problemas que motivan el Cálculo Diferencial e Integral y se enfatiza la necesidad de la discusión profunda de los conceptos de aproximación (supremos/ínfimos, límites) como fundamento del Cálculo. Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I Contenido: 00:00 ¿Qué significa "cálculo"? 02:37 ¿Qué se entiende actualmente por cálculo? 04:15 ¿Qué es el Cálculo Diferencial? 07:02 ¿Qué es el Cálculo Integral? 08:27 Relación entre el Cálculo Diferencial e Integral 09:27 La Derivada 11:27 La Integral 11:54 El Análisis Real 15:05 Temario del Curso: 1. Números Reales 17:03 Temario del Curso: 2. Conjuntos y Funciones de Números Reales 18:50 Temario del Curso: 3. Límites de Funciones de Variable Real 19:24 Temario del Curso: 4. Continuidad 20:30 Temario del Curso: 5. Derivadas Créditos. Tabla de contenido: Carlos Moisés Arriaga Osante.
Valor absoluto y más sobre el orden de los reales - [Detalles]
En este video definiremos la función valor absoluto, reconoceremos algunas de sus propiedades y veremos cómo son los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades que la involucran. Veremos también cómo se comporta el orden de los reales con operaciones como elevar al cuadrado y tomar recíprocos.