Congruencia de triángulos - [Detalles]
Interactivo relacionado al tema "Congruencia de triángulos". Aquí el estudiante podrá navegar por apartados donde se postulan los tres criterios de congruencia y a partir de estos se demuestran 4 proposiciones, una de ellas sobre congruencia de triángulos y las restantes sobre la igualdad de lados o ángulos. Todo acompañado de figuras interactivas que guían las demostraciones.
Matrices positivas y congruencia de matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos como se relacionan las ideas de matrices asociadas a formas bilineales con el producto interior y espacio euclideano, así como sus análogos complejos. Extenderemos nuestras nociones de positivo y positivo definido al mundo de las matrices. Además, veremos que estas nociones son invariantes bajo una relación de equivalencia que surge muy naturalmente de los cambios de matriz para formas bilineales (y sesquilineales).
Definición de congruencia - [Detalles]
Definimos la relación de congruencia modulo "m" entre dos enteros "a", "b", cuando "m" divide a "a-b". Damos la notación para representar la relación de congruencia y mostramos que dos enteros que son congruentes modulo "m", tienen el mismo residuo de dividir entre "m".
Problemas de producto de matrices y matrices invertibles - [Detalles]
En esta entrada de blog hablamos resolvemos problermas de cómo multiplicar matrices. También hacemos algunos problemas sobre matrices invertibles para aprovechar la teoría desarrollada anteriormente.
Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Definimos operación de transposición de matrices. Hablamos de matrices simétricas y antisimétricas. Vemos propiedades básicas de estos conceptos.
Mini-cuestionario: Transpuesta de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones de transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas
Diapositivas sobre matrices y operaciones - [Detalles]
Mostramos estos arreglos llamados matrices, su notación, las diferentes operaciones que se pueden efectuar con ella como: suma, resta, multiplicación de matrices, producto por un escalar y las hipótesis que se deben cumplir para efectuar estas operaciones. Mostramos unas matrices especiales como los vectores, la matriz identidad y la matriz transpuesta junto con las propiedades de esta última.
Transposición de matrices, matrices simétricas y antisimétricas - [Detalles]
Definimos la transposición de matrices. Vemos ejemplos y propiedades. Hablamos de matrices simétricas y antisimétricas.
Propiedades básicas de congruencias - [Detalles]
Demostramos algunas propiedades sobre la congruencia, entre sus propiedades podremos notar que la relación de congruencia se basa en la relación que tienen los números enteros con el residuo obtenido de dividir entre el módulo "m".
Congruencias como relación de equivalencia - [Detalles]
En este video vemos que la relación de congruencia es, justo como podríamos sospechar, una relación de equivalencia en los enteros. Mostramos que la congruencia cumple las tres propiedades para ser una relación de equivalencia: Reflexividad, Simetría, Transitividad. Hablamos sobre la partición que genera en los enteros y cuáles son las clases de equivalencia para cada entero.
Criterios de congruencia de triángulos - [Detalles]
Damos los criterios de congruencia de triángulos
Criterio de congruencia LAL (Proposición I.4) - [Detalles]
Demostramos el criterio de congruencia de triángulos lado-ángulo-lado
Aplicaciones de criterios de congruencia - [Detalles]
Damos algunas aplicaciones de los criterios de congruencia de triángulos
Congruencia de triángulos - [Detalles]
Demostraremos los criterios de congruencia para triángulos usando transformaciones rígidas y veremos algunos ejemplos.
Introducción al curso, vectores y matrices - [Detalles]
Definimos escalares, vectores, matrices en álgebra lineal. Vemos cómo sumar matrices/vectores y multiplicar por escalares. Probamos un resultado de bases.
Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Problemas resueltos de temas básicos de álgebra lineal. Vemos ejemplos de suma de vectores y matrices. Además, hay ejemplos de transformaciones lineales.
Matrices de bloques - [Detalles]
Definimos el concepto de matrices de bloques. Damos ejemplos y vemos que sus operaciones son compatibles con las de matrices.
Reducción gaussiana para determinar inversas de matrices - [Detalles]
Damos equivalencias útiles de matrices invertibles. Usamos reducción gaussiana para ver si una matriz es invertible y determinar inversas de matrices.
Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Vemos ejemplos de ambos y cómo encontrar determinantes de matrices triangulares.
Matrices simétricas reales y sus eigenvalores - [Detalles]
Enunciamos el teorema espectral para matrices simétricas reales. Mostramos que estas matrices tienen eigenvalores reales y otros dos resultados auxiliares.
Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]
Enunciamos y demostramos el teorema espectral para transformaciones y matrices simétricas reales. Lo aplicamos a la clasificación de matrices positivas.
Matrices: que son y notación - [Detalles]
Explicamos la definición de matrices, y sus características, como numero de renglones y columnas. También se discute la notación de matrices.
Operaciones con matrices - [Detalles]
Explicamos la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar. También damos la definición de un vector y el producto punto. Explicamos de manera sencilla la multiplicación de matrices.
Diapositivas sobre matrices - [Detalles]
Definimos lo que es una matriz y definimos el espacio de matrices de "n" renglones por "m" columnas y algunas matrices cuadradas especiales de este espacio.
Matrices: que son y notación - [Detalles]
Explicamos la definición de matrices, y sus características, como numero de renglones y columnas. También se discute la notación de matrices.
Suma y resta de matrices - [Detalles]
Damos la definición y explicación de la suma de matrices (también sobre la resta). Hacemos algunos ejemplos ilustrativos y vemos en qué casos no es posible restar o sumar matrices.
Polinomio característico de familias especiales - [Detalles]
En esta entrada veremos varias propiedades que nos van a facilitar el calcular el polinomio característico (y por tanto los eigenvalores) en un amplio rango de matrices diferentes, principalmente matrices triangulares superiores y matrices nilpotentes.
Matrices similares y su polinomio característico - [Detalles]
En esta entrada exploramos otros aspectos del polinomio característico. Principalmente nos encargamos de comparar los polinomios característicos de matrices similares, así como los de dos productos (recordamos que el producto de matrices no es conmutativo).
Matrices y transformaciones nilpotentes - [Detalles]
Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Repasamos sistemas de ecuaciones lineales, matrices elementales y matrices equivalentes por filas. Los relacionamos con matrices invertibles.
Producto de matrices con matrices - [Detalles]
Definimos el producto de matrices y vemos casos con pocas entradas. Enunciamos algunas propiedades con demostración y vemos ejemplos.
Matrices invertibles - [Detalles]
Damos la definición de matrices invertibles y vemos ejemplos. Probamos algunas propiedades y enunciamos un criterio para matrices de 2x2.
Mini-cuestionario: suma y producto escalar de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique las operaciones básicas de matrices.
Mini-cuestionario: Multiplicación de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique la multiplicación de matrices.
Producto de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Definimos al producto de matrices como la matriz asociada a su composición como transformaciones. Probamso la regla del producto y propiedades básicas.
Matrices invertibles - [Detalles]
Damos la definición de matrices invertibles. Probamos propiedades básicas y esbozamos un método inicial para encontrar la inversa de una matriz.
Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices - [Detalles]
Resolvemos cuatro problemas usando el método de reducción gaussiana. Dos de ellos son de resolver sistemas lineales y dos de encontrar inversas de matrices.
Matrices de cambio de base - [Detalles]
Definimos a las matrices de cambio de base. Vemos cómo nos ayudan a expresar un vector como combinación lineal de elementos de distintas bases.
Problemas de rango de transformaciones y matrices - [Detalles]
Resolvemos problemas de rango de matrices y transformaciones lineales usando sus propiedades, el teorema de rango nulidad y la desigualdad de Sylvester.
Eigenvectores y eigenvalores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Definimos eigenvectores y eigenvalores de matrices. Vemos que los últimos son raíces de cierto polinomio. Probamos propiedades básicas y vemos ejemplos.
Se define la forma escalonada de una matriz NxM (también se define la forma escalonada reducida), y se dan varios ejemplos de matrices escalonadas, así como ejemplo de matrices que no están en su forma escalonada.
Matriz transpuesta y propiedades de las operaciones matriciales - [Detalles]
Definimos la traspuesta de una matriz y discutimos sus propiedades. También discutimos varias propiedades algebraicas de las operaciones de matrices: Asociatividad, conmutatividad, distributividad y otras propiedades asociadas a las operaciones de matrices con escalares.
Determinantes de matrices $3 imes 3$: dos métodos diferentes - [Detalles]
Describimos dos métodos para calcular el determinante de la matriz de 3x3. El método por cofactores y otro método por la regla de Sarrus (el cual es un método para matrices de 3x3).
Mini-cuestionario: Multiplicación de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo hacer el producto de matrices y cómo esto se relaciona con la composición de sus transformaciones asociadas.
Mini-cuestionario: Matrices invertibles - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de matrices invertibles y sus propiedades
Diapositivas sobre determinantes - [Detalles]
Definimos el determinante de una matriz con esta definición mostramos como se calcula para dimensiones de 3 (regla de Sarrus y cofactores) y para dimensiones mayores a 3, para dimensiones menores es muy fácil realizar el cálculo. Enunciamos las propiedades que cumple el determinante y entre estas proposiciones la condición del determinante para mostrar si una matriz es invertible. Finalmente demostramos una proposición sobre unas matrices especiales que son las triangulares y como estas matrices sin importar su dimensión ni si son triangularrs superiores o inferiores su determinante da una fórmula sencilla que es el producto de las entradas de la diagonal.
Guía de estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los temas de matrices y solución a sistemas de ecuaciones lineales. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Determinantes de matrices 3x3 Dos métodos Diferentes - [Detalles]
Describimos dos métodos para calcular el determinante de la matriz de 3x3. El método por cofactores y otro método por la regla de Sarrus (el cual es un método para matrices de 3x3).
Mini-cuestionario: Matrices de cambio de base - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo obtener matrices de cambio de base.
Mini-cuestionario: Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de rango para transformaciones lineales y matrices.
Mini-cuestionario: Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo se definen los determinantes para matrices y para transformaciones lineales.
Mini-cuestionario: Matrices reales simétricas y sus eigenvalores - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo son los eigenvalores de las matrices simétricas reales.
Mini-cuestionario: Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de lo que dice el teorema espectral para matrices simétricas reales.
Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad.
En la entrada anterior estudiamos la triangularización de matrices, que consistía en llevar matrices a una forma triangular superior. En esta fortaleceremos esta idea, y buscaremos maneras de llevar una matriz a una matriz diagonal: a este proceso se le conoce como diagonalizar.
Matrices de formas bilineales - [Detalles]
En esta entrada formalizaremos la relación entre formas bilineales y matrices. Veremos cómo se define la matriz asociada a una forma bilineal y cómo podemos traducir operaciones con la forma bilineal en operaciones con su matriz asociada.
Matrices de formas sesquilineales - [Detalles]
En esta entrada daremos una relación entre formas sesquilineales, formas cuadráticas hermitianas y matrices. Daremos la definición y veremos sus propiedades. Gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos. Las demostraciones en la mayoría de los casos son análogas, sin embargo, haremos énfasis en las partes que hacen que el caso real y el complejo sean distintos.
Teorema de Sylvester - [Detalles]
En esta entrada introduciremos la noción de la signatura de una matriz. A grandes rasgos, esta noción nos dice «qué tan positiva» es una matriz simétrica. Para definir esta noción, lo haremos primero para las matrices diagonales. Luego lo definiremos para todas las matrices simétricas a través del teorema que demostramos la entrada anterior.
El teorema espectral real - [Detalles]
En esta entrada enunciaremos y demostraremos el teorema espectral en el caso real. Una de las cosas que nos dice es que las matrices simétricas reales son diagonalizables. También nos garantiza que la manera en la que se diagonalizan es a través de una matriz ortogonal. Además, gracias al teorema espectral podremos, posteriormente, demostrar el famoso teorema de descomposición polar que nos dice cómo son todas las matrices.
Existencia de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de la forma canónica de Jordan para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración.
Discutimos la importancia que tendrán las matrices en el cálculo de varias variables. Recordamos ciertas operaciones binarias y elementales.
Introducción a vectores y matrices con entradas reales - [Detalles]
Damos una introducción muy sencilla a los vectores y matrices con entradas reales. Hablamos de su noción de igualdad y vemos ejemplos.
Producto de matrices con vectores - [Detalles]
Definimos el producto de matrices con vectores para pocas entradas. Vemos ejemplos y propiedades que cumple.
Traza de matrices y propiedades - [Detalles]
Definimos qué es la traza de matrices. Vemos que la traza abre sumas y saca escalares. Resolvemos dos problemas ejemplo.
Determinante de matrices y propiedades - [Detalles]
Definimos determinantes de matrices de 2x2 y vemos cómo calcularlos recursivamente para tamaños más grandes. Enunciamos algunas propiedades.
Vectores y Matrices (Segunda Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios Vectoriales". Se incluyen las definiciones y el código para realizar operaciones básicas con matrices, así como el cálculo de su inversa, determinante y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones.
Nota 35. Operaciones elementales, matrices equivalentes y matrices elementales. - [Detalles]
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Mini-cuestionario: Determinantes de matrices - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique la obtención del determinante de una matriz.
Mini-cuestionario: Reducción Gaussiana - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno emplee la reducción gaussiana a distintas matrices y recuerde las condiciones para aplicarlo.
Los enteros módulo $m$ - [Detalles]
Definimos los enteros modulo "m". Este conjunto consiste de las clases de equivalencia de la congruencia modulo "m". Definimos la operación suma y multiplicación en el conjunto de los enteros modulo "m" (recordemos que sus elementos son clases de equivalencia). Mostramos que las operaciones cumplen las propiedades necesarias para que los enteros modulo "m" sean un anillo.
Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]
Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler.
Los teoremas de Fermat y de Euler - [Detalles]
Vemos el pequeño teorema de Fermat y el Teorema de Euler. Primero demostramos el teorema de Euler, el cual nos da una relación de la función de Euler con una congruencia modulo "m", y usando este resultado demostramos el pequeño teorema de Fermat.
Cuando tiene solucion una congruencia lineal - [Detalles]
Vemos un ejemplo de una ecuación lineal modulo 4 que no puede tener soluciones enteras (mostramos que si tuviera solución llegamos a una contradicción), esto nos lleva a dar una proposición para saber cuándo una ecuación lineal tiene una solución y una segunda proposición, con la cual podemos saber cuándo una ecuación lineal tiene o no solución.
Cuantas soluciones tiene una congruencia lineal - [Detalles]
Usando un ejemplo vemos cuantas soluciones llega a tener una ecuación lineal modulo "m", esto nos lleva a buscar un método para conocer el número de soluciones de una ecuación lineal. Haciendo uso de un teorema que demostramos durante el video, llegamos a un corolario el cual nos dice que una ecuación lineal modulo "m", tiene MCD(a,m) soluciones.
Congruencia de triángulos - [Detalles]
Damos algunas propiedades de los triángulos y los criterios para saber cuándo dos triángulos son congruentes
Congruencias y el anillo de enteros módulo n - [Detalles]
Definimos lo que es una congruencia y lo que es un anillo de módulo n, demostramos que Z_{n}es un campo si y sólo si n es primo.
Problemas de congruencias y $Z_n$ - [Detalles]
Resolvemos ejercicios que ocupan las definiciones de congruencia, anillo de módulo n para encontras sus unidades e inversos multiplicativos en caso de que los haya.
Teoremas de Fermat y de Wilson - [Detalles]
Motivamos, enunciamos y demostramos los teoremas de Fermat y de Wilson con problemas del tipo saber si una potencia de un número es congruente con otro o encontrar el residuo de una congruencia,
Los Elementos de Euclides: Teorema 4 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 4 de Los Elementos de Euclides. Aquí se realiza la demostración del criterio de congruencia de triángulos LADO - ÁNGULO - LADO.
Los Elementos de Euclides: Teorema 8 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 8 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra el criterio de congruencia de triángulos LADO - LADO - LADO.
Los Elementos de Euclides: Teorema 26 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 26 de Los Elementos de Euclides. En este teorema se demuestra el criterio de congruencia de triángulos ÁNGULO - LADO - ÁNGULO.
Los Elementos de Euclides: Teorema 29 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 29 de Los Elementos de Euclides. Aquí se demuestra la congruencia de los ángulos alternos internos y de los ángulos correspondientes. Además, que los ángulos conjugados internos son suplementarios.
Congruencias y propiedades básicas - [Detalles]
En este apartado se aborda el tema de relación de congruencia con sus propiedades y operaciones, acompañado de demostraciones de teoremas y proposiciones, así como de definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para ilustrar los conceptos tratados, e incluye algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Introducción a congruencias cuadráticas - [Detalles]
En este apartado se introduce el tema de congruencias cuadráticas cuando el módulo es un número primo o un número compuesto, contiene demostraciones de teoremas y proposiciones, junto con definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para resolver una congruencia cuadrática en módulos primos y algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Proposiciones 1 a 26 del libro I de los Elementos de Euclides (propiedades de los triángulos) - [Detalles]
Aquí el alumno podrá navegar por apartados donde se encuentran las proposiciones 1 a 26 del libro I de los Elementos de Euclides. Estas proposiciones en general son sobre las propiedades de los triángulos y en particular las proposiciones 4,8 y 26 son los criterios de congruencia de los triángulos. Todas demostradas con ayuda de figuras interactivas.
Proposición 4 - Libro I de los Elementos de Euclides - [Detalles]
Aquí se encuentra la demostración de la proposición 4 del libro I de los elementos de Euclides que explica el primer criterio de congruencia de triángulos: lado-ángulo-lado (LAL). Incluye figuras interactivas.
Proposición 8 - Libro I de los Elementos de Euclides - [Detalles]
Aquí se encuentra la demostración de la proposición 8 del libro I de los elementos de Euclides, que es el criterio de congruencia de triángulos: lado-lado-lado (LLL). Incluye figuras interactivas.
Proposición 26 - Libro I de los Elementos de Euclides - [Detalles]
Aquí se encuentra la demostración de la proposición 26 del libro I de los elementos de Euclides, que es el criterio de congruencia de triángulos: ángulo-lado-ángulo (ALA). Incluye figuras interactivas.
Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos qué es una transformación lineal. Vemos que a cualquier matriz se le puede asociar una transformación lineal, y viceversa.
Problemas de transpuesta de matriz y matrices de bloque - [Detalles]
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Forma escalonada reducida - [Detalles]
Definimos que una matriz esté en forma escalonada reducida. Vemos cómo resolver su sistema lineal asociado. Hablamos de operaciones y matrices elementales.
Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida - [Detalles]
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales consistentes y equivalentes. Ejemplos de matrices en forma escalonada reducida.
Espacios vectoriales - [Detalles]
Definimos qué son los espacios vectoriales. Damos muchos ejemplos, entre ellos, espacios de matrices, espacios de funciones y espacios de polinomios.
Problemas de combinaciones lineales, generadores e independientes - [Detalles]
Resolvemos problemas de vectores generadores y linealmente independientes. Damos ejemplos con espacios de vectores, matrices, polinomios y funciones.
Cambio de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos cómo un cambio de base de transformaciones lineales afecta la forma matricial de la transformación. Definimos el concepto de matrices similares.
Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
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Bases duales, recetas y una matriz invertible - [Detalles]
Probamos que las formas coordenadas de una base son base del espacio dual. Vemos problemas prácticos de bases duales y una relación con matrices invertibles
Transformaciones multilineales - [Detalles]
Vemos la utilidad de diagonalizar matrices de 2x2 para exponenciarlas. Lo usamos para motivar y definir transformaciones multilineales y determinantes.
Propiedades del polinomio característico - [Detalles]
Retomamos la definición de polinomio característico y vemos sus propiedades principales. Enunciamos dos teoremas fundamentales de matrices que lo usan.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Mini-cuestionario: Introducción al curso, vectores y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las operaciones de suma vectorial y producto escalar.
Mini-cuestionario: Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo una matriz está asociada a una transformación lineal y viceversa.
Mini-cuestionario: Matrices de bloque - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de matriz de bloque y sus propiedades
Mini-cuestionario: Matrices invertibles mediante sistemas de ecuaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo usar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar la inversa de una matriz
Diapositivas sobre sistemas de ecuaciones lineales, sus soluciones y su matriz de coeficientes - [Detalles]
Comenzamos el tema con la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineal,; hablamos un poco sobre las soluciones de estos sistemas, su geometría e interpretación analítica y cualitativa. Damos un repaso al tema de matrices, recordeando las operaciones elementales, las operaciones renglón y asociamos en una matriz los coeficientes del sistema de ecuaciones lineal.
Cuestionario sobre sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales - [Detalles]
Se deja un cuestionario electrónico para que el alumno refuerce sus conocimientos en cuanto a matrices (operaciones y determinantes) y para solucionar sistemas de ecuaciones. Al realizarlo arroja una calificación evaluando su desempeño, así mostrando en que áreas necesitaría volver a repasar y seguir estudiando.
Diapositivas sobre operaciones matriciales - [Detalles]
Continuamos construyendo la definición de una matriz pero ahora definimos sus operaciones básicas somo la suma y multiplicación de dos matrices también su multiplicación por escalar, también hablamos que una matriz de nx1 o también llamado vector columna es un vector con n entradas que se ocupa para hablar de un elemento de Rn.
Cuestionario sobre matrices - [Detalles]
Ponemos en práctica los primeros conocimientos de lo que es una matriz y sobre este nuevo espacio a estudiar, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Proyecto: El sorteo del auto y matrices de transición - [Detalles]
En este proyecto usamos ideas básicas de álgebra lineal para introducir el concepto de procesos estocásticos discretos usando un problema sobre el sorteo de un auto.
Proyecto: Álgebra lineal básica en Python y Jupyter - [Detalles]
En este proyecto llevamos varios de los conceptos teóricos de álgebra lineal a un lenguaje de programación. Vemos cómo usar las bibliotecas SymPy y NumPy de Python para trabajar con matrices.
Mini-cuestionario: Cambios de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo realizar cambios a las matrices que representan una transformación lineal al cambiar de base.
Mini-cuestionario: Eigenvectores y eigenvectores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones de eigenvectores y eigenvalores.
Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar
Propiedades de eigenvectores y eigenvalores - [Detalles]
En esta entrada profundizaremos en el estudio de los vectores y valores propios, exploraremos diversas de sus propiedades. Comenzaremos con algunas observaciones inmediatas. Después, veremos cómo encontrar de manera sencilla los eigenvalores de las matrices triangulares superiores. También veremos que «eigenvectores correspondientes a eigenvalores diferentes son linealmente independientes«. Finalmente, conectaremos estas nuevas ideas con un objeto que estudiamos previamente: el polinomio mínimo.
Triangularizar y descomposición de Schur - [Detalles]
En esta entrada estudiaremos el concepto de triangularizar matrices. Esto simplemente quiere decir encontrar una base respecto a la cual podamos escribir a nuestra matriz como una matriz triangular superior. Como veremos, el concepto de triangularización está íntimamente ligado con los ceros de polinomios.
Caracterizaciones de diagonalizar - [Detalles]
En esta entrada enunciaremos y demostraremos un teorema de caracterización de matrices diagonalizables, el cual nos ayudará a entender con más profundidad la diagonalizabilidad.
En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices. Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.
El teorema espectral y de descomposición polar complejos - [Detalles]
En esta entrada veremos el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.
Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes - [Detalles]
Enunciaremos el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia.
Unicidad de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta entrada enunciamos la versión para matrices del teorema de la forma canónica de Jordan (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.
Operaciones de suma y producto escalar con vectores y matrices - [Detalles]
Definimos las operaciones de suma y producto escalar para vectores y martices. Enunciamos algunas propiedades con ejemplos y demostraciones.
Vectores y Matrices (Primera Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios vectoriales". Se proporcionan las definiciones y el código de las operaciones básicas de un vector, además de operaciones como el producto punto, producto cruz, la norma, y el triple producto punto.
Álgebra lineal (matrices) - [Detalles]
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Nota 33. Matrices - [Detalles]
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Nota 34. Multiplicación de matrices, identidad, inversas y transpuesta. - [Detalles]
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Nota 43. Propiedad multiplicativa del determinante y teorema de invertibilidad de matrices. - [Detalles]
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Mini-cuestionario: suma y producto escalar de vectores - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad V "Matrices y determinantes" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno practique las operaciones básicas de vectores.