Producto de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Definimos al producto de matrices como la matriz asociada a su composición como transformaciones. Probamso la regla del producto y propiedades básicas.
Transformaciones de variables aleatorias - [Detalles]
Establecemos las bases para hacer transformaciones de variables aleatorias así como las hipótesis que deben cumplir como una composición de funciones, además demostramos que las funciones continuas son Borel-medibles y la composición de una función Borel-medible con una variable aleatoria es una variable aleatoria.
Mini-cuestionario: Multiplicación de matrices y composición de sus transformaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo hacer el producto de matrices y cómo esto se relaciona con la composición de sus transformaciones asociadas.
25. Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius - [Detalles]
En la entrada anterior ya vimos transformaciones y varios tipos, ahora vamos a concentrarnos en dos tipos muy especiales de transformaciones: las lineales y las de Möbius, las últimas en particular esconden bajo su mano un montón de propiedades interesantes que veremos con detalle.
Transformaciones ortogonales, isometrías y sus propiedades - [Detalles]
En la siguiente entrada veremos transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.
El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales - [Detalles]
En esta entrada buscamos entender mejor el grupo de transformaciones ortogonales. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión 2. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.
Matrices y transformaciones nilpotentes - [Detalles]
Hemos estudiado varias clases importantes de matrices y transformaciones lineales: diagonales, triangulares superiores, simétricas, ortogonales, normales, etc. Es momento de aprender sobre otro tipo fundamental de matrices y transformaciones lineales: las transformaciones nilpotentes.
Diapositivas sobre composición de funciones y función inversa - [Detalles]
Definimos 3 tipos de funciones que serán de utilidad en nuestro curso que son la función identidad, función restricción y la función inclusión; se muestra la operación que se puede realizar con funciones llamada composición, en esta se manifiesta cuáles son las condiciones necesarias para componer 2 funciones, entre estos temas se muestra la relación que tiene la función inversa con la función idnetidad y la composición, finalmente se demuestran unas propiedades sencillas de la función identidad. Durante toda la explicación se ponene ejemplos para la comprensión del alumno.
Composición de relaciones - [Detalles]
En esta sección definiremos una nueva relación a partir de dos relaciones con ciertas características y una operación a la que llamaremos composición. Veremos si la operación composición tiene propiedades como la conmutatividad o la asociatividad.
Forma matricial de una transformación lineal - [Detalles]
Definimos la forma matricial de transformaciones lineales. Vemos que la composición de transformaciones corresponde al producto de sus formas matriciales.
25. Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius - [Detalles]
Ahora revisemos un tipo de transformaciones complejas mas interesantes, de cierto tipo que nos permiten observar más geometría en el plano complejo.
25. Transformaciones lineales y transformaciones de Möbius - [Detalles]
Ahora revisemos un tipo de transformaciones complejas mas interesantes, de cierto tipo que nos permiten observar más geometría en el plano complejo.
Transformaciones normales, simétricas y antisimétricas - [Detalles]
A partir de la noción de adjunción es posible definir ciertos tipos especiales de transformaciones lineales: las transformaciones normales, las simétricas y las antisimétricas. En esta entrada veremos dichos conceptos.
Composición de relaciones entre conjuntos - [Detalles]
Definimos que es la composición de relaciones entre conjuntos, usamos ejemplos para dar composiciones sencillas
Composición de funciones - [Detalles]
Definimos la composición de dos funciones, la cual es una nueva función, vemos un ejemplo con una función numérica
Composición de inyectivas es inyectiva - [Detalles]
Usando el concepto de inyectividad, demostramos el teorema: Si dos funciones son inyectivas, entonces su composición es inyectiva.
Composición de suprayectivas es suprayectiva - [Detalles]
Usando el concepto de suprayectividad, demostramos el teorema: Si dos funciones son suprayectivas, entonces su composición es inyectiva.
Composición de Funciones Biyectivas es Biyectiva - [Detalles]
Al igual que los casos anteriores demostramos que: Si dos funciones son biyectivas, entonces su composición es biyectiva
Suma, producto y composición de funciones - [Detalles]
Estudio de los conceptos de suma, producto, cociente y composición de funciones.
Diapositivas sobre funciones invertibles y biyectivas - [Detalles]
En este tema se demuestra una de las propiedades más importantes de todo el tema de funciones que es que una función es inversa de otra si la composición por ambos lados da la función identidad y segundo que si está función es biyectiva su inversa cumple que la composición resulta la identidad.
Ejemplos sobre composición de funciones - [Detalles]
El ejercicio pide exhibir 2 funciones, la primera pide que si una es inyectiva y otra no lo es; la segunda pide que una sea inyectiva y otra sea suprayectiva y la composición de estas no sea ni inyectiva ni suprayectiva.
Nota 9. Composición de funciones. - [Detalles]
En esta nota vemos una operación entre funciones llamada composición, así como la prueba de que es una operación asociativa; también vemos varios ejemplos de composiciones y recursos interactivos que nos ayudan a entender mejor el tema, por ultimo introducimos una función muy importante: la función identidad.
Nota 12. Teoremas de la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas. - [Detalles]
En esta nota probamos varios resultados referentes a la composición de funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
Diseño y programación orientada a objetos; Modelo - [Detalles]
1.2 Modelo orientado a objetos - ¿Qué es el modelo orientado a objetos? Presentación de las características de este modelo y su composición además de la definición de objeto que usaremos, cómo funciona, su rutina y mensaje además los tipos que existen. De igual forma se nos explica la definición de estado de objeto. y los tipos de métodos. También se nos habla de la programación orientada a objetos con clases, su definición y composición. Por último se presenta la definición de interfaz.
Relaciones en conjuntos: dominio, codominio y composición - [Detalles]
En esta entrada hablamos sobre relaciones entre conjuntos, el dominio, imagen de una relación así como la composición entre relaciones.
Composición de funciones - [Detalles]
En esta entrada revisamos la composición entre funciones y algunas propiedades.
Funciones invertibles - [Detalles]
Introducción Anteriormente vimos el concepto de composición entre funciones, que nos permiten saltar entre varios conjuntos de manera sencilla, revisamos algunas de sus propiedades y dimos algunos ejemplos. Ahora nos toca profundizar un poco más en la composición de funciones analizando un caso particular de funciones: las invertibles. Que en términos simples nos permiten deshacer […]
Funciones, Parte 3 - [Detalles]
En este video se formaliza el concepto de composición de funciones y se discute sobre cómo es el dominio de una composición de funciones.
Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Problemas resueltos de temas básicos de álgebra lineal. Vemos ejemplos de suma de vectores y matrices. Además, hay ejemplos de transformaciones lineales.
Transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos la intuición de transformaciones lineales. Damos la definición formal, ejemplos y propiedades básicas. Definimos la imagen y el kernel (núcleo).
Transformaciones lineales y vectores independientes - [Detalles]
Estudiamos el efecto que tienen las transformaciones lineales en bases, en conjuntos generadores y en linealmente independientes.
Cambio de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos cómo un cambio de base de transformaciones lineales afecta la forma matricial de la transformación. Definimos el concepto de matrices similares.
Problemas de rango de transformaciones y matrices - [Detalles]
Resolvemos problemas de rango de matrices y transformaciones lineales usando sus propiedades, el teorema de rango nulidad y la desigualdad de Sylvester.
Problemas de transformaciones transpuestas y formas bilineales - [Detalles]
Resolvemos varios problemas de transformaciones transpuestas, de formas bilineales simétricas y de formas cuadráticas asociadas.
Transformaciones multilineales - [Detalles]
Vemos la utilidad de diagonalizar matrices de 2x2 para exponenciarlas. Lo usamos para motivar y definir transformaciones multilineales y determinantes.
Transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes - [Detalles]
Definimos transformaciones n-lineales antisimétricas y alternantes. Vemos que las familias coinciden casi siempre. Comenzamos a hablar de determinantes.
Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos determinantes de matrices y de transformaciones lineales. Vemos ejemplos de ambos y cómo encontrar determinantes de matrices triangulares.
Transformaciones de variables aleatorias continuas - [Detalles]
Mostramos dos métodos para realizar transformaciones de variables aleatorias. El primero es manipular directamente la función de distribución y la para el segundo método demostramos el teorema de cambio de variable, ambos métodos acompañados de ejemplos.
Transformaciones de cubierta - parte 1 - [Detalles]
En este video definimos el grupo de transformaciones de cubierta, damos algunos ejemplos y definimos cubriente normal.
Transformaciones de cubierta - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos el teorema que relaciona el grupo de transformaciones de cubierta de un cubriente con el grupo fundamental del espacio base.
Mini-cuestionario: Transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento del concepto y propiedades de transformaciones lineales.
Mini-cuestionario: Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de rango para transformaciones lineales y matrices.
Mini-cuestionario: Transformaciones multilineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las definiciones básicas de transformaciones multilineales.
Mini-cuestionario: Determinantes de matrices y transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo se definen los determinantes para matrices y para transformaciones lineales.
24. Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Revisemos ahora aspectos geométricos acerca de las funciones, o transformaciones $T:\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}$.
24. Transformaciones del plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Ya hablamos bastante acerca de las funciones complejas, su continuidad y derivadas, ahora revisaremos un poco más afondo la geometría, por medio de las transformaciones, veremos varios tipos de estas y como afectan al plano y a subconjuntos de este.
Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad.
Adjunta de una transformación lineal - [Detalles]
En esta tercera unidad estudiaremos algunos aspectos geométricos de transformaciones lineales. Para ello, lo primero que haremos será introducir la noción de la adjunta de una transformación lineal. Esto nos permitirá más adelante poder hablar de varias transformaciones especiales: normales, simétricas, antisimétricas, ortogonales.
El teorema espectral y de descomposición polar complejos - [Detalles]
En esta entrada veremos el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.
Regla de la cadena - [Detalles]
Demostración de la derivada de composición de funciones y la regla de la cadena.
Diapositivas sobre relaciones de conjuntos - [Detalles]
Definimos un nuevo término que es la relación entre 2 conjuntos y su producto cartesiano, también definimos nuevos conjuntos que se dan al hacer una relación, estos nuevos conjuntos se llaman dominio, codominio y el conjunto imagen, estos conjuntos son de gran importancia pues se verán en gran parte de la carrera y en demás materias (tales como los cálculos), para finalizar mostramos las relaciones más comunes en el estudio de matemáticas y una operación entre relaciones llamada composición,
Diapositivas sobre supreyectividad, inyectividad y biyectividad - [Detalles]
Clasificamos 3 tipos de funciones que son muy importantes para nuestro estudio que son: las inyectivas, suprayectivas y biyectivas; mostramos ejemplos de ellas y también se dan las ideas generales sobre cómo demostrar que una función es de alguna de este tipo como muestra de ello se demuestra que la función identidad cumple con ser inyectiva, suprayectiva y biyectiva al mismo tiempo, asimismo se demuestran teoremas muy importantes para la composición entre 2 funciones inyectivas da una función inyectiva y ese mismo resultado para subreyectivad y biyectividad.
Factorización en ciclos disjuntos - [Detalles]
Demostramos que toda permutación de un conjunto finito es una composición de ciclos disjuntos. Además damos un ejemplo para ilustrar la demostración.
Multiplicatividad del signo. Parte 2 - [Detalles]
Demostramos que el signo de una composición de permutaciones es el producto de los signos de los factores.
Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo - [Detalles]
En esta sección se analizara un tipo de correspondencia que se puede presentar entre dos grupos, lo cual nos llevara a definir el concepto de Homomorfismo. Por tanto, es necesario analizar sus propiedades y comportamientos bajo composición.
Diseño y programación orientada a objetos; Diseño - [Detalles]
1.3 Diseño: tarjetas de responsabilidad y UML - Diseño de una solución orientada a objetos. Cómo se hace una tarjeta de responsabilidad. ¿Qué es la notación UML? y cómo hacer un diagrama de clases. Se da el primer acercamiento al concepto de herencia o generalización, implementación o realización y contención (agregación y composición). Por último se habla de dependencia y asociación.
Funciones inyectivas - [Detalles]
En esta sección abordaremos el concepto de función inyectiva, notaremos que la función inyectiva será aquella que mande elementos distintos a elementos distintos bajo una función. Veremos varios ejemplos así como equivalencias a ser inyectiva, por ultimo veremos que pasa con la composición de funciones y la inyectividad.
Funciones suprayectivas y biyectivas - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de funciones sobreyectivas, este tipo de funciones serán aquellas cuya imagen sea todo el codominio, veremos ejemplos y que pasa con la composición de funciones. Tras definir este concepto podremos definir el concepto de función biyectiva, este último será de gran utilidad pues haremos uso de él cuando queramos estudiar un conjunto a través de otros conjuntos que tengan la misma cantidad de elementos.
Funciones, Parte 1 - [Detalles]
En este video se discute el concepto intuitivo de función, junto con otros conceptos asociados como dominio, codominio, regla de correspondencia y composición. Después se introduce la definición formal de función y se compara con la definición intuitiva. Finalmente se discuten algunos ejemplos.
Álgebra de límites - [Detalles]
En este video se demuestra que 1. El límite de la suma es la suma de los límites. 2. Si una función tiene límite cuando x tiende a un número a, entonces en alguna vecindad de a, la función está acotada. 3. El límite del producto de funciones es el producto de los límites. 4. El límite de la composición de funciones es el límite de la segunda componente cuando y tiende al límite de la primera componente cuando x tiende a un número a.
Continuidad de funciones de números reales - [Detalles]
En este video examinaremos la definición de continuidad puntual y veremos que muchas funciones que conocemos son continuas en muchos puntos. Daremos también la definición de continuidad en un conjunto y veremos que gracias a los teoremas que conocemos sobre el álgebra de límites, la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones continuas es continua.
Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos qué es una transformación lineal. Vemos que a cualquier matriz se le puede asociar una transformación lineal, y viceversa.
Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial - [Detalles]
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Rango de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
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Eigenvectores y eigenvalores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Definimos eigenvectores y eigenvalores de matrices. Vemos que los últimos son raíces de cierto polinomio. Probamos propiedades básicas y vemos ejemplos.
Teorema espectral para matrices simétricas reales - [Detalles]
Enunciamos y demostramos el teorema espectral para transformaciones y matrices simétricas reales. Lo aplicamos a la clasificación de matrices positivas.
Aplicaciones del teorema espectral, bases ortogonales y más propiedades de transformaciones lineales - [Detalles]
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Congruencia de triángulos - [Detalles]
Demostraremos los criterios de congruencia para triángulos usando transformaciones rígidas y veremos algunos ejemplos.
Mini-cuestionario: Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo una matriz está asociada a una transformación lineal y viceversa.
Mini-cuestionario: Introducción a forma matricial de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Mini-cuestionario: Más sobre formas matriciales de transformaciones lineales - [Detalles]
Otro mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Mini-cuestionario: Cambios de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo realizar cambios a las matrices que representan una transformación lineal al cambiar de base.
Mini-cuestionario: Transformaciones multilineales antisimétricas y alternantes - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de qué son las formas multilineales antisimétricas y alternantes.
Mini-cuestionario: Eigenvectores y eigenvectores de transformaciones y matrices - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones de eigenvectores y eigenvalores.
26. Funciones complejas como transformaciones. Técnicas de graficación. - [Detalles]
Como sabemos, es un poco difícil visualizar la gráfica de una función que va de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$, este es más o menos el caso en funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$, por lo que para cerrar la unidad, estudiaremos algunos métodos que se pueden emplear para visualizar de cierta forma estas gráficas.
26. Funciones complejas como transformaciones. Técnicas de graficación - [Detalles]
Para terminar la unidad, veremos ejercicios de cómo modifican funciones de variable compleja conjuntos del plano en el plano.
Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar
Adjunciones complejas y transformaciones unitarias - [Detalles]
En esta entrada haremos una recapitulación de los resultados que demostramos en el caso real, pero ahora los enunciaremos para el caso complejo. Las demostraciones son similares al caso real, pero haremos el énfasis correspondiente cuando haya distinciones para el caso complejo.
Unicidad de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta entrada enunciamos la versión para matrices del teorema de la forma canónica de Jordan (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.