Limites laterales - [Detalles]
En este video se explica la idea de los límites laterales, se hacen algunos ejemplos y se demuestra que cuando los límites laterales coinciden, el límite de la función existe y es igual al valor común de los límites laterales.
Álgebra de límites - [Detalles]
En este video se demuestra que 1. El límite de la suma es la suma de los límites. 2. Si una función tiene límite cuando x tiende a un número a, entonces en alguna vecindad de a, la función está acotada. 3. El límite del producto de funciones es el producto de los límites. 4. El límite de la composición de funciones es el límite de la segunda componente cuando y tiende al límite de la primera componente cuando x tiende a un número a.
Límites laterales - [Detalles]
Definición y ejemplos de límites laterales de una función
Límites en el infinito - [Detalles]
Definición y ejemplos de límites en el infinito
Límites infinitos - [Detalles]
Definición y ejemplos de límites infinitos (divergencia)
Límites de funciones trigonométricas - [Detalles]
Estudio de los límites de las funciones trigonométricas
Ejercicio Cálculo de límites - [Detalles]
En este video, comenzaremos nuestra aventura desde la base misma, adentrándonos en el misterioso y fascinante mundo de los límites.
Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I - [Detalles]
En este video se presentará el contenido del curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Se exponen de manera informal los problemas que motivan el Cálculo Diferencial e Integral y se enfatiza la necesidad de la discusión profunda de los conceptos de aproximación (supremos/ínfimos, límites) como fundamento del Cálculo. Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I Contenido: 00:00 ¿Qué significa "cálculo"? 02:37 ¿Qué se entiende actualmente por cálculo? 04:15 ¿Qué es el Cálculo Diferencial? 07:02 ¿Qué es el Cálculo Integral? 08:27 Relación entre el Cálculo Diferencial e Integral 09:27 La Derivada 11:27 La Integral 11:54 El Análisis Real 15:05 Temario del Curso: 1. Números Reales 17:03 Temario del Curso: 2. Conjuntos y Funciones de Números Reales 18:50 Temario del Curso: 3. Límites de Funciones de Variable Real 19:24 Temario del Curso: 4. Continuidad 20:30 Temario del Curso: 5. Derivadas Créditos. Tabla de contenido: Carlos Moisés Arriaga Osante.
Ley del sándwich y límites en situaciones indeterminadas - [Detalles]
En este video demostramos la ley del sándwich y probamos un útil teorema que nos permite calcular y demostrar límites en situaciones indeterminadas.
Limites infinitos - [Detalles]
En este video se ejemplifica y definen los límites infinitos.
Limites al infinito - [Detalles]
En este video veremos la definición de los límites cuando x tiende a infinito.
Álgebra homológica - el teorema fundamental del álgebra homológica - [Detalles]
En este video enunciamos y demostramos el teorema fundamental del álgebra homológica. Seguramente el teorema más importante en esta área.
Continuidad de funciones de números reales - [Detalles]
En este video examinaremos la definición de continuidad puntual y veremos que muchas funciones que conocemos son continuas en muchos puntos. Daremos también la definición de continuidad en un conjunto y veremos que gracias a los teoremas que conocemos sobre el álgebra de límites, la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones continuas es continua.
COMAL Álgebra Lineal 1 – Tarea 1 - [Detalles]
Tarea en equipo para repasar temas de la Unidad 1 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Tarea 2 - [Detalles]
Tarea en equipo para repasar temas de la Unidad 2 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Tarea 3 - [Detalles]
Tarea en equipo para repasar temas de la Unidad 3 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Tarea 4 - [Detalles]
Tarea en equipo para repasar temas de la Unidad 4 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Examen 1 - [Detalles]
Examen de práctica de la Unidad 1 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Examen 2 - [Detalles]
Examen de práctica de la Unidad 2 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Examen 3 - [Detalles]
Examen de práctica de la Unidad 3 del COMAL de Álgebra Lineal 1
COMAL Álgebra Lineal 1 – Examen 4 - [Detalles]
Examen de práctica de la Unidad 4 del COMAL de Álgebra Lineal 1
Construcción de σ-álgebras - [Detalles]
Desarrollamos el concepto de sigma-álgebra generado por una familia de subconjuntos del espacio muestral. Con este se construye el sigma-álgebra de los borelianos.
COMAL: Álgebra Lineal I - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Lineal con un fuerte uso de notas de blog y problemas. Hacia el final hacemos énfasis en cómo los temas se aplican en áreas como programación en Python, homología, cuántica, biología matemática, entre otros. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721.
COMAL: Álgebra Superior I - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Superior I viendo varios videos, ejemplos y presentaciones en el camino. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721.
COMAL: Álgebra Superior II - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Superior II viendo varios videos, ejemplos y presentaciones en el camino. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104721.
COMAL: Álgebra Lineal II - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Lineal II con un fuerte uso de notas de blog y problemas. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.
COMAL: Álgebra Moderna I - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de la materia Álgebra Moderna I. Tenemos notas del curso, videos y cuestionarios para práctica. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522..
Demostración del teorema fundamental del álgebra usando el grupo fundamental del círculo - [Detalles]
En este video damos una demostración hermosa del teorema fundamental del álgebra usando e hecho de que el grupo fundamental del círculo es cíclico infinito.
Álgebra homológica - complejos de cadenas - [Detalles]
En este video comenzamos a estudiar álgebra homológica desde un punto de vista puramente algebraico. Definimos complejos de cadenas, subcomplejos, complejos cociente, homología y funciones inducidas.
Álgebra homológica - el lema de la serpiente - [Detalles]
En este video enunciamos y demostramos el "lema de la serpiente". Este lema será usado en la demostración del teorema fundamental del álgebra homológica.
Álgebra homológica - el lema de los cinco - [Detalles]
En este video enunciamos y demostramos "el lema del cinco", el cual es un resultado fundamental y elemental en álgebra homológica. Este lema nos será muy útil más adelante.
COMAL: Álgebra Superior II - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Superior II con un fuerte uso de notas de blog y problemas. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.
Proyecto: Álgebra lineal básica en Python y Jupyter - [Detalles]
En este proyecto llevamos varios de los conceptos teóricos de álgebra lineal a un lenguaje de programación. Vemos cómo usar las bibliotecas SymPy y NumPy de Python para trabajar con matrices.
Algebra Moderna I: Operación binaria - [Detalles]
El objetivo de esta nota es definir el concepto de "operación binaria" dentro del Algebra Moderna. Así mismo, dejar definida la notación del concepto que se adoptará a lo largo de las notas del curso. Y por ultimo se ejemplifican algunas formas de construir este tipo de operaciones.
Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]
El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Álgebra de conjuntos - [Detalles]
En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. A traves de varios ejemplos veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.
Álgebra de Funciones - [Detalles]
En este video se enlistan las operaciones entre funciones, dando lugar al álgebra de funciones.
COMAL: Álgebra Superior I - [Detalles]
Cubrimos el temario oficial de Álgebra Superior I con un fuerte uso de notas de blog y problemas. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.
Regla de L’’Hôpital - [Detalles]
Estudio de los límites a través de la derivada: regla de L’’Hôpital.
14. Límites en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Analizaremos nuevamente la definición de límite, pero ahora para funciones complejas.
14. Límites en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada conoceremos el límite de una función de variable compleja, cuya definición no es lejana a la de funciones de variable real, para luego poder abrirnos paso hacia la continuidad.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Examen - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Ejercicio Limite superior de una sucesión - [Detalles]
En este video estudiamos los límites limsup y el liminf. Navegaremos entre secuencias y funciones, descubriendo cómo estas dos nociones nos brindan perspectivas únicas sobre el comportamiento asintótico.
Ejercicio Ejemplos de L'Hôpital - [Detalles]
En este video, nos sumergiremos en la aplicación de este teorema para resolver dos límites esenciales: el límite de \( \frac{\tan(x)}{x} \) y el límite de \( \frac{\cos^2(x) - 1}{x} \) cuando \( x \) tiende a 0.
Limites de funciones - [Detalles]
En este video se expone la definición del límite cuando x tiende a p de f(x).
Ejemplos demostración de limites - [Detalles]
En este video se ejemplifica cómo demostrar (épsilon-delta) que el límite cuando x tiende a 2 de f(x)=x^4 es 16, y que el límite cuando x tiende a un número positivo a, de f(x)=1/x es 1/a.
Límites Trigonométricos Especiales - Demostración - Ejercicio 1. - [Detalles]
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Limites de sucesiones - [Detalles]
En este video se motiva la definición de límite de una sucesión de números reales, y se ejemplifica con la sucesión 1/n.
COMAL: Cálculo Diferencial e Integral I - [Detalles]
Este curso de Cálculo Diferencial e Integral I introduce desde motivaciones históricas hasta temas de números reales, funciones, límites, derivadas, sucesiones y algo de series. Con actividades prácticas, videos explicativos y ejercicios, se espera que quienes usen este material conozcan con suficiente profundidad los temas propuestos y desarrollen habilidades de demostración. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.
Introducción al curso, vectores y matrices - [Detalles]
Definimos escalares, vectores, matrices en álgebra lineal. Vemos cómo sumar matrices/vectores y multiplicar por escalares. Probamos un resultado de bases.
Problemas de vectores, matrices y matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Problemas resueltos de temas básicos de álgebra lineal. Vemos ejemplos de suma de vectores y matrices. Además, hay ejemplos de transformaciones lineales.
Valores y vectores propios para resolver sistemas lineales - [Detalles]
Se desarrolla la teoría preliminar hacía el método de valores y vectores propios para resolver sistemas lineales homogéneos, así mismo se hace un breve repaso sobre éstos conceptos desde una perspectiva del álgebra lineal
Cuestionario Unidad 1 Álgebra Superior - [Detalles]
Se deja un cuestionario electrónico para que el alumno refuerce sus conocimientos en cuanto a lógica proposicional, al realizarlo arroja una calificación evaluando su desempeño, así mostrando en que áreas necesitaría volver a revisar.
Álgebra homológica - homotopías - [Detalles]
En este video definimos homotopías entre homomorfismos de complejos de cadenas. Además demostrarmos que funciones homotópicas inducen funciones iguales en homología.
Álgebra homológica - sucesiones exactas - [Detalles]
En este video definimos sucesiones exactas. Este video introduce notación que será muy usada en videos posteriores.
Álgebra homológica - naturalidad del homomorfismo de conexión - [Detalles]
En este video demostramos la naturalidad del homomorfismo de conexión. Dicha naturalidad es en el sentido de la teoría de categorías.
Homología singular - la sucesión exacta de la tercia - [Detalles]
En este video deducimos una sucesión exacta larga que involucra grupos de homología relativas de tres espacios Z contenido en Y y Y contenido en X. Esta sucesión es muy parecida a la sucesión exacta larga de la pareja y se deduce usando el teorema fundamental del álgebra homológica.
Proyecto: El sorteo del auto y matrices de transición - [Detalles]
En este proyecto usamos ideas básicas de álgebra lineal para introducir el concepto de procesos estocásticos discretos usando un problema sobre el sorteo de un auto.
Proyecto: Modelo de Leslie para explotación animal y eigenvalores - [Detalles]
Este proyecto de aplicación usa nociones básicas de álgebra lineal para plantear un modelo poblacional para cierta especie, así como una posible expltación responsable de la misma.
Proyecto: Mecánica cuántica desde álgebra lineal - [Detalles]
En este proyecto de aplicación extendemos lo aprendido sobre producto interior hacia espacios vectoriales sobre los complejos. Hacemos esto para hablar de la notación bra-ket en física y para introducir ideas básicas de mecánica cuántica.
Introducción al curso y números naturales - [Detalles]
Comenzamos el curso retomando las principales definiciones del conjunto de los números naturales enseñados en el curso de álgebra superior II asimismo se enseñan los axiomas de Peano.
Construcción de números complejos - [Detalles]
Motivamos la construcción de los complejos y como suplen la necesidad de resolver el problema de raíces de números negativos con el número i. La construcción es muy parecida a las dadas en álgebra superior II como parejas ordenadas, también definimos su propiedad suma y producto, con estas operaciones demostramos que los complejos son un campo.
Inmersión de los reales en los complejos - [Detalles]
Motivamos la construcción de los complejos y como suplen la necesidad de resolver el problema de raíces de números negativos con el número i. La construcción es muy parecida a las dadas en álgebra superior II como parejas ordenadas, también definimos su propiedad suma y producto, con estas operaciones demostramos que los complejos son un campo.
Ecuaciones cuadráticas complejas - [Detalles]
Damos un primer acercamiento al teorema fundamental del álgebra y como repercute este en el campo de los complejos, también mostramos una manera de resolver ecuaciones cuadráticas en el campo complejo que no tienen solución en el campo de los reales, también mostramos que la fórmula general es aplicable sobre C.
Irreducibilidad en R[x] - [Detalles]
Enunciamos el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización única de polinomios sobre los complejos asimismo vemos las raíces complejas de un polinomio y su la irreducibilidad de un polinomio real.
Continuidad y diferenciabilidad de polinomios reales - [Detalles]
Definimos dos términos muy ocupados en general en matemáticas que son los conceptos de continuidad y derivada, éstos términos los definimos en general para funciones pero en nuestro módulo de álgebra lo limitamos a ocuparlo para polinomios, demostramos que todo polinomio es una función continua y también demostramos el teorema de valor intermedio y el teorema de la derivada de polinomios.
37. Consecuencias del teorema integral de Cauchy - [Detalles]
En esta entrada veremos unas cuantas consecuencias del Teorema Integral de Cauchy, tales como el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, el Teorema de Morera y más.
Álgebra Moderna I: Operación binaria asociativa y conmutativa - [Detalles]
A continuación se manejan dos tipos de operaciones especificas: las operaciones binarias asociativas y las operaciones conmutativas. Dentro de estos conceptos se espera que el lector pueda reconocer cuando una operación binaria recae dentro de alguno de estos dos tipos mencionados o no. En las notas, se da ejemplo de como reconocer la conmutatividad dentro de un arreglo de Tabla.
Álgebra Moderna I: Definición de Grupos - [Detalles]
Dentro de lo que se abordará como tema principal a continuación, es la definición de grupo y se facilitara la compresión de este nuevo concepto a través de varios ejemplos. Un concepto más es el de Grupo abeliano.
Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo - [Detalles]
En primera instancia se definirán propiedades básicas de grupos como en cualquier otra estructura algebraica. En la cual, es de importancia mencionar la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Por ultimo, la definición débil de grupo.
Álgebra Moderna I: Asociatividad Generalizada y Leyes de los Exponentes - [Detalles]
Dentro de las operaciones básicas de un grupo, podemos encontrar la asociatividad. La cual es tratada dentro de esta sección, además de algunas de sus consecuencias inmediatas y un teorema generalizando.
Álgebra Moderna I: Subgrupos - [Detalles]
La proxima estructura que nos interesa estudiar es la de la subcoleccion H de un grupo G, por tanto necesitamos conocer que necesita H para que sea un grupo en si mismo. Así mismo, hay que estudiar propiedades que heredan estas subcolecciones y las caracterizaciones. Por ultimo siempre es bueno revisar que pasa cuando son finitos.
Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]
¿Cualquier subconjunto X de un grupo G es un subgrupo? Esta premisa es abordada principalmente, necesitamos ver condiciones necesarias que pedirle a a X. Requiriendo la definición de orden de un elemento hasta llegar al concepto de subgrupo cíclico.
Álgebra Moderna I: Orden de un grupo - [Detalles]
Es importante definir ahora el orden de un grupo, formalizando algunos conceptos del tema anterior como el del conjunto generado por un elemento a.
Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por X - [Detalles]
El primer teorema a probar dentro de la sección es el de si todo subgrupo de un cíclico, es cíclico también. Posterior a este resultado se busca encontrar al menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto X.
Álgebra Moderna I: Palabras. - [Detalles]
Se definirá el concepto de palabra en X, ya que estas permiten dar descripción del subgrupo generado. Así mismo, se establecerá el concepto de orden de un producto.
Álgebra Moderna I: Permutaciones y Grupo Simétrico - [Detalles]
En primera instancia tenemos que definir lo que es una permutación de un conjunto X. Posteriormente podremos construir el concepto de Grupo Simétrico y la definición de un r-ciclo.
Álgebra Moderna I: Permutaciones disjuntas - [Detalles]
A continuación se discute el concepto de ciclos disjuntos y la propiedad de conmutatividad en las permutaciones disjuntas. Así mismo, las permutaciones pueden ser vistas como un producto de ciclos disjuntos.
Álgebra Moderna I: Factorización Completa - [Detalles]
Para este punto, tenemos que notar formas diferentes de expresar una permutación a partir del uso de uno ciclos, lo cual nos lleva a definir una factorización completa de una permutación A, con la cualidad de la unicidad.
Álgebra Moderna I: Misma Estructura Cíclica, Permutación Conjugada y Polinomio de Vandermonde. - [Detalles]
En este texto, se explora la unicidad de la factorización completa de las permutaciones y se analizan los ciclos que aparecen en esta factorización. La cantidad y longitud de los ciclos permanecen constantes independientemente de la factorización elegida. Esto conduce a las definiciones clave de estructura cíclica y permutación conjugada. Además, se menciona que las permutaciones pueden descomponerse en intercambios de elementos de dos en dos, lo que revela que toda permutación se puede expresar como un producto de una cantidad par o impar de intercambios.
Álgebra Moderna I: Paridad de una permutación - [Detalles]
A partir de la entrada anterior, se puede definir el signo de una permutación. Lo cual guía a introducir la función signo y probar que es multiplicativa. Posteriormente se descubre al Grupo alternante.
Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales - [Detalles]
En la primera sección, se establece una definición clara de nuestro producto y se ejemplifica mediante casos específicos. En la segunda parte, se busca abordar la cuestión de cuándo el producto de dos subconjuntos constituye un subgrupo. En la tercera sección, se explora un escenario particular: ¿Qué ocurre cuando uno de los subconjuntos es un conjunto unitario? Es decir, se analiza la multiplicación de un subgrupo de G con un único elemento de G.
Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de H en G - [Detalles]
En esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Nos referimos al grupo de los enteros con la suma (Z,+) en el cual es posible establecer una relación de equivalencia que induce a una partición con exactamente n conjuntos.
Álgebra Moderna I: Teorema de Lagrange - [Detalles]
A continuación, se revisara y demostrará uno de los teoremas mas importantes de la Teoría de Grupos, conocido como el Teorema de Lagrange. El cual nos dice que para un subgrupo H de G, el orden de G es un t veces del orden de H
Álgebra Moderna I: Caracterización de grupos cíclicos - [Detalles]
En los grupos cíclicos, existe un subgrupo único para cada divisor del orden del grupo. Este concepto será el enfoque inicial de esta explicación. Posteriormente, emplearemos un resultado de la teoría de números, utilizando la teoría de grupos para describir los grupos cíclicos de manera más detallada. Esta descripción, junto con sus implicaciones en los campos finitos, se basa en los materiales de los libros de Rotman y también se encuentra en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, que se mencionan en la bibliografía.
Álgebra Moderna I: Subgrupo Conjugado, Subgrupo Normal y Conmutatividad Parcial - [Detalles]
En esta entrada definiremos un producto entre dos clases izquierdas usando el producto en G. Para lo cual necesitamos dar formalmente que es un conjugado y un subgrupo N normal de G.
Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante. - [Detalles]
Es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. En esta entrada, nos centraremos en demostrar formalmente este resultado y otros teoremas mas que sumen a las propiedades de subgrupos normales y el grupo alternante.
Álgebra Moderna I: Grupo Cociente - [Detalles]
La definición de subgrupos normales surgió de la necesidad de extender las propiedades de los enteros a grupos más generales. En los enteros, definimos una relación de equivalencia (módulo n) que nos permite obtener clases de equivalencia. Estas clases no solo generan una partición, sino que también constituyen un subgrupo de Z. La idea central es generalizar este concepto: buscamos definir una operación en ciertas clases de equivalencia para que también formen un grupo.
Álgebra Moderna I: Subgrupo Conmutador - [Detalles]
En esta entrada, el propósito es inicialmente establecer la noción de conmutador entre dos elementos del grupo G. Posteriormente, se pretende definir el conjunto generado por todos los conmutadores en el grupo. Estos pasos se dan con el fin de crear un grupo cociente abeliano, a pesar de que el grupo original G no lo sea.
Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo - [Detalles]
En esta sección se analizara un tipo de correspondencia que se puede presentar entre dos grupos, lo cual nos llevara a definir el concepto de Homomorfismo. Por tanto, es necesario analizar sus propiedades y comportamientos bajo composición.
Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.
Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en dos conjuntos fundamentales relacionados con los homomorfismos. En primer lugar, consideramos la colección de todos los elementos del dominio que son transformados en el elemento neutro del codominio. A este conjunto lo denominamos el núcleo del homomorfismo ϕ. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles la función ϕ y obtener el subconjunto correspondiente en el codominio. A este conjunto lo llamamos la imagen de ϕ. Estos dos subconjuntos desempeñan un papel crucial en el análisis de los homomorfismos.
Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía - [Detalles]
Para esta entrada nos apoyaremos en el diagrama de retícula propuesto anteriormente, con el cual introduciremos el segundo teorema de isomorfía. Posteriormente reforzaremos y daremos una versión mas intuitiva de este teorema.
Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía - [Detalles]
"Alguna vez te haz preguntado: ¿Qué ocurre con un cociente de cocientes?" Después de una breve introducción al tercer teorema de isomorfía, comenzaremos enunciándolo y probándolo a partir del primer teorema.
Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía - [Detalles]
A partir de ilustraciones con retículas, en esta entrada se introduce al cuarto teorema de Isomorfía. El cual nos encargaremos de demostrar a lo largo de la sección y ejemplificar trabajando sobre el grupo diédrico.
Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley - [Detalles]
A partir de esta unidad veremos como cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. El objetivo principal es converger en el Teorema de Cayley
Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley - [Detalles]
Ya observamos la importancia del Teorema de Cayley, ya que nos permite visualizar a un grupo G como un subgrupo del grupo de permutaciones. En esta entrada relacionaremos al grupo G con un grupo simétrico mas pequeño que Sn . Utilizaremos los elementos de G no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.
Álgebra Moderna I: Acciones - [Detalles]
Para esta sección, necesitamos tomar el concepto de acción. Hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un a en G y otro elemento, sea del mismo G o de las clases laterales. La realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro.
Diferencia simétrica - [Detalles]
En esta sección hablaremos de una nueva operación entre conjuntos: la diferencia simétrica. Abordaremos este tema demostrando algunos resultados con ayuda del álgebra de conjuntos, algunos otros los probaremos con el método de demostración habitual.
Bases para cualquier espacio vectorial - [Detalles]
Lo que haremos en esta última entrada es utilizar el axioma de elección para probar un resultado muy conocido en Álgebra lineal, específicamente, el hecho de que todo espacio vectorial tiene una base
Monomios y polinomios - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, exploraremos los monomios y polinomios, piezas clave del álgebra. Abordaremos las leyes de los exponentes, esenciales para simplificar potencias, los productos notables, que son un atajo para agilizar calcular, y también veremos la multiplicación de monomios y polinomios, al igual que sus las operaciones básicas.
Introducción al curso - [Detalles]
Introducción al curso de álgebra lineal II, vemos un repaso general de lo que se vio en el curso anterior así como varios resultados importantes a tener en cuenta, damos una idea general de los temas y resultados que se verán en este nuevo curso.
Polinomio mínimo de transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada definiremos uno de los objetos más importantes del álgebra lineal: el polinomio mínimo. Comenzaremos dando su definición, y mostrando su existencia y unicidad. Luego exploraremos algunas propiedades y veremos ejemplos, seguido de un pequeño teorema de cambio de campos. Finalmente introduciremos un objeto similar (el polinomio mínimo puntual) y haremos unos ejercicios para cerrar
Introducción a forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. A grandes rasgos, lo que nos dice este teorema es que cualquier matriz prácticamente se puede diagonalizar.