Funciones, Parte 2 - [Detalles]
En este video se discute exhaustivamente la naturaleza de la raíz cuadrada positiva de números reales no negativos, como función. El énfasis principal es mostrar que todo número real positivo tiene una raíz cuadrada positiva, haciendo uso del axioma del supremo.
Triángulos en perspectiva - [Detalles]
Estudiamos algunos teoremas relacionados con triángulos en perspectiva, el principal de ellos, el teorema de Desargues.
Homología singular - definición de homología singular - [Detalles]
En este video por fin definiremos la homología singular de un grupo X. Estos objetos (grupos abelianos o R-módulos) serán nuestro principal objeto de estudio en lo que resta de esta lista de reproducción.
Grupo alternante (3) - [Detalles]
Se demuestra el teorema principal de la sección: An es simple para todo n>=5. Para ello se prueban lemas preliminares.
Álgebra Moderna I: Definición de Grupos - [Detalles]
Dentro de lo que se abordará como tema principal a continuación, es la definición de grupo y se facilitara la compresión de este nuevo concepto a través de varios ejemplos. Un concepto más es el de Grupo abeliano.
Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]
El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley - [Detalles]
A partir de esta unidad veremos como cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. El objetivo principal es converger en el Teorema de Cayley
Historia de las Ciencias de la Computación; Fechas y lenguajes - [Detalles]
1.2 Fechas y Lenguajes - Fechas históricas y lenguajes de programación. Desde los años de 1950 hasta la década de los 90's con la aparición de Java, lenguaje principal de este curso.
El teorema de clasificación de transformaciones ortogonales - [Detalles]
En esta entrada buscamos entender mejor el grupo de transformaciones ortogonales. El resultado principal que probaremos nos dirá exactamente cómo son todas las posibles transformaciones ortogonales en un espacio euclideano (que podemos pensar que es $\mathbb{R}^n$). Para llegar a este punto, comenzaremos con algunos resultados auxiliares y luego con un lema que nos ayudará a entender a las transformaciones ortogonales en dimensión 2. Aprovecharemos este lema para probar el resultado para cualquier dimensión.
Números complejos - [Detalles]
Definimos los números complejos: "a+b*i" ("a", "b" son números reales e "i" es el numero imaginario). Damos la notación que vamos a utilizar para los numero complejo (parte real y parte imaginaria) y definimos el conjunto de los números complejos.
Tipos genéricos, Lo que no se puede (parte 1) - [Detalles]
Lo que no se puede (parte 1) - Las 7 reglas que se deben seguir al usar genéricos. así como ejemplos
Tipos genéricos, Lo que no se puede (parte 2) - [Detalles]
Lo que no se puede (parte 2) - Las 7 reglas que se deben seguir al usar genéricos.
Tipos genéricos, Lo que no se puede (parte 3) - [Detalles]
Lo que no se puede (parte 3) - Las 7 reglas que se deben seguir al usar genéricos, así como ejemplos.
Sistemas de congruencias lineales (parte 1) - [Detalles]
En este apartado se aborda el tema de sistemas de congruencias lineales de una variable (en la parte 2 la generalización) cuando los módulos no son necesariamente primos relativos (condición necesaria para el teorema chino del residuo), contiene demostraciones de teoremas y proposiciones, junto con definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para resolver sistemas de congruencias lineales de una variable y algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Sistemas de congruencias lineales (parte 2) - [Detalles]
En este apartado se aborda el tema de sistemas de congruencias lineales de 2 o más variables (de una variable en la parte 1) cuando los módulos no son necesariamente primos relativos (condición necesaria para el teorema chino del residuo), contiene demostraciones de teoremas y proposiciones, junto con definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para resolver sistemas de congruencias lineales de n variables y algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Circunferencias ortogonales (parte 1) - [Detalles]
Demostramos que es posible trazar rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior y que es posible trazar una circunferencia ortogonal a otra con un centro dado y que esté fuera de la circunferencia
Circunferencias ortogonales (parte 2) - [Detalles]
Comenzamos a establecer las hipótesis para saber si es posible trazar una circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas
Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias: motivación y ejemplos (Parte 1) - [Detalles]
Revisamos un par de ejemplos sencillos donde las ecuaciones diferenciales hacen su aparición, motivando su estudio.
Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias: motivación y ejemplos (Parte 2) - [Detalles]
Revisamos un par de ejemplos sencillos donde las ecuaciones diferenciales hacen su aparición, motivando su estudio.
Teorema de existencia y unicidad. Demostración de la unicidad - [Detalles]
Demostramos la parte de unicidad del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard, y previamente probamos dos lemas que nos ayudan a la demostración
Teorema de existencia y unicidad. Iteraciones de Picard - [Detalles]
Construimos las iteraciones de Picard que nos ayudarán a encontrar una solución al problema de condición inicial, bajo ciertas hipótesis que analizamos antes de demostrar la parte de la existencia del Teorema de Picard
Teorema de existencia y unicidad. Demostración de la existencia - [Detalles]
Demostramos la parte de existencia del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard, en un intervalo que construimos previamente mediante un lema
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 1) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes indeterminados, y revisamos el caso cuando g(t) es un polinomio de grado n. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 2) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función exponencial. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 3) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función coseno o seno.
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 1) - [Detalles]
Damos las consideraciones generales que utilizaremos a lo largo del tema, definimos la ecuación indicial de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables, y desarrollamos el método de Frobenius para el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 2) - [Detalles]
Continuamos desarrollando el método de Frobenius. En esta ocasión revisamos el caso cuando la ecuación indicial tiene raíces repetidas
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 3) - [Detalles]
Finalizamos el estudio al método de Frobenius revisando el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces que difieren por un entero
Ecuación de Bessel (Parte 1) - [Detalles]
Hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden lambda alrededor del punto singular regular t=0. Posteriormente encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden cero.
Ecuación de Bessel (Parte 2) - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden uno.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 1) - [Detalles]
Damos las primeras definiciones acerca de sistemas de ecuaciones de primer orden y mostramos dos ejemplos de problemas donde los sistemas aparecen.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 2) - [Detalles]
Hablamos un poco del problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden, así como del Teorema de existencia y unicidad correspondiente, tanto en una versión general como en su versión para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 2) - [Detalles]
Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además definimos cuándo este subconjunto de soluciones es linealmente dependiente o independiente. Finalmente demostramos un teorema que relaciona estos dos conceptos.
Introducción. Repaso Teoría de Conjuntos (Parte 1) - [Detalles]
Presentación de los problemas que fundamentan el cálculo. Conceptos básicos de teoría de conjuntos.
Repaso Teoría de Conjuntos (Parte 2) - [Detalles]
Presentación de las operaciones de conjuntos.
Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 1) - [Detalles]
Estudio de las propiedades básicas de los números reales con sus operaciones: suma y producto.
Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2) - [Detalles]
Estudio de algunas propiedades relacionadas a la multiplicación, productos notables y a los inveros multiplicativos.
Funciones trigonométricas (Parte 1) - [Detalles]
Estudio de algunas identidades trigonométricas más utilizadas. Un primer acercamiento a las funciones seno y coseno, así como la definición de función periódica.
Funciones trigonométricas (Parte 2) - [Detalles]
Estudio de las funciones trigonométricas tangente, secante, cosecante y cotangente. Un vistazo a algunas de las funciones trigonométricas inversas.
Plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos - [Detalles]
Analizamos el plano fase para sistemas lineales con valores propios complejos, dependiendo del signo de la parte real de los valores propios.
Polinomios de Taylor (Parte 1) - [Detalles]
Estudio de los polinomios de Taylor: su definición formal y un teorema sobre ser una buena aproximación a una función dada.
Polinomios de Taylor (Parte 2) - [Detalles]
Estudio del residuo de los polinomios de Taylor, la forma de Lagrange y de Cauchy.
Propiedades de una medida de probabilidad, parte 2 - [Detalles]
Desarrollamos más propiedades de una medida de probabilidad: interacción con la relación de subconjunto, la subaditividad y sigma-subaditividad.
Longitud de curva expresada en forma paramétrica (parte 1, en el plano) - [Detalles]
Se aborda el tema de la longitud de curva expresado en forma paramétrica en el plano y se dan tres ejemplos.
Longitud de curva expresada en forma paramétrica (parte 2, en $R^3$) - [Detalles]
Se abordan ejemplos de la longitud de curva expresada en forma paramétrica en $mathbb{R}^3$.
Diapositivas sobre relaciones de conjuntos - [Detalles]
Definimos un nuevo término que es la relación entre 2 conjuntos y su producto cartesiano, también definimos nuevos conjuntos que se dan al hacer una relación, estos nuevos conjuntos se llaman dominio, codominio y el conjunto imagen, estos conjuntos son de gran importancia pues se verán en gran parte de la carrera y en demás materias (tales como los cálculos), para finalizar mostramos las relaciones más comunes en el estudio de matemáticas y una operación entre relaciones llamada composición,
Diapositivas del espacio cartesiano: coordenadas y lugares geométricos - [Detalles]
Continuamos con la definición de lugar geométrico pero con la diferencia que ahora aplicamos esta definición en el espacio cartesiano, dando una introducción de éste. El espacio cartesiano se estudiará con mayor profundidad en la segunda parte del curso de geometría analítica.
Cuestionario sobre ecuaciones de planos en el espacio - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema de los planos en el espacio euclídeo y las ecuaciones de estos tanto de manera paramétrica, cuando conocemos 3 pu tos que forman parte del plano. Al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
El grupo fundamental del círculo - parte 1 - [Detalles]
En este video comenzamos el estudio del grupo fundamental del círculo.
El grupo fundamental del círculo - parte 2 - [Detalles]
En este video terminamos el estudio del grupo fundamental del círculo. Concretamente, demostramos que el grupo fundamental del círculo es cíclico infinito.
El cubriente universal - parte 1 - [Detalles]
En este video definimos una condición necesaria para que un espacio tenga cubriente universal: la noción de ser semi-localmente simplemente conexo.
El cubriente universal - parte 2 - [Detalles]
En este video definimos el cubriente universal (de un espacio que satisface ciertas condiciones) en términos de clases de homotopía de caminos en el espacio base que comienzan en un punto base fijo. En videos posteriores mostraremos que el espacio que definimos en este video es, en efecto, el cubriente universal del espacio con el que comenzamos.
El cubriente universal - parte 3 - [Detalles]
En este video construimos con todo detalle el cubriente universal de un espacio arco-conexo, localmente arco-conexo y semi localmente simplemente conexo.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 1 - [Detalles]
En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos que dado un subgrupo H del grupo fundamental de X, existe un único cubriente tal que su grupo fundamental es isomorfo a H.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 3 - [Detalles]
En este video demostramos finalmente el teorema de clasificación de cubrientes. Es decir, establecemos una biyección entre el conjunto de subgrupos del grupo fundamental y clases de isomorfismo de cubrientes.
Transformaciones de cubierta - parte 1 - [Detalles]
En este video definimos el grupo de transformaciones de cubierta, damos algunos ejemplos y definimos cubriente normal.
Transformaciones de cubierta - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos el teorema que relaciona el grupo de transformaciones de cubierta de un cubriente con el grupo fundamental del espacio base.
Homología singular - grupo fundamental vs primer grupo de homología: parte 1 - [Detalles]
En este video demostramos algunos lemas preliminares que usaremos para demostrar que el abelianizado del grupo fundamental de X es isomorfo al primer grupo de homología de X, siempre que X sea arco-conexo.
Homología singular - grupo fundamental vs primer grupo de homología - parte 2 - [Detalles]
En este video demostramos que la función del grupo fundamental de X al primer grupo de homología de X está bien definida y es un homomorfismo. Además demostramos que si X es arco-conexo entonces dicho homomorfismo en suprayectivo. Calcularemos el kernel en el siguiente video.
Homología singular - campos vectoriales en la esfera - el teorema de la bola peluda - [Detalles]
En este video demostramos que las únicas esferas que tienen campos vectoriales que no se hacen cero en ninguna parte son las de dimensión impar. Esto implica el teorema de la bola peluda, es decir, que todo campo vectorial sobre la esfera tienen un cero.
La conjugación de números complejos - [Detalles]
Definimos la operación conjugado en el campo de los reales, enunciamos propiedades del conjugado y demostramos algunas de ellas. De igual manera definimos la parte real e imaginaria de un número compleja y sus relaciones con el conjugado.
Multiplicatividad del signo. Parte 1 - [Detalles]
Demostramos un par de lemas que serán útiles para, en el próximo video, demostrar que el signo del producto de dos permutaciones es igual al producto de los signos.
Multiplicatividad del signo. Parte 2 - [Detalles]
Demostramos que el signo de una composición de permutaciones es el producto de los signos de los factores.
Subgrupo generado por un subconjunto - parte 1 - [Detalles]
Se define el concepto de subgrupo generado por un subconjunto de un grupo partiendo de que la intersección de subgrupos es un subgrupo.
Subgrupo generado por un subconjunto - parte 2 - [Detalles]
Se da una caracterización del subgrupo generado por un conjunto en términos de palabras.
Grupos cíclicos - parte 1 - [Detalles]
Se da la definición de grupo cíclico y se exploran algunas de sus propiedades, se demuestra que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos y que hay subgrupos para cada divisor del orden de un grupo cíclico.
Grupos cíclicos - parte 2 - [Detalles]
Se dan más propiedades de los grupos cíclicos y su relación con la función phi de Euler, se da una caracterización de los grupos cíclicos finitos.
Producto directo de grupos - parte 2 - [Detalles]
Se continúa el estudio del producto directo, se enuncia y demuestra el teorema de factorización.
Producto directo de grupos - parte 3 - [Detalles]
Se demuestra que el producto de subgrupos normales es subgrupo normal del producto y que el cociente es isomorfo a un producto de cocientes.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Revisitaremos un poco de la parte histórica y notaremos un poco de la importancia de la simbiótica relación entre los números complejos y el plano cartesiano.
32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Empezaremos finalmente con la parte de integración, necesitamos repasar unos preliminares importantes, tales como curvas y trayectorias en el plano complejo.
Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales - [Detalles]
En la primera sección, se establece una definición clara de nuestro producto y se ejemplifica mediante casos específicos. En la segunda parte, se busca abordar la cuestión de cuándo el producto de dos subconjuntos constituye un subgrupo. En la tercera sección, se explora un escenario particular: ¿Qué ocurre cuando uno de los subconjuntos es un conjunto unitario? Es decir, se analiza la multiplicación de un subgrupo de G con un único elemento de G.
Los Elementos de Euclides: Teorema 14 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 14 de Los Elementos de Euclides. Aquí demostramos que si dos segmentos de recta forman con una recta y en un punto de ella, ángulos adyacentes iguales a dos rectos, y no están del mismo lado de dicha recta, entonces los segmentos forman parte de una misma recta.
Propiedades del producto cartesiano (parte II) - [Detalles]
En esta sección vamos a ver otras de las propiedades del producto cartesiano. Estas propiedades hacen referencia al comportamiento del producto cartesiano con respecto a las operaciones que definimos antes: unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica.
Funciones (parte II) - [Detalles]
En esta sección hablaremos acerca de algunas propiedades de la imagen y la imagen inversa de un conjunto bajo una función, dichas propiedades hablan de como se comportan estos conjuntos con respecto a la unión, la intersección y la diferencia.
Conjuntos finitos (parte II) - [Detalles]
En esta entrada daremos continuación al tema de conjuntos finitos. Probaremos más resultados que se satisfacen para los conjuntos finitos y veremos cuál es la cardinalidad del conjunto potencia dada un conjunto finito.
Matrices de formas sesquilineales - [Detalles]
En esta entrada daremos una relación entre formas sesquilineales, formas cuadráticas hermitianas y matrices. Daremos la definición y veremos sus propiedades. Gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos. Las demostraciones en la mayoría de los casos son análogas, sin embargo, haremos énfasis en las partes que hacen que el caso real y el complejo sean distintos.
Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes - [Detalles]
Enunciaremos el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia.
Principio Arquimediano - Análisis Matemático I - [Detalles]
El Principio Arquimediano. En este video se eununcia y demuestra el Principio Arquimediano, como consecuencia del Axioma del Supremo. Se define la parte entera de un real y se demuestra que los números racionales son densos en los reales.
Funciones, Parte 1 - [Detalles]
En este video se discute el concepto intuitivo de función, junto con otros conceptos asociados como dominio, codominio, regla de correspondencia y composición. Después se introduce la definición formal de función y se compara con la definición intuitiva. Finalmente se discuten algunos ejemplos.
Funciones, Parte 3 - [Detalles]
En este video se formaliza el concepto de composición de funciones y se discute sobre cómo es el dominio de una composición de funciones.
Funciones, Parte 4 - [Detalles]
En este video sólo se muestra un ejemplo de problemas típicos de los libros de texto, consistente en "encontrar el dominio de una función".
Interfaz gráfica de usuario (IGU), Diseño de la lógica de una calculadora simple - - [Detalles]
Diseño de la lógica de una calculadora simple - Parte 1/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.
Interfaz gráfica de usuario (IGU), Creación de una GUI con Netbeans - [Detalles]
Creación de una GUI con Netbeans - Parte 2/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.
Interfaz gráfica de usuario (IGU), Implementación de las transiciones en el código - [Detalles]
Implementación de las transiciones en el código - Parte 3/3. Desarrollo de una aplicación completa desde su diseño, aplicando conceptos de pasar una función como parámetro, almacenarla como objeto, utilizar técnicas para diseñar transiciones de estado de los objetos y poder utilizarlo para que nuestra interfaz de usuario funcione correctamente.
Vectores y Matrices (Primera Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios vectoriales". Se proporcionan las definiciones y el código de las operaciones básicas de un vector, además de operaciones como el producto punto, producto cruz, la norma, y el triple producto punto.
Vectores y Matrices (Segunda Parte) - Python - [Detalles]
Práctica en Python relacionada a la Unidad 3 "Espacios Vectoriales". Se incluyen las definiciones y el código para realizar operaciones básicas con matrices, así como el cálculo de su inversa, determinante y su aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones.
Dukensio y Sombra (parte 1) - GeoGebra - [Detalles]
Interactivo en GeoGebra sobre el tema "Ecuación de la circunferencia". Se presenta el planteamiento y resolución de un problema en el que se debe determinar la trayectoria de una caída, teniendo en cuenta la ecuación de una circunferencia como factor clave.
Dukensio y Sombra (parte 2) - GeoGebra - [Detalles]
Interactivo en GeoGebra sobre el tema "Ecuación de la Elipse". Se presenta el planteamiento y resolución de un problema en el que se debe determinar la trayectoria de una caída, teniendo en cuenta la ecuación de una elipse como factor clave.