Cuando tiene solucion una congruencia lineal - [Detalles]
Vemos un ejemplo de una ecuación lineal modulo 4 que no puede tener soluciones enteras (mostramos que si tuviera solución llegamos a una contradicción), esto nos lleva a dar una proposición para saber cuándo una ecuación lineal tiene una solución y una segunda proposición, con la cual podemos saber cuándo una ecuación lineal tiene o no solución.
Diapositivas sobre operaciones matriciales - [Detalles]
Continuamos construyendo la definición de una matriz pero ahora definimos sus operaciones básicas somo la suma y multiplicación de dos matrices también su multiplicación por escalar, también hablamos que una matriz de nx1 o también llamado vector columna es un vector con n entradas que se ocupa para hablar de un elemento de Rn.
Nota 26. Propiedades de $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]
En la siguiente nota veremos algunas propiedades de $\mathbb{R}^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb{R}$ por cualquier vector de $\mathbb{R}^n$ nos da el neutro aditivo del espacio vectorial, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo de $\mathbb{R}^n$, es el mismo neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, denotado por $\tilde{v}$ es de hecho $(-1)v$.
La solución de un sistema con matriz en forma escalonada reducida - [Detalles]
Describimos la solución para un sistema con matriz en forma escalonada reducida. Discutimos los diferentes casos donde se tiene o no solución a los sistemas en forma escalonada.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden y sus soluciones - [Detalles]
Demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos - [Detalles]
Analizamos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios complejos. Encontramos dos soluciones reales dada una solución compleja formada con un valor y un vector propios complejos.
Analisis cualitativo de sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Discutimos una serie de observaciones con las cuales podemos describir un sistema lineal sin resolverlo directamente. También se demuestra que un sistema lineal tiene una única solución, infinitas soluciones, o ninguna solución.
Cuáles son todas las soluciones enteras de una ecuación diofántica - [Detalles]
Demostramos que todas las soluciones de una ecuación lineal Diofántica tienen una forma en particular (expresada en términos de una solución particular y del MCD). Por lo que basta con conocer una solución particular para dar todas las posibles soluciones.
Ejemplos de cómo resolver una ecuación diofántica - [Detalles]
Vemos un método para encontrar una solución particular de la ecuación diofántica lineal. En el método hacemos uso del Máximo común divisor y a partir de la solución encontrada podemos generar todas las demás soluciones utilizando las fórmulas del segundo teorema del tema actual.
Resolviendo un problemacon ecuaciones diofánticas - [Detalles]
Resolvemos un problema donde podemos hacer uso de las ecuaciones diofánticas para dar la solución al problema. Describimos como abstraer el problema a una ecuación diofántica, y usando lo anteriormente visto, damos la solución.
Soluciones de una ecuación cuadrática - [Detalles]
Hablamos sobre las posibles soluciones de una ecuación cuadrática (damos un breve recordatorio sobre la formula general o más popularmente conocida como "chicharronera"). Vemos gráficamente cuando una ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real. Definimos el discriminante y haciendo uso de el vemos cuando la ecuación cuadrática tiene una o dos soluciones reales, o cuando su solución es compleja.
Teorema sobre polinomios y números complejos - [Detalles]
Vemos y demostramos uno de los teoremas más importantes sobre polinomios: Si un número complejo es solución de un polinomio con coeficientes reales entonces su conjugado también es solución de ese mismo polinomio. Este teorema nos puede ayudar a encontrar soluciones de un polinomio.
Definiciones elementales: Ecuación diferencial ordinaria, solución, y orden de una ecuación - [Detalles]
Definimos una ecuación diferencial ordinaria, solución y el orden de una ecuación.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos dos ecuaciones por el método de variación de parámetros, una de ellas la resolvimos por el método de factor integrante en un video anterior, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.
Método de reducción de orden - [Detalles]
Dada una solución a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, podemos encontrar una segunda solución linealmente independiente a la primera, mediante el método de reducción de orden.
Solución general al sistema lineal no homogéneo. - [Detalles]
Enunciamos y probamos un teorema que nos dice cómo encontrar la solución general a un sistema lineal no homogéneo con la ayuda del sistema homogéneo asociado.
Diapositivas sobre la forma escalonada y el proceso Gauss-Jordan - [Detalles]
Hablamos sobre lo que es una matriz escalonada y se muestra el procedimiento de reducción de Gauss-Jordan y sobre cómo este proceso repercute para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineal y sobre de el mostramos el análisis cualitativo del sistema de ecuaciones si tiene solución o si es incosistente, de esa forma también damos la definición de un sistema homogéneo.
Ecuaciones en congruencias - [Detalles]
Demostramos una serie de resultados que nos ayudan a saber si una ecuación de congruencias tiene solución única o si al menos tiene solución.
Matrices de cambio de base - [Detalles]
Definimos a las matrices de cambio de base. Vemos cómo nos ayudan a expresar un vector como combinación lineal de elementos de distintas bases.
Operaciones con matrices - [Detalles]
Explicamos la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar. También damos la definición de un vector y el producto punto. Explicamos de manera sencilla la multiplicación de matrices.
Diapositivas sobre espacios vectoriales - [Detalles]
Definimos lo que es un espacio vectorial y los elementos que habitan en él (vectores), mostramos que para demostrar por definición que un espacio es vectorial debe de cumplir las 10 propiedades de éste. Se proporcionan ejemplos de espacios vectoriales y las demostraciones sobre estas 10 propiedades de la definición; se proporciona una aplicación de espacios vectoriales que es ver a la fuerza como una magnitud de dirección y magnitud, es decir, como un vector.
Guía de estudio sobre rectas y planos - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este tercer módulo de estudios que es todo lo relacionado a rectas, planos, perpendicularidad, vector normal, y más. Hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Ejercicios Producto Punto - [Detalles]
Hacemos varios ejercicios para calcular el producto punto entre dos vectores. También calculamos el ángulo entre dos vectores y demostramos, usando el producto punto, que el ángulo entre un vector consigo mismo es cero.
Producto cruz ( producto vectorial) - [Detalles]
Definimos el producto cruz, el cual es una operación entre dos vectores que da como resultado otro vector (a diferencia del producto punto que resulta en un escalar). Mostramos como calcularlo por medio de un tipo de determinante y sus propiedades: Anticonmutativo, Distributivo, Saca escalares y que es perpendicular a cada uno de sus factores. También mencionamos la regla de la mano derecha y como está relacionado con el área y el ángulo entre los dos factores.
Ecuaciones del plano - [Detalles]
Vemos la ecuación para un plano en el espacio tridimensional, vemos la forma de la ecuación paramétrica y de la ecuación general del plano. También vemos como dar la ecuación del plano a partir de tres puntos que pasen por el plano y como obtener el vector normal al plano.
Ejercicios ecuación del plano - [Detalles]
Hacemos ejercicios para obtener la ecuación de un plano. A partir de un punto en el plano y su vector normal, damos la ecuación paramétrica y general del plano.
Nota 30. Dependencia e independencia lineal - [Detalles]
En esta nota definiremos y veremos ejemplos de conjuntos linealmente dependientes y conjuntos linealmente independientes, veremos que esta idea está íntimamente relacionada a distinguir cuándo un conjunto de vectores tiene entre sus elementos algún vector que sea combinación lineal de los otros.
Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada veremos como se relacionan los conceptos de espacio dual y producto interior. Lo primero que haremos es ver cómo conectar la matriz que representa a una forma bilineal con una matriz que envía vectores a formas lineales. Después, veremos una versión particular de un resultado profundo: el teorema de representación de Riesz. Veremos que, en espacios euclideanos, toda forma lineal se puede pensar «como hacer producto interior con algún vector».
Ortogonalidad en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada profundizaremos en el concepto de ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior y veremos como se relaciona con la noción de que una forma lineal y un vector sean ortogonales. Veremos conceptos como el de conjunto ortogonal y proyección ortogonal.
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Damos la definición de una ecuación lineal y damos ejemplos de cuales no son ecuaciones lineales. Definimos un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones lineales. Finalmente se da la definición y un ejemplo de solución al sistema de ecuaciones lineales.
Proceso de reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]
Se describe el proceso de reducción de Gauss-Jordan, el cual consiste en usar operaciones elementales para dar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada de un sistema lineal y dar la solución al sistema usando su forma escalonada reducida.
Ecuación diofántica lineal en dos variables - [Detalles]
Definimos la ecuación Diofánticas, como ecuaciones algebraicas para las cuales que buscan soluciones enteras. Nos concentramos en las ecuaciones de la forma "a*x+b*y=n", con a,b,n enteros. Mostramos cuando la ecuación tiene solución entera y cuantas soluciones tiene.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal no homogénea de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial lineal no homogénea por el método de variación de parámetros.
Ecuaciones diferenciales exactas - [Detalles]
Comenzamos el estudio de las ecuaciones exactas, y demostramos un teorema que nos dice cuándo una ecuación es exacta y tiene solución
Teorema de existencia y unicidad. Iteraciones de Picard - [Detalles]
Construimos las iteraciones de Picard que nos ayudarán a encontrar una solución al problema de condición inicial, bajo ciertas hipótesis que analizamos antes de demostrar la parte de la existencia del Teorema de Picard
Teorema de existencia y unicidad. Dependencia continua de la condición inicial - [Detalles]
Concluimos el estudio al Teorema de existencia y unicidad analizando la dependencia continua de la solución al problema de condición inicial respecto a los valores de la condición inicial
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para resolver una ecuación lineal no homogénea de segundo orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones de segundo orden por el método de variación de parámetros.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Comenzamos la revisión de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables, y mostramos la existencia de una solución con desarrollo en serie de potencias alrededor de un punto ordinario.
Radio de convergencia de series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Calculamos el radio de convergencia para una solución por serie de potencias cerca de un punto ordinario para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.
Ecuación de Laguerre - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación diferencial de Laguerre cerca del punto singular regular t=0.
Ecuación de Bessel (Parte 1) - [Detalles]
Hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden lambda alrededor del punto singular regular t=0. Posteriormente encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden cero.
Ecuación de Bessel (Parte 2) - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden uno.
Ecuación de Chebyshev - [Detalles]
Encontramos la solución general a la ecuación de Chebyshev alrededor del punto ordinario t=0.
Ecuación hipergeométrica - [Detalles]
Encontramos la ecuación indicial asociada a la ecuación hipergeométrica de manera general, y después encontramos una solución particular al caso cuando γ=1/2.
Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]
Encontramos la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes en términos de los valores y vectores propios de la matriz asociada A, si esta es diagonalizable.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Matriz no diagonalizable - [Detalles]
Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios repetidos y NO es diagonalizable. Definimos a los vectores propios generalizados de una matriz, desarrollamos un algoritmo mediante el cual encontramos n soluciones linealmente independientes al sistema, y por tanto la solución general.
Intervalos y desigualdades en los números reales - [Detalles]
Definición de los diferentes tipos de intervalos en los números reales y solución de ejercicios de desigualdades de números reales.
Método de variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular al sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de existencia - [Detalles]
Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de unicidad - [Detalles]
Demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Construcciones geométricas - [Detalles]
Estudiamos dos métodos para la solución de construcciones geométricas con ejemplos, el método analítico y el método de similitud.
Problemas de optimización - [Detalles]
Solución de algunos problemas de optimización haciendo uso del los criterios para hallar máximos y mínimos de una función.
Mini-cuestionario: Forma escalonada reducida - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de que una matriz esté en forma escalonada reducida, y cómo se relaciona con la solución del sistema asociado.
Diapositivas sobre soluciones a sistemas de ecuaciones - [Detalles]
En estas diapositivas mostramos más ejemplos sobre cómo proceder para encontrar el conjunto de solución, desde pasar a una matriz a su forma escalonada reducida, si este conjunto es vacío o no.
Guía de estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los temas de matrices y solución a sistemas de ecuaciones lineales. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Teorema chino del residuo - [Detalles]
Motivamos la resolución de sistemas lineales de ecuaciones de congruencias y saber si se tienen solución, esto con ayuda del teorema chino del residuo el cual enunciamos y demostramos.
Ecuaciones diofantinas - [Detalles]
Definimos lo que son las ecuaciones diofantinas que son aquellas ecuaciones con soluciones enteras, asimismo profundizamos en saber que características toman este tipo de ecuaciones para logras saber si tienen solución entera o no.
Esbozo de construcción de racionales y reales - [Detalles]
Mostramos un pequeño esbozo sobre la motivación y construcción de los números racionales (primeramente) con ayuda de los números enteros ya construidos, después ocupamos que el campo de los racionales no siempre tiene solución siendo esta la motivación para la construcción de los números reales a partir de sucesiones de Cauchy. Manejamos que son un esbozo pues la idea de construir Q es muy similar cuando construimos Z pero la contrucción de R se da con más claridad en cursos de cálculo y análisis matemático.
Ecuaciones cuadráticas complejas - [Detalles]
Damos un primer acercamiento al teorema fundamental del álgebra y como repercute este en el campo de los complejos, también mostramos una manera de resolver ecuaciones cuadráticas en el campo complejo que no tienen solución en el campo de los reales, también mostramos que la fórmula general es aplicable sobre C.
Sistemas de ecuaciones lineales complejos - [Detalles]
Motivamos el estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales pero ahora con números complejos, nuestra inspiración fueron algunos métodos que ya conocemos por el estudio en los reales tales como el determinante, substitución o igualando coeficientes.
Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre - [Detalles]
Mostramos la interpretación geométrica de lo que reprenta la multiplicación de dos números complejos en su forma polar; también enunciamos la fórmula de De Moivre para ayudarnos a dar solución a problemas en los que se requiere calcular potencias de números complejos.
Raíces de números complejos y raíces de la unidad - [Detalles]
Motivamos el estudio de poder calcular reíces de un número complejo, así vamos obteniendo resultados que nos ayuden a poder calcular las raíces en los complejos llegando al teorema que da solución al estos problemas también lo demostramos al igual que el teorema de las raíces n-ésimas de la unidad.
Ejemplos de solución de ecuaciones de grados 3, 4 y más - [Detalles]
Resolvemos ejercicios en los cuales se pide que encontremos las raíces de un polinomio de grado 3 con el método de Cradano, de grado 4 con el método de Ferrari y de grados mayores.
Diseño y programación orientada a objetos; Diseño - [Detalles]
1.3 Diseño: tarjetas de responsabilidad y UML - Diseño de una solución orientada a objetos. Cómo se hace una tarjeta de responsabilidad. ¿Qué es la notación UML? y cómo hacer un diagrama de clases. Se da el primer acercamiento al concepto de herencia o generalización, implementación o realización y contención (agregación y composición). Por último se habla de dependencia y asociación.
Expresiones algebraicas - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, nos adentraremos en las expresiones algebraicas, donde las letras reemplazan a los números para expresar ideas matemáticas de forma general. Aprenderemos a utilizar este lenguaje simbólico para traducir enunciados del mundo real a ecuaciones y resolver problemas de una manera más eficiente. Dentro del capitulo veremos temas como: jerarquía de operaciones, monomios y polinomios, términos semejantes, solución de ecuaciones de primer grado, etc.
Cuestionario de ecuaciones y problemas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 5 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: problemas que dan lugar a ecuaciones, solución de ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, etc.
Satisfacción de restricciones: Sudoku - [Detalles]
Se presentan los problemas de satisfacción de restricciones y el algoritmo de backtracking como solución a este tipo de problemas utilizando como ejemplo al Sudoku.
Breviario de Lógica y Conjuntos - [Detalles]
En este video se comentan algunos aspectos de lógica y conjuntos, que serán de uso muy frecuente en el curso. En especial se comenta sobre los conectivos lógicos y los conjuntos solución de proposiciones sobre números reales.
Valor absoluto y más sobre el orden de los reales - [Detalles]
En este video definiremos la función valor absoluto, reconoceremos algunas de sus propiedades y veremos cómo son los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades que la involucran. Veremos también cómo se comporta el orden de los reales con operaciones como elevar al cuadrado y tomar recíprocos.