Nota 26. Propiedades de $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]

En la siguiente nota veremos algunas propiedades de $\mathbb{R}^n$. Probaremos la unicidad del neutro aditivo, así como la unicidad de los inversos aditivos, veremos que las propiedades de cancelación de la suma también se cumplen, se demostrará que la multiplicación del neutro aditivo de $\mathbb{R}$ por cualquier vector de $\mathbb{R}^n$ nos da el neutro aditivo del espacio vectorial, y que la multiplicación de cualquier escalar por el neutro aditivo de $\mathbb{R}^n$, es el mismo neutro aditivo. Finalizaremos viendo que el inverso aditivo de un vector $v$, denotado por $\tilde{v}$ es de hecho $(-1)v$.

Unicidad del elemento neutro y de inversos - [Detalles]

Se demuestra que en un grupo, el elemento neutro es único, y para cada elemento, su inverso también es único.

Neutro multiplicativo y unidades de un anillo - [Detalles]

Retomamos la definición de anillo. Damos la definición formal de neutro multiplicativo y de unidad. Tomando los ejemplos de anillos anteriormente vistos mostramos cuál es su neutro multiplicativo y sus unidades. 

Álgebra Moderna I: Acciones - [Detalles]

Para esta sección, necesitamos tomar el concepto de acción. Hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un a en G y otro elemento, sea del mismo G o de las clases laterales. La realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro.

Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo - [Detalles]

En esta entrada, nos enfocaremos en dos conjuntos fundamentales relacionados con los homomorfismos. En primer lugar, consideramos la colección de todos los elementos del dominio que son transformados en el elemento neutro del codominio. A este conjunto lo denominamos el núcleo del homomorfismo ϕ. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles la función ϕ y obtener el subconjunto correspondiente en el codominio. A este conjunto lo llamamos la imagen de ϕ. Estos dos subconjuntos desempeñan un papel crucial en el análisis de los homomorfismos.

Orden de un elemento - [Detalles]

Se define el orden de un elemento y se dan ejemplos.

Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]

¿Cualquier subconjunto X de un grupo G es un subgrupo? Esta premisa es abordada principalmente, necesitamos ver condiciones necesarias que pedirle a a X. Requiriendo la definición de orden de un elemento hasta llegar al concepto de subgrupo cíclico.

Demostrando propiedades de subgrupos - [Detalles]

Se presentan algunas propiedades que cumplen los subgrupos de un grupo: todo grupo es subgrupo de sí mismo, el unitario del neutro es subgrupo, todo subgrupo es un grupo.

Álgebra Moderna I: Propiedades de grupos y Definición débil de grupo - [Detalles]

En primera instancia se definirán propiedades básicas de grupos como en cualquier otra estructura algebraica. En la cual, es de importancia mencionar la existencia de un neutro, asociatividad e inverso. Por ultimo, la definición débil de grupo.

Imagen y preimagen - [Detalles]

Damos la definición de la imagen y la preimagen de un elemento bajo una función cualquiera y damos algunos ejemplos sencillos.

Principio del buen orden - [Detalles]

Enunciamos el principio del buen orden: Todo subconjunto, no vacío, de los naturales tiene un elemento mínimo. Vemos algunos subconjuntos como ejemplos.  

Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]

Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler. 

Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]

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Diapositivas sobre conjuntos - [Detalles]

Introducimos la idea de conjuntos, las primeras definiciones como conjuntos, subconjuntos, elemento; se muestran ejemplos de conjuntoas más populares y unas primeras proposiciones sencillas de demostrar.

Diapositivas sobre operaciones matriciales - [Detalles]

Continuamos construyendo la definición de una matriz pero ahora definimos sus operaciones básicas somo la suma y multiplicación de dos matrices también su multiplicación por escalar, también hablamos que una matriz de nx1 o también llamado vector columna es un vector con n entradas que se ocupa para hablar de un elemento de Rn.

Potencias de un elemento en un grupo - [Detalles]

Se definen las potencias de elementos de un grupo y se explican sus propiedades.

Subgrupos cíclicos generados - [Detalles]

Se repasa el concepto de subgrupo cíclico generado por un elemento y se presentan ejemplos.

Nota 1. Noción de Conjunto - [Detalles]

En esta nota se da una noción intuitiva de lo que es un conjunto y un elemento de un conjunto, se muestra como construir conjuntos a partir de propiedades y se listan un par de axiomas de la teoría de conjuntos.

Álgebra Moderna I: Orden de un grupo - [Detalles]

Es importante definir ahora el orden de un grupo, formalizando algunos conceptos del tema anterior como el del conjunto generado por un elemento a.

Álgebra Moderna I: Producto de subconjuntos y Clases Laterales - [Detalles]

En la primera sección, se establece una definición clara de nuestro producto y se ejemplifica mediante casos específicos. En la segunda parte, se busca abordar la cuestión de cuándo el producto de dos subconjuntos constituye un subgrupo. En la tercera sección, se explora un escenario particular: ¿Qué ocurre cuando uno de los subconjuntos es un conjunto unitario? Es decir, se analiza la multiplicación de un subgrupo de G con un único elemento de G.

Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]

En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.

Conjuntos y elementos - [Detalles]

Estudiamos las primeras nociones de teoría de conjuntos. Vemos qué significa que un elemento pertenezca a otro y cómo describir conjuntos.