Se define la forma escalonada de una matriz NxM (también se define la forma escalonada reducida), y se dan varios ejemplos de matrices escalonadas, así como ejemplo de matrices que no están en su forma escalonada.
La solución de un sistema con matriz en forma escalonada reducida - [Detalles]
Describimos la solución para un sistema con matriz en forma escalonada reducida. Discutimos los diferentes casos donde se tiene o no solución a los sistemas en forma escalonada.
Multiplicación de números complejos en su forma polar - [Detalles]
Usando la forma polar de los números complejos, damos una formula muy sencilla para multiplicar complejos (en su forma polar). Vemos que tiene una representación geométrica muy parecida a una rotación, o una suma de vectores en el plano complejo.
Unicidad de la forma de Jordan para nilpotentes - [Detalles]
En esta entrada nos enfocaremos en demostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan, en este caso será un poco más cómodo trabajar con la forma matricial del teorema.
Unicidad de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta entrada enunciamos la versión para matrices del teorema de la forma canónica de Jordan (totalmente equivalente a la de transformaciones lineales) y nos enfocamos en mostrar la unicidad de la forma canónica de Jordan.
Forma escalonada reducida - [Detalles]
Definimos que una matriz esté en forma escalonada reducida. Vemos cómo resolver su sistema lineal asociado. Hablamos de operaciones y matrices elementales.
Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida - [Detalles]
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales consistentes y equivalentes. Ejemplos de matrices en forma escalonada reducida.
Forma matricial de una transformación lineal - [Detalles]
Definimos la forma matricial de transformaciones lineales. Vemos que la composición de transformaciones corresponde al producto de sus formas matriciales.
Proceso de reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]
Se describe el proceso de reducción de Gauss-Jordan, el cual consiste en usar operaciones elementales para dar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada de un sistema lineal y dar la solución al sistema usando su forma escalonada reducida.
Forma polar de un número complejo - [Detalles]
Vemos como escribir un numero complejo en su forma polar (mediante su modulo y su argumento). Para esto hacemos uso de las razones trigonométricas y vemos su representación en el plano complejo.
Potencias de números complejos - [Detalles]
Vemos el teorema de Moivre, el cual nos ayuda a calcular las potencias n-esímas de números complejos, de una forma muy facil (sin embargo, necesitamos la forma polar del complejo). Usamos el teorema de Moivre para calcular como ejemplo la potencia de algunos complejos y vemos como representar en el plano complejo la potencia de un complejo (podemos verlo como una rotación).
Teorema de la derivada y la multiplicidad. Demostración - [Detalles]
Damos la demostración del teorema de la derivada y la multiplicidad, el cual vimos en el video anterior. La demostración es relativamente sencilla teniendo en cuenta que sí "a" es de multiplicidad "m" en un polinomio entonces el polinomio es de la forma "(x-a)^m*Q(x)", por lo que podemos obtener su derivada de forma explícita, y demostrar que "a" es raíz de multiplicidad "m-1".
Forma exponencial de las series de Fourier - [Detalles]
Revisión a la forma exponencial de las series de Fourier
Longitud de curva expresada en forma cartesiana - [Detalles]
Teoría y 3 ejemplos de aplicación de la longitud de curva expresado en forma cartesiana.
Longitud de curva expresada en forma paramétrica (parte 1, en el plano) - [Detalles]
Se aborda el tema de la longitud de curva expresado en forma paramétrica en el plano y se dan tres ejemplos.
Longitud de curva expresada en forma paramétrica (parte 2, en $R^3$) - [Detalles]
Se abordan ejemplos de la longitud de curva expresada en forma paramétrica en $mathbb{R}^3$.
Mini-cuestionario: Forma escalonada reducida - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de que una matriz esté en forma escalonada reducida, y cómo se relaciona con la solución del sistema asociado.
Diapositivas sobre la forma escalonada y el proceso Gauss-Jordan - [Detalles]
Hablamos sobre lo que es una matriz escalonada y se muestra el procedimiento de reducción de Gauss-Jordan y sobre cómo este proceso repercute para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineal y sobre de el mostramos el análisis cualitativo del sistema de ecuaciones si tiene solución o si es incosistente, de esa forma también damos la definición de un sistema homogéneo.
Mini-cuestionario: Introducción a forma matricial de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre - [Detalles]
Mostramos la interpretación geométrica de lo que reprenta la multiplicación de dos números complejos en su forma polar; también enunciamos la fórmula de De Moivre para ayudarnos a dar solución a problemas en los que se requiere calcular potencias de números complejos.
4. Forma polar y potencias en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Recordaremos nociones de la representación en forma polar y repasaremos las nociones y propiedades de las potencias y raíces complejas.
Ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos abordaremos conceptos clave de geometría analítica, como lugares geométricos y ecuaciones. Exploraremos la forma general de la ecuación de la línea recta y su expresión en la forma pendiente-ordenada al origen. También analizaremos la relación entre la inclinación y la pendiente de una recta, así como las propiedades de rectas paralelas y perpendiculares.
En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices. Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.
Matrices de formas bilineales - [Detalles]
En esta entrada formalizaremos la relación entre formas bilineales y matrices. Veremos cómo se define la matriz asociada a una forma bilineal y cómo podemos traducir operaciones con la forma bilineal en operaciones con su matriz asociada.
Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada veremos como se relacionan los conceptos de espacio dual y producto interior. Lo primero que haremos es ver cómo conectar la matriz que representa a una forma bilineal con una matriz que envía vectores a formas lineales. Después, veremos una versión particular de un resultado profundo: el teorema de representación de Riesz. Veremos que, en espacios euclideanos, toda forma lineal se puede pensar «como hacer producto interior con algún vector».
Introducción a forma canónica de Jordan - [Detalles]
En esta última unidad usaremos las herramientas desarrolladas hasta ahora para enunciar y demostrar uno de los teoremas más hermosos y útiles en álgebra lineal: el teorema de la forma canónica de Jordan. A grandes rasgos, lo que nos dice este teorema es que cualquier matriz prácticamente se puede diagonalizar.
Existencia de la forma canónica de Jordan para nilpotentes - [Detalles]
Enunciaremos el teorema de la forma canónica de Jordan para matrices nilpotentes. Este es un teorema de existencia y unicidad. En esta entrada demostraremos la parte de la existencia.
Existencia de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
Lo que haremos ahora es mostrar una versión análoga de la forma canónica de Jordan para una familia mucho más grande de matrices. De hecho, en cierto sentido tendremos un resultado análogo para todas las matrices. Primero, generalizaremos nuestra noción de bloques de Jordan para contemplar cualquier eigenvalor. Estudiaremos un poco de los bloques de Jordan. Luego, enunciaremos el teorema que esperamos probar. Finalmente, daremos el primer paso hacia su demostración.
Aplicaciones de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En las entradas anteriores demostramos que cualquier matriz (o transformación lineal) tiene una y sólo una forma canónica de Jordan. Además, explicamos cómo se puede obtener siguiendo un procedimiento específico. Para terminar nuestro curso, platicaremos de algunas de las consecuencias del teorema de Jordan.
Teorema de reducción gaussiana - [Detalles]
Demostarmos el teorema de reducción gaussiana, mostrando algoritmicamente que toda matriz puede ser llevada a una equivalente en forma escalonada reducida.
Reducción gaussiana en sistemas lineales $AX=b$ - [Detalles]
Aplicamos el algoritmo de reducción gaussiana en sistemas lineales de la forma AX=b para llevarlos a un sistema más sencillo y con las mismas soluciones.
Problemas de transformaciones lineales, vectores independientes y forma matricial - [Detalles]
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Cambio de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos cómo un cambio de base de transformaciones lineales afecta la forma matricial de la transformación. Definimos el concepto de matrices similares.
Teorema del binomio ejemplo 2 - [Detalles]
Usamos el Teorema del Binomio para demostrar, de forma muy sencilla y directa, que cierta serie es siempre cero.
Definimos el determinante de una matriz y describimos la forma para calcular el determinante de una matriz de 2x2.
El anillo de los números enteros - [Detalles]
Hablamos sobre los números enteros y las propiedades que la suma y el producto poseen en los números enteros. El conjunto de los números enteros junto con estas propiedades formal lo que se conoce como un anillo, lo cual se definirá de forma abstracta en un video posterior.
Ecuación diofántica lineal en dos variables - [Detalles]
Definimos la ecuación Diofánticas, como ecuaciones algebraicas para las cuales que buscan soluciones enteras. Nos concentramos en las ecuaciones de la forma "a*x+b*y=n", con a,b,n enteros. Mostramos cuando la ecuación tiene solución entera y cuantas soluciones tiene.
Cuáles son todas las soluciones enteras de una ecuación diofántica - [Detalles]
Demostramos que todas las soluciones de una ecuación lineal Diofántica tienen una forma en particular (expresada en términos de una solución particular y del MCD). Por lo que basta con conocer una solución particular para dar todas las posibles soluciones.
División de números complejos - [Detalles]
Vemos la forma de dividir número complejos, usando la multiplicación anteriormente vista podemos llegar a una fórmula para la división. Hacemos algunos ejemplos para mostrar la división de números complejos en acción.
El Plano Complejo, Módulo y Argumento de un Número Complejo - [Detalles]
Mostramos como se asocia un numero complejo a un punto. Usando esto podemos dar la definición del plano complejo (Análogo al plano cartesiano). Donde cada punto del plano representa un numero complejo. Damos la forma polar de un numero complejo y la representación de su modulo y argumento en el plano complejo.
Raíces de polinomios - [Detalles]
Explicamos en que consiste la división sintética, la cual nos ayuda a dividir polinomios entre polinomios de la forma "x-a". Damos el procedimiento de la división sintética y hacemos dos ejemplos.
Factorización de polinomios, polinomios reducibles y polinomios irreducibles. definición y ejemplos - [Detalles]
Hablamos sobre la factorización de polinomios, mostramos que los binomios lineales (de la forma "x-a") son polinomios irreducibles y vemos varios ejemplos de polinomios reducibles e irreducibles.
Demostramos el teorema de Ceva y su forma trigonométrica
Teorema de Menelao - [Detalles]
Demostramos el teorema de Menelao, la forma trigonométrica del teorema de Menelao y el teorema de la división interna y externa
Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma dy/dt=f(t,y(t)) mediante varios ejemplos sencillos.
Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones - [Detalles]
Esbozamos las soluciones a una ecuación de primer orden de la forma dy/dt=f(y), la cual denominamos ecuación autónoma, mediante el uso de sus soluciones de equilibrio y la línea fase asociada a la ecuación.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Método de eliminación de variables - [Detalles]
Resolvemos el sistema lineal (homogéneo y no homogéneo) de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes en su forma general por el método de eliminación de variables.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados - [Detalles]
Al estudiar el caso no homogeneo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta un primer método que propone soluciones en forma de series similares a la función g
Teorema de Menelao - [Detalles]
Demostramos el teorema de Menelao, su forma trigonométrica y mostramos su utilidad estableciendo varios resultados sobre colinealidad.
Demostramos el teorema de Ceva y su forma trigonométrica, y derivamos otros resultados sobre concurrencia de rectas.
Polinomios de Taylor (Parte 2) - [Detalles]
Estudio del residuo de los polinomios de Taylor, la forma de Lagrange y de Cauchy.
Diapositivas sobre soluciones a sistemas de ecuaciones - [Detalles]
En estas diapositivas mostramos más ejemplos sobre cómo proceder para encontrar el conjunto de solución, desde pasar a una matriz a su forma escalonada reducida, si este conjunto es vacío o no.
Diapositivas sobre cónicas - [Detalles]
Damos inicio a un nuevo tema que es el tema de las cónicas, estas surgen a partir de cortar un cono en diferentes ángulos, las cónicas son: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, damos los elementos que distinguen una de la otra tanto en su forma geométrica pero también con su ecuación general es posible diferenciarlas.
Actividad Geogebra hipérbola - [Detalles]
Mostramos con ayuda del programa geogebra como al cambiar los parámetros de los elementos básicos que consitutyen a la hipérbola, nos muestra como al cambiar de posición alguno de sus focos, asimismo nos muestra como cambia su ecuación y nos muestra de forma visual como éstos cumplen con la propiedad de la hipérbola.
Diapositivas sobre discriminante y excentricidad - [Detalles]
Como hemos estado estudiando en todo este tiempo y un objetivo central dentro de nuestro estudio es saber identificar a las cónicas con ver sus ecuaciones. Ahora presentamos 2 criterios los cuales de una manera analítica nos facilitarán resolver esta tarea: por discriminante es necesario que la ecuación esté en su forma general y también por excentricidad que e sun cociente entre 2 distancias.
Explicamos en que consiste la simetría axial, alrededor de un eje E. La cual describe que dado un punto Q, siempre existe otro punto P, tal que el eje E es la mediatriz del segmento PQ. Describimos esto de forma geométrica con imágenes en un plano.
Definimos el determinante de una matriz y describimos la forma para calcular el determinante de una matriz de 2x2.
Ejemplo diferentes formas de la ecuación de la recta - [Detalles]
En este ejemplo vemos como a partir de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente, podemos transformarla a las demás formas. Es decir, dada una misma recta, vemos como representarla en sus demás formas.
Ecuacion de la recta en $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]
Definimos la ecuación de la recta en el espacio tridimensional R^3 (lo que podemos generalizar para R^n). Vemos la forma paramétrica y también vemos que podemos escribir la ecuación de la recta conociendo dos puntos que pasen por ella.
Ecuaciones del plano - [Detalles]
Vemos la ecuación para un plano en el espacio tridimensional, vemos la forma de la ecuación paramétrica y de la ecuación general del plano. También vemos como dar la ecuación del plano a partir de tres puntos que pasen por el plano y como obtener el vector normal al plano.
Multiplicación de números complejos - [Detalles]
Vemos la forma de multiplicar números complejos, usando las reglas anteriormente vistas (las cuales guardan similitudes a la multiplicación de polinomios), podemos llegar a una fórmula para la multiplicación. Hacemos algunos ejemplos para mostrar la multiplicación de números complejos en acción.
Mini-cuestionario: Más sobre formas matriciales de transformaciones lineales - [Detalles]
Otro mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Cambio de coordenadas y forma polar de un complejo - [Detalles]
Estudiamos las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de los números complejos, asimismo mostramos que existe una biyección entre estos dos sistemas coordenados.
Problemas de sistemas de ecuaciones complejos y forma polar - [Detalles]
Resolvemos una serie de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con números complejos, asi también enunciamos la relga de Kramer para la resolución de estos problemas.
4. Forma polar y potencias en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se introduce la representación polar de un número complejo y cómo se pueden hacer las operaciones entre complejos en esta representación. Se presenta la fórmula de De Moivre para las potencias de números complejos.
26. Funciones complejas como transformaciones. Técnicas de graficación. - [Detalles]
Como sabemos, es un poco difícil visualizar la gráfica de una función que va de $\mathbb{R}^2$ en $\mathbb{R}^2$, este es más o menos el caso en funciones de $\mathbb{C}$ en $\mathbb{C}$, por lo que para cerrar la unidad, estudiaremos algunos métodos que se pueden emplear para visualizar de cierta forma estas gráficas.
Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]
El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Diseño y programación orientada a objetos; Modelo - [Detalles]
1.2 Modelo orientado a objetos - ¿Qué es el modelo orientado a objetos? Presentación de las características de este modelo y su composición además de la definición de objeto que usaremos, cómo funciona, su rutina y mensaje además los tipos que existen. De igual forma se nos explica la definición de estado de objeto. y los tipos de métodos. También se nos habla de la programación orientada a objetos con clases, su definición y composición. Por último se presenta la definición de interfaz.
Álgebra de conjuntos - [Detalles]
En esta nueva entrada abordaremos a las operaciones entre conjuntos desde una perspectiva diferente: el álgebra. A traves de varios ejemplos veremos que existe otra forma de probar la igualdad entre conjuntos sin necesidad de usar la demostración por doble contención.
Expresiones algebraicas - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, nos adentraremos en las expresiones algebraicas, donde las letras reemplazan a los números para expresar ideas matemáticas de forma general. Aprenderemos a utilizar este lenguaje simbólico para traducir enunciados del mundo real a ecuaciones y resolver problemas de una manera más eficiente. Dentro del capitulo veremos temas como: jerarquía de operaciones, monomios y polinomios, términos semejantes, solución de ecuaciones de primer grado, etc.
Cuestionario de ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 11 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: lugares geométricos y sus ecuaciones, punto-pendiente de una recta, forma general de la ecuación de la línea recta, etc.
En la entrada anterior estudiamos la triangularización de matrices, que consistía en llevar matrices a una forma triangular superior. En esta fortaleceremos esta idea, y buscaremos maneras de llevar una matriz a una matriz diagonal: a este proceso se le conoce como diagonalizar.
Ortogonalidad en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada profundizaremos en el concepto de ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior y veremos como se relaciona con la noción de que una forma lineal y un vector sean ortogonales. Veremos conceptos como el de conjunto ortogonal y proyección ortogonal.
El teorema de descomposición polar real - [Detalles]
En esta entrada veremos una de las consecuencias de el teorema espectral: el teorema de descomposición polar. Veremos que toda matriz $A$ tendrá una expresión de la forma $A = US$ donde $U$ es una matriz ortogonal y $S$ es una matriz simétrica positiva.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Hablamos de sistemas de ecuaciones lineales y qué quiere decir resolverlos. Vemos su forma matricial y una aplicación a sistemas de 2x2.
Reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]
Hablamos de operaciones elementales, forma escalonada reducida y el teorema de reducción de Gauss-Jordan. Complementamos con ejemplos.
Functorialidad de los grupos de homotopía - [Detalles]
Vemos que pi_n forma un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos