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14 resultados encontrados

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    Repaso de formas bilineales y formas cuadráticas - [Detalles]

    en esta entrada daremos un repaso de los conceptos de formas bilineales y formas cuadráticas, y probaremos algunas propiedades que previamente no fueron demostradas. También nos familiarizaremos con algunos tipos especiales de formas bilineales e intentaremos extender las definiciones ya dadas, esta vez para espacios vectoriales cuyo campo sea $\mathbb{C}$

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    Matrices de formas bilineales - [Detalles]

    En esta entrada formalizaremos la relación entre formas bilineales y matrices. Veremos cómo se define la matriz asociada a una forma bilineal y cómo podemos traducir operaciones con la forma bilineal en operaciones con su matriz asociada.

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    Teorema de Gauss - [Detalles]

    En esta entrada continuaremos recordando algunas propiedades vistas previamente enfocándonos en el teorema de Gauss y su demostración. Esto nos dará una pequeña pista de la relación entre las formas cuadráticas y matrices. Además, con el teorema de Gauss obtendremos un algoritmo para poder escribir cualquier forma cuadrática en una forma estandarizada. Esto nos llevará más adelante a plantear la ley de inercia de Sylvester.

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    Problemas de formas bilineales, cuadráticas y teorema de Gauss - [Detalles]

    En esta entrada veremos un par de problemas para seguir repasando formas bilineales y cuadráticas y luego veremos al teorema de Gauss en acción.

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    Formas sesquilineales - [Detalles]

    En esta entrada veremos los conceptos de formas sesquilineales y formas hermitianas, ambos conceptos extienden (en algunos sentidos) lo que hemos visto sobre formas bilineales a espacios vectoriales sobre los complejos. Los resultados son casi análogos a los del caso real. Sin embargo, hay algunas diferencias importantes en las que haremos énfasis.

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    Formas cuadráticas hermitianas - [Detalles]

    El análogo complejo a las formas cuadráticas son las formas cuadráticas hermitianas. En esta entrada las definiremos, enfatizaremos algunas diferencias con el caso real y veremos algunas de sus propiedades. Al final enunciaremos una versión compleja del teorema de Gauss.

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    Matrices de formas sesquilineales - [Detalles]

    En esta entrada daremos una relación entre formas sesquilineales, formas cuadráticas hermitianas y matrices. Daremos la definición y veremos sus propiedades. Gran parte de la relación que había para el caso real se mantiene al pasar a los complejos. Las demostraciones en la mayoría de los casos son análogas, sin embargo, haremos énfasis en las partes que hacen que el caso real y el complejo sean distintos.

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    Dualidad y representación de Riesz en espacios euclideanos - [Detalles]

    En esta entrada veremos como se relacionan los conceptos de espacio dual y producto interior. Lo primero que haremos es ver cómo conectar la matriz que representa a una forma bilineal con una matriz que envía vectores a formas lineales. Después, veremos una versión particular de un resultado profundo: el teorema de representación de Riesz. Veremos que, en espacios euclideanos, toda forma lineal se puede pensar «como hacer producto interior con algún vector».

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    Ortogonalidad en espacios euclideanos - [Detalles]

    En esta entrada profundizaremos en el concepto de ortogonalidad de parejas de vectores con respecto a un producto interior y veremos como se relaciona con la noción de que una forma lineal y un vector sean ortogonales. Veremos conceptos como el de conjunto ortogonal y proyección ortogonal.

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    Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos - [Detalles]

    En esta entrada daremos un repaso de bases ortogonales y cómo encontrar estas bases, recordaremos conceptos como la descomposición de Fourier y la desigualdad de Bessel.

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    Proceso de Gram-Schmidt en espacios euclideanos - [Detalles]

    En esta entrada recordaremos el teorema de Gram-Schmidt el cual nos ayuda a encontrar una base ortonormal en un espacio euclidiano, y veremos ejemplos de su aplicación

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    Espacios euclideanos y espacios hermitianos - [Detalles]

    En esta entrada haremos un breve recordatorio de los conceptos de producto interior y de espacios euclideanos. Por otro lado, hablaremos de cómo dar los análogos complejos. Esto nos llevará al concepto de espacios hermitianos.

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    Matrices positivas y congruencia de matrices - [Detalles]

    En esta entrada veremos como se relacionan las ideas de matrices asociadas a formas bilineales con el producto interior y espacio euclideano, así como sus análogos complejos. Extenderemos nuestras nociones de positivo y positivo definido al mundo de las matrices. Además, veremos que estas nociones son invariantes bajo una relación de equivalencia que surge muy naturalmente de los cambios de matriz para formas bilineales (y sesquilineales).

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    Teorema de Sylvester - [Detalles]

    En esta entrada introduciremos la noción de la signatura de una matriz. A grandes rasgos, esta noción nos dice «qué tan positiva» es una matriz simétrica. Para definir esta noción, lo haremos primero para las matrices diagonales. Luego lo definiremos para todas las matrices simétricas a través del teorema que demostramos la entrada anterior.