Orden en los números enteros - [Detalles]
Hablamos sobre algunas propiedades de los números naturales, vemos que poseen un orden. Lo nos lleva a dar las definiciones formales de "menos que" y "menor igual". Demostramos algunas proposiciones y propiedades que surgen de considerar un orden en los números naturales.
Nota 17. El orden en los números naturales. - [Detalles]
En esta nota desarrollaremos formalmente el concepto de cuándo una magnitud es más grande que otra, es decir daremos un orden al conjunto de números naturales, veremos varías propiedades que nos dicen como este orden se comporta respecto a lo que ya sabemos de los números naturales.
En este video se enuncia los axiomas de orden para el conjunto de números positivos. Se demuestra algunas consecuencias de los axiomas, se define el orden, se muestra que el orden es congruente con las operaciones y se definen los intervalos.
El anillo de los números enteros - [Detalles]
Hablamos sobre los números enteros y las propiedades que la suma y el producto poseen en los números enteros. El conjunto de los números enteros junto con estas propiedades formal lo que se conoce como un anillo, lo cual se definirá de forma abstracta en un video posterior.
Números complejos - [Detalles]
Definimos los números complejos: "a+b*i" ("a", "b" son números reales e "i" es el numero imaginario). Damos la notación que vamos a utilizar para los numero complejo (parte real y parte imaginaria) y definimos el conjunto de los números complejos.
Los números naturales - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos matemáticos, nos embarcaremos en lo que es la aritmética, explorando los números primos, así como algunas de sus propiedades más importantes. Comenzaremos revisando algunos conceptos básicos, como los números naturales, los múltiplos, el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD). Luego, profundizaremos en la noción de divisibilidad, factorización y la clasificación de los números en primos y compuestos.
Números naturales e induccion - [Detalles]
En este video veremos a los números naturales como un subconjunto del campo de los números reales. Justificaremos el Principio de Inducción Matemática, que es una herramienta muy poderosa para demostrar proposiciones de tipo universal acerca de los números naturales.
Factorización en números primos - [Detalles]
Vemos la factorización en números primos. Demostramos un teorema que nos dice que todo número entero mayor que uno se puede expresar como un producto de números primos. Mostramos un ejemplo y después veremos que este teorema está relacionado con el teorema fundamental de la aritmética.
Método de reducción de orden - [Detalles]
Dada una solución a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, podemos encontrar una segunda solución linealmente independiente a la primera, mediante el método de reducción de orden.
Propiedades de orden y sus consecuencias - [Detalles]
Estudio del orden en los números reales y algunos resultados relacionados.
Intervalos y desigualdades en los números reales - [Detalles]
Definición de los diferentes tipos de intervalos en los números reales y solución de ejercicios de desigualdades de números reales.
Multiplicación de números complejos - [Detalles]
Vemos la forma de multiplicar números complejos, usando las reglas anteriormente vistas (las cuales guardan similitudes a la multiplicación de polinomios), podemos llegar a una fórmula para la multiplicación. Hacemos algunos ejemplos para mostrar la multiplicación de números complejos en acción.
La relación de orden en $\mathbb{N}$ - [Detalles]
Definimos el orden en los números naturales y se demuestra primero que es parcial y después que éste es total.
Compatibilidad del orden con las operaciones de los naturales - [Detalles]
Proporcionamos una definición de orden equivalente relacionada a la operación suma en el conjunto de los números naturales.
El orden de los enteros - [Detalles]
Definimos el orden en los números enteros y se demuestra primero que es parcial y después que éste es total.
Esbozo de construcción de racionales y reales - [Detalles]
Mostramos un pequeño esbozo sobre la motivación y construcción de los números racionales (primeramente) con ayuda de los números enteros ya construidos, después ocupamos que el campo de los racionales no siempre tiene solución siendo esta la motivación para la construcción de los números reales a partir de sucesiones de Cauchy. Manejamos que son un esbozo pues la idea de construir Q es muy similar cuando construimos Z pero la contrucción de R se da con más claridad en cursos de cálculo y análisis matemático.
Axiomas de Campo en los números reales - [Detalles]
La lista de axiomas de campo son las reglas que rigen a los números con una estructura adecuada. En particular el conjunto de números reales satisface esta lista y en este video discutimos cada uno.
Nota 16. Los números naturales. - [Detalles]
En esta nota construimos los números naturales mediante el uso de conjuntos y la función sucesor, derivado de esto vemos los axiomas de Peano, entre ellos se encuentra el llamado "principio de inducción" el cual se utiliza mucho en pruebas relacionadas a números naturales; por ultimo definimos dos operaciones en este conjunto: la suma y el producto.
Nota 18. El principio de inducción matemática. - [Detalles]
En esta nota usaremos el quinto axioma de Peano para hacer un tipo de prueba muy usada en matemáticas cuando se quiere constatar que un subconjunto de los números naturales es de hecho igual que los números naturales; vemos varios ejemplos de como usar correctamente el principio de inducción y por último vemos otros dos principios muy importantes de los naturales: el segundo principio de inducción y el principio del buen orden.
En esta sección hablaremos acerca de ordenes totales, retomaremos el concepto de orden parcial y orden parcial estricto y añadiremos el concepto de ser comparable. Además hablaremos acerca del orden lexicográfico vertical y horizontal.
Los números enteros - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, veremos el tema de los números enteros. Exploraremos sus propiedades y operaciones básicas. Veremos cómo cómo se ordenan en una recta numérica, estableciendo desigualdades. Hablaremos de su suma y resta, cuidando cómo trabajar con positivos y negativos. Luego, revisaremos la multiplicación y división de números enteros. Para todas estas operaciones hablaremos de varias propiedades.
Conjuntos importantes - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos revisaremos los conjuntos de números más importantes y los más usuales con los que solemos trabajar, tal es el caso de los naturales y enteros que ya hemos visto en capítulos anteriores, pero ahora añadiendo a los números, racionales, irracionales, reales y hasta los números complejos, que de complejos únicamente es el nombre, ya que veremos que la manera de trabajar con este es muy sencilla.
Cuestionario de los números naturales - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 1 del texto "Cimientos Matemáticos". Se cubren temas como números naturales, mcm, MCD, números primos, factorización, etc.
Cuestionario de los números enteros - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 2 del texto "Cimientos Matemáticos". Se cubren temas como números enteros, ley de los signos, multiplicación y división de números enteros, etc.
Cuestionario de conjuntos importantes - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 14 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: los números naturales, los números enteros, los números racionales e irracionales, etc.
Derivadas parciales de segundo orden - [Detalles]
Definimos las derivadas parciales de segundo orden para un campo escalar, con ejemplos. Vemos cuándo conmuta el orden de derivación.
Enumeraciones, Ejemplo, diseño de aplicación con Números - [Detalles]
• Ejemplo, diseño de aplicación con Números – Breve ejemplo de aplicación con números.
Enumeraciones, Ejemplo, código de la aplicación con Números - [Detalles]
Ejemplo, código de la aplicación con Números – código de la aplicación con números del ejemplo pasado.
Números enteros y racionales - [Detalles]
En este video presentamos el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales. Vemos que a pesar de que éstos últimos forman un campo, todavía no se ajustan al modelo de la recta geométrica.
Introducción a las sucesiones de números reales. - [Detalles]
En este video se introduce la noción de sucesión de números reales como función real cuyo dominio es el conjunto de números naturales. Se explica la notación y se dan pocos ejemplos. Al final se comenta sobre las sucesiones crecientes y acotadas, y cómo se comportan cerca del supremo de su imagen.
Definición de anillo - [Detalles]
Definimos un anillo, el cual consiste en una tupla (A,+,*), es decir, un conjunto, una suma y un producto. Tal que se cumplan ciertas propiedades (Análogo a los números enteros). Vemos algunos ejemplos y vemos que los números naturales no son un anillo. También damos la definición de dominio entero.
Principio del buen orden - [Detalles]
Enunciamos el principio del buen orden: Todo subconjunto, no vacío, de los naturales tiene un elemento mínimo. Vemos algunos subconjuntos como ejemplos.
El Principio del Buen Orden y el Principio de Inducción Matemática - [Detalles]
Enunciamos que: El principio del buen orden es equivalente al Principio de inducción matemática. Indicamos la idea de cómo demostrar este enunciado, el cual se demostrará en los dos videos siguientes.
El principio del buen orden implica el principio de inducción matemática - [Detalles]
Siguiendo con lo visto anteriormente, demostramos que: El principio del buen orden (PBO) es equivalente al Principio de inducción matemática (PIM). En este video demostramos que PBO implica PIM.
El principio de inducción implica el principio del buen orden - [Detalles]
Siguiendo con lo visto anteriormente, demostramos que: El principio del buen orden (PBO) es equivalente al Principio de inducción matemática (PIM). En este video demostramos que PIM implica PBO.
Damos la definición formal de un numero primo. Un entero "p>1" se dice que es primo si sus únicos divisores positivos son 1 y el mismo (1 y "p"). Definimos que es un numero compuesto y hablamos sobre algunas curiosidades sobre los números primos.
División de números complejos - [Detalles]
Vemos la forma de dividir número complejos, usando la multiplicación anteriormente vista podemos llegar a una fórmula para la división. Hacemos algunos ejemplos para mostrar la división de números complejos en acción.
Potencias de números complejos - [Detalles]
Vemos el teorema de Moivre, el cual nos ayuda a calcular las potencias n-esímas de números complejos, de una forma muy facil (sin embargo, necesitamos la forma polar del complejo). Usamos el teorema de Moivre para calcular como ejemplo la potencia de algunos complejos y vemos como representar en el plano complejo la potencia de un complejo (podemos verlo como una rotación).
Definiciones elementales: Ecuación diferencial ordinaria, solución, y orden de una ecuación - [Detalles]
Definimos una ecuación diferencial ordinaria, solución y el orden de una ecuación.
Curvas integrales y soluciones a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos la relación existente entre las curvas integrales del campo asociado a la ecuación de primer orden dy/dt=f(t,y) y sus soluciones.
Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de primer orden.
Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden: ejemplos - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones lineales homogéneas de primer orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal no homogénea de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden, por el método de factor integrante.
Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden - [Detalles]
Demostramos el Teorema de existencia y unicidad en su versión para ecuaciones lineales de primer orden
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades de las soluciones - [Detalles]
Estudiamos a las ecuaciones homogéneas de segundo orden y el comportamiento de las soluciones
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Independencia lineal de soluciones - [Detalles]
Terminamos el estudio de las soluciones a ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, con el concepto de dependencia e independencia lineal de soluciones. Estudiamos la relación entre este nuevo concepto con los de conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales distintas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son reales y distintas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces repetidas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son repetidas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces complejas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son complejas.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden y sus soluciones - [Detalles]
Demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para resolver una ecuación lineal no homogénea de segundo orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones de segundo orden por el método de variación de parámetros.
Ecuación de Bessel (Parte 1) - [Detalles]
Hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden lambda alrededor del punto singular regular t=0. Posteriormente encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden cero.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 1) - [Detalles]
Damos las primeras definiciones acerca de sistemas de ecuaciones de primer orden y mostramos dos ejemplos de problemas donde los sistemas aparecen.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 2) - [Detalles]
Hablamos un poco del problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden, así como del Teorema de existencia y unicidad correspondiente, tanto en una versión general como en su versión para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 1) - [Detalles]
Estudio de las propiedades básicas de los números reales con sus operaciones: suma y producto.
Sucesiones de números reales - [Detalles]
Definición y ejemplos de sucesiones de números reales
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden - [Detalles]
Estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no homogéneas
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad - [Detalles]
Continuación con el estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no homogéneas y presentación del teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden, métodos de resolución - [Detalles]
Estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de orden superior - [Detalles]
Introducción general a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
Soluciones a ecuaciones diferenciales de orden superior - [Detalles]
Estudio de las propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Método de reducción de orden - [Detalles]
Presentación de un primer método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados - [Detalles]
Al estudiar el caso no homogeneo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta un primer método que propone soluciones en forma de series similares a la función g
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de variación de parámetros - [Detalles]
Se hace una generalización del método de variación de parámetros para resolver de manera general ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios - [Detalles]
Se hace un breve repaso de series de potencias para posteriormente desarrollar un método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos ordinarios
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares - [Detalles]
Se describe el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos singulares
Introducción al teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden y damos los primeros detalles para la demostración de dicho teorema.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de existencia - [Detalles]
Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de unicidad - [Detalles]
Demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. El plano fase - [Detalles]
Comenzamos la última unidad del curso estudiando la geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, definiendo el plano fase y analizando un par de ejemplos.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Campo vectorial asociado - [Detalles]
Asociamos un campo vectorial a un sistema de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, y analizamos su relación con las curvas del plano fase del sistema.
Puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Definimos los puntos de equilibrio para sistemas de ecuaciones de primer orden, y revisamos algunos ejemplos.
Estabilidad de puntos de equilibrio para sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Revisamos los conceptos de puntos de equilibrio estables, asintóticamente estables e inestables para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden - [Detalles]
Se hace un generalización de la teoría preliminar vista en el teorema de existencia y unicidad de Picar-Lindelöf y se demuestra el teorema de existencia y unicidad para el caso general, es decir, para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden tanto lineales como no lineales
Derivadas implícitas y de orden superior - [Detalles]
Revisión de los conceptos de derivada implícita y de orden superior.
Introducción a las bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Damos una breve introducción a las bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden.
Diapositivas sobre combinatoria - [Detalles]
Motivamos el estudio del cálculo combinatorio, definimos un número factorial y un número combinatorio, demos unos ejemplos en los cuales para ordenar elementos en un conjuntos importando el orden y no importando el orden donde a los primeros los llamamos permutaciones. Para hacer este tipo de cálculos es muy usual que los alumnos confundan las fórmulas y las ocupen de manera errónea, así que para que el alumno se relacione mejor con las fórmulas se hizo una tabla muy fácil de usar acompañada de varios ejemplos.
Multiplicación de números complejos en su forma polar - [Detalles]
Usando la forma polar de los números complejos, damos una formula muy sencilla para multiplicar complejos (en su forma polar). Vemos que tiene una representación geométrica muy parecida a una rotación, o una suma de vectores en el plano complejo.
Introducción al curso y números naturales - [Detalles]
Comenzamos el curso retomando las principales definiciones del conjunto de los números naturales enseñados en el curso de álgebra superior II asimismo se enseñan los axiomas de Peano.
El principio del buen orden - [Detalles]
Probamos la equivalencia entre el principio del buen orden y el principio de indicción así como el conjunto de los naturales satisface ser un conjunto bien ordenado.
Construcción de los enteros y su suma - [Detalles]
Construimos el conjunto de los números enteros a partir de los números naturales, definimos a un número entero como una clase de equivalencia, definimos su operación suma y su inverso; también demostramos algunas propiedades básicas de la operación suma en los enteros.
Construcción de números complejos - [Detalles]
Motivamos la construcción de los complejos y como suplen la necesidad de resolver el problema de raíces de números negativos con el número i. La construcción es muy parecida a las dadas en álgebra superior II como parejas ordenadas, también definimos su propiedad suma y producto, con estas operaciones demostramos que los complejos son un campo.
Multiplicación en forma polar y fórmula de De Moivre - [Detalles]
Mostramos la interpretación geométrica de lo que reprenta la multiplicación de dos números complejos en su forma polar; también enunciamos la fórmula de De Moivre para ayudarnos a dar solución a problemas en los que se requiere calcular potencias de números complejos.
Desigualdades de polinomios - [Detalles]
Desarrollamos herramientas para poder resolver problemas del orden en el anillo de los polinomios y para que valores se cumplen estas relaciones de orden asimismo se da el teorema de la factorización de polinomios reales.
Orden de un elemento - [Detalles]
Se define el orden de un elemento y se dan ejemplos.
El orden de un grupo - [Detalles]
Se define el orden de un grupo y se dan ejemplos.
Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]
Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.
1. Introducción a los números complejos - [Detalles]
Repasaremos unos breves antecedentes históricos y unas de las primeras motivaciones que nos llevaron a la concepción, y posteriormente creación, de los números complejos.
1. Introducción a los números complejos - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan problemas que motivan la necesidad del sistema de números complejos, en particular los problemas de solucionar ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan formalmente al sistema de números complejos como un campo, introduciendo las operaciones de suma y producto, así como la conjugación.
27. Preliminares de series de números complejos - [Detalles]
Empezamos la unidad dando las definiciones básicas de series de números complejos y resultados sobre su convergencia o divergencia.
27. Preliminares de series de números complejos - [Detalles]
Dimos la generalización de series a números complejos, vamos a preguntar un par de cosas para repasar los conceptos importantes.
Distintas clases de números - [Detalles]
En este video platicamos acerca de distintas clases de números y motivamos de donde surgen.
Álgebra Moderna I: Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]
¿Cualquier subconjunto X de un grupo G es un subgrupo? Esta premisa es abordada principalmente, necesitamos ver condiciones necesarias que pedirle a a X. Requiriendo la definición de orden de un elemento hasta llegar al concepto de subgrupo cíclico.
Álgebra Moderna I: Orden de un grupo - [Detalles]
Es importante definir ahora el orden de un grupo, formalizando algunos conceptos del tema anterior como el del conjunto generado por un elemento a.
Álgebra Moderna I: Teorema de Lagrange - [Detalles]
A continuación, se revisara y demostrará uno de los teoremas mas importantes de la Teoría de Grupos, conocido como el Teorema de Lagrange. El cual nos dice que para un subgrupo H de G, el orden de G es un t veces del orden de H
Álgebra Moderna I: Caracterización de grupos cíclicos - [Detalles]
En los grupos cíclicos, existe un subgrupo único para cada divisor del orden del grupo. Este concepto será el enfoque inicial de esta explicación. Posteriormente, emplearemos un resultado de la teoría de números, utilizando la teoría de grupos para describir los grupos cíclicos de manera más detallada. Esta descripción, junto con sus implicaciones en los campos finitos, se basa en los materiales de los libros de Rotman y también se encuentra en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, que se mencionan en la bibliografía.
Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.
Propiedades del producto cartesiano - [Detalles]
En esta entrada demostraremos algunas de las propiedades del producto cartesiano. Hablaremos acerca de la conmutatividad y asociatividad de esta operación. A partir de esta entrada haremos uso de los números naturales aunque formalmente no los hemos definido, por el momento los utilizaremos simplemente como números y no como conjuntos.
Construcción de los números naturales - [Detalles]
En esta sección comenzaremos con la construcción rigurosa de los números naturales, es decir, desde la teoría de conjuntos, sin dejar de lado la noción intuitiva que ya tenemos, para ello veremos el concepto de conjunto transitivo.
Números naturales - [Detalles]
En esta entrada daremos la definición formal de un número natural. Además probaremos algunos resultados sobre números naturales.
Buen orden en los naturales - [Detalles]
En esta entrada demostraremos que el conjunto de los números naturales es un conjunto bien ordenado.
Todas las gráficas no isomorfas de orden 4 - [Detalles]
En este video presentamos todas las gráficas no isomorfas de orden 4. A partir de esta pequeña familia, introducimos de manera intuitiva conceptos importantes como: la gráfica completa, ciclos, trayectorias, estrellas, gráficas conexas, árboles y gráficas planares. Todos estos conceptos se definirán de manera formal en video subsecuentes.
Gráficas regulares y secuencias de grado q - [Detalles]
Aquí damos respuesta a las siguientes preguntas ¿Para qué valores de n y r existe una gráfica r-regular de orden n? ¿Qué secuencias de n números enteros no negativos son la secuencia de grados de una gráfica?
Los números reales - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos exploraremos las propiedades de los números reales, como son estas reglas fundamentales que rigen su manipulación en operaciones matemáticas, mientras que el concepto de valor absoluto añade una capa de comprensión al medir la distancia de un número al cero en la línea numérica.
Definición formal de gráfica conexa - [Detalles]
Definimos formalmente lo que es una gráfica conexa y sus componentes. Probamos dos resultados que confirman dos intuiciones claras: (1) que si en una gráfica de orden n todos los vértices tienen grado "grande" entonces la gráfica es conexa; (2) que si una gráfica de orden n tiene "muchas" aristas entonces la gráfica es conexa. En ambos casos se determina de manera exacta el significado de "muchas", en función de n.
Cuestionario de los números reales - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 15 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: postulados de campo, postulados de orden, valor absoluto, etc.
Derivadas parciales de orden superior - [Detalles]
Definimos qué son las derivadas parciales de orden superior para campos escalares. Damos ejemplos y un teorema de conmutatividad.
Introducción a números naturales - [Detalles]
En esta entrada revisamos los axiomas de Peano así como la construcción conjuntista de los números naturales.
Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I - [Detalles]
En este video se presentará el contenido del curso de Cálculo Diferencial e Integral I. Se exponen de manera informal los problemas que motivan el Cálculo Diferencial e Integral y se enfatiza la necesidad de la discusión profunda de los conceptos de aproximación (supremos/ínfimos, límites) como fundamento del Cálculo. Presentación del curso de Calculo Diferencial e Integral I Contenido: 00:00 ¿Qué significa "cálculo"? 02:37 ¿Qué se entiende actualmente por cálculo? 04:15 ¿Qué es el Cálculo Diferencial? 07:02 ¿Qué es el Cálculo Integral? 08:27 Relación entre el Cálculo Diferencial e Integral 09:27 La Derivada 11:27 La Integral 11:54 El Análisis Real 15:05 Temario del Curso: 1. Números Reales 17:03 Temario del Curso: 2. Conjuntos y Funciones de Números Reales 18:50 Temario del Curso: 3. Límites de Funciones de Variable Real 19:24 Temario del Curso: 4. Continuidad 20:30 Temario del Curso: 5. Derivadas Créditos. Tabla de contenido: Carlos Moisés Arriaga Osante.
Valor absoluto y más sobre el orden de los reales - [Detalles]
En este video definiremos la función valor absoluto, reconoceremos algunas de sus propiedades y veremos cómo son los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades que la involucran. Veremos también cómo se comporta el orden de los reales con operaciones como elevar al cuadrado y tomar recíprocos.
Expresión decimal de los números reales - [Detalles]
En este video se discutirá sobre la expresión decimal de los números reales.
Vecindades de números reales - [Detalles]
En este video se definen las vecindades o entornos de un número real, así como se muestra que la diferencia en valor absoluto mide la distancia entre dos números reales, que geométricamente significa la longitud del segmento que los une. También se definen las vecindades agujeradas.
En este video se mencionan las propiedades de la diferencia en valor absoluto como una función que mide la distancia entre dos números reales, y se demuestra la desigualdad del triángulo en los números reales.
Implementación con bits, Números de punto flotante - [Detalles]
Números de punto flotante - Representación de datos numéricos; racionales en la computadora.
Enumeraciones, Ejemplo de excepciones con Números - [Detalles]
Ejemplo de excepciones con Números y explicación con más detalle así como recomendaciones generales.
Funciones de orden superior, Definiciones - [Detalles]
Funciones de orden superior - Definiciones y explicación previa a la introducción de este tipo de funciones en JAVA mediante sus interfaces funcionales por sus limitantes
Funciones de orden superior, Ejemplo de aplicación - [Detalles]
Ejemplo de aplicación - Breve ejemplo de implementación de funciones-objeto de orden superior.
Demostración directa y primeros ejemplos - [Detalles]
Explicamos sobre el método de demostración conocido como "Demostración directa". Demostramos un teorema sobre los números pares e impares.
Como demostrar una implicación. Demostración directa - [Detalles]
Platicamos las características de la demostración directa y damos un ejemplo con una proposición sobre los números enteros múltiplos de 6.
Demostrar que una proposición es falsa - [Detalles]
Explicamos como demostrar que una proposición o enunciado es falso, damos un ejemplo usando los números enteros.
Demostración por casos - [Detalles]
Explicamos como realizar una demostración por casos y las reglas que se deben seguir, damos ejemplos con números enteros.
Demostración de que hay infinitos primos - [Detalles]
Explicamos cómo demostrar que hay una cantidad infinita de números primos. Para tal fin suponemos ciertos el teorema fundamentar de la aritmética.
Ejercicio de repaso de operaciones con conjuntos - [Detalles]
Damos un repaso a las operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, etc. Usamos ejemplos sencillos de subconjuntos de números naturales.
Funciones numéricas - [Detalles]
Damos ejemplos de funciones donde la relación es entre conjuntos de números, lo cual se denomina función numérica. Hablamos sobre como graficarla y cuales no son funciones.
Cardinalidad - conjuntos infinitos - los naturales - [Detalles]
Hablamos sobre la cardinalidad del conjunto de los números naturales, y mostramos que el conjunto es infinito. Haciendo uso de esto, definimos cuando un conjunto es "Numerable" y damos algunos ejemplos.
Cardinalidad - los números reales - [Detalles]
Hablamos sobre la cardinalidad del conjunto de los reales, y demostramos que este conjunto NO tiene la misma cardinalidad que los naturales.
Combinatoria, que fórmula usar - [Detalles]
Definimos fórmulas de conteo, para saber cuántas combinaciones de k elementos de n elementos disponibles, podemos tener. Estas fórmulas de conteo dependen de si importa el orden o no, o si importa que haya repetidos o no.
Ejemplo combinatoria - [Detalles]
Usamos combinatoria para responder: ¿De cuantas maneras se pueden repartir 3 medallas en una carrera de 12 caballos? Damos la fórmula de conteo según importe el orden o no, o si se admiten repeticiones.
La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones - [Detalles]
Explicamos y definimos una matriz de tamaño NxM (arreglos rectangulares de números). Damos la representación matricial de un sistema lineal, la cual es una matriz conformada por los coeficientes del sistema (matriz de coeficientes). Definimos la matriz aumentada y explicamos como usarla para resolver sistemas lineales.
El algoritmo de Euclides: enunciado y demostración. - [Detalles]
Demostramos el algoritmo de Euclides, es un método o procedimiento que nos ayuda en la búsqueda del Máximo Común Divisor de dos números enteros. Vemos que hace uso del algoritmo de la división repetidamente y que hay una relación entre el residuo y el máximo común divisor.
Hay una cantidad infinita de números primos - [Detalles]
Para terminar esta sección demostramos un teorema de bastante relevancia, el cual nos dice que existe una cantidad infinita de numero primos. La demostración es sencilla y hacemos uso del teorema fundamental de la aritmética.
Propiedades básicas de congruencias - [Detalles]
Demostramos algunas propiedades sobre la congruencia, entre sus propiedades podremos notar que la relación de congruencia se basa en la relación que tienen los números enteros con el residuo obtenido de dividir entre el módulo "m".
Operaciones con el número $i$ - [Detalles]
Definimos la suma de los términos que tienen al número i. Igualmente vemos cómo multiplicar números reales por términos que tengan el número i y por último vemos las potencias del número i.
Teorema sobre polinomios y números complejos - [Detalles]
Vemos y demostramos uno de los teoremas más importantes sobre polinomios: Si un número complejo es solución de un polinomio con coeficientes reales entonces su conjugado también es solución de ese mismo polinomio. Este teorema nos puede ayudar a encontrar soluciones de un polinomio.
Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma dy/dt=f(t,y(t)) mediante varios ejemplos sencillos.
Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones - [Detalles]
Esbozamos las soluciones a una ecuación de primer orden de la forma dy/dt=f(y), la cual denominamos ecuación autónoma, mediante el uso de sus soluciones de equilibrio y la línea fase asociada a la ecuación.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial lineal no homogénea por el método de variación de parámetros.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos dos ecuaciones por el método de variación de parámetros, una de ellas la resolvimos por el método de factor integrante en un video anterior, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.
Ecuaciones no lineales de primer orden separables - [Detalles]
Comenzamos el estudio a las ecuaciones no lineales considerando el caso de las ecuaciones separables
Ecuaciones no lineales de primer orden separables (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales por el método de variables separables
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano - [Detalles]
Definimos al conjunto fundamental de soluciones de una ecuación, y al Wronskiano de dos soluciones. Vemos la relación que guardan estos dos conceptos, y demostramos algunas propiedades que cumplen estos.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 1) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes indeterminados, y revisamos el caso cuando g(t) es un polinomio de grado n. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 2) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función exponencial. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 3) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función coseno o seno.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Comenzamos la revisión de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables, y mostramos la existencia de una solución con desarrollo en serie de potencias alrededor de un punto ordinario.
Radio de convergencia de series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Calculamos el radio de convergencia para una solución por serie de potencias cerca de un punto ordinario para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables por series de potencias.
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 1) - [Detalles]
Damos las consideraciones generales que utilizaremos a lo largo del tema, definimos la ecuación indicial de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables, y desarrollamos el método de Frobenius para el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero
Ecuación de Bessel (Parte 2) - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden uno.
Método de la transformada de Laplace - [Detalles]
Resolvemos el problema de condición inicial de manera general para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes por el método de la transformada de Laplace.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 2) - [Detalles]
Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además definimos cuándo este subconjunto de soluciones es linealmente dependiente o independiente. Finalmente demostramos un teorema que relaciona estos dos conceptos.
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Método de eliminación de variables - [Detalles]
Resolvemos el sistema lineal (homogéneo y no homogéneo) de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes en su forma general por el método de eliminación de variables.
Propiedades de la exponencial de una matriz - [Detalles]
Analizamos las principales propiedades que cumple la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes, además de relacionarla con los problemas de condición inicial para sistemas lineales de primer orden.
Orden de un elemento y Grupo cíclico - [Detalles]
None
Orden de un grupo - [Detalles]
None
Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2) - [Detalles]
Estudio de algunas propiedades relacionadas a la multiplicación, productos notables y a los inveros multiplicativos.
Valor absoluto y desigualdades - [Detalles]
Revisión de ejercicios de desigualdades con valor absoluto en los números reales.
Axioma del supremo y sus aplicaciones - [Detalles]
Estudio del concepto de completitud en los números reales, el axioma del supremo y sus consecuencias.
Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada - [Detalles]
Estudio de las propiedades gráficas de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales autónomas - [Detalles]
Estudio de las propiedades gráficas de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden en las que no aparece explícitamente la variable independiente, mejor conocidas como ecuaciones autónomas
Demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelof - [Detalles]
Presentación de la demostración del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes - [Detalles]
Se estudia un método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes de acuerdo al valor del discriminante de la ecuación auxiliar
Ecuación de Cauchy-Euler - [Detalles]
Se aplican los resultados obtenidos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables conocida como ecuación de Cauchy-Euler
Sistemas de ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Se presenta una introducción a los sistemas de ecauciones diferenciales compuestos por varias ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Método de eliminación de variables - [Detalles]
Se presenta un primer método sencillo para resolver sistemas lineales compuestos de pocas ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tanto homogéneas como no homogéneas
Sistemas lineales no homogéneos – Método de variación de parámetros - [Detalles]
Se presenta una generalización del método de variación de parámetros para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneas con coeficientes constantes
Principios de conteo 3 - Combinaciones - [Detalles]
Desarrollamos el concepto de combinaciones. En este caso, al contar las combinaciones, todos aquellos arreglos con los mismos objetos (pero en orden distinto) se consideran indistinguibles. Utilizamos las herramientas de la entrada anterior para encontrar el número de combinaciones.
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios reales y distintos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son reales y distintos
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios complejos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son complejos
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios repetidos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son repetidos
El plano Traza-Determinante - [Detalles]
Toda la teoría desarrollada sobre los sistemas lineales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden se resume en el conocido plano Traza-Determinante
El péndulo simple - [Detalles]
Obtenemos una ecuación de segundo orden que modela el movimiento de un péndulo. Posteriormente estudiamos el sistema de ecuaciones asociado y su plano fase.
Las nulclinas y el plano fase - [Detalles]
Definimos las nulclinas de un sistema de ecuaciones de primer orden, y estudiamos los aspectos más importantes que nos ayudarán a esbozar el plano fase de un sistema.
Bifurcaciones en sistemas lineales (Ejemplos) - [Detalles]
Estudiamos algunas familias uniparamétricas de sistemas de ecuaciones de primer orden lineales.
Diapositivas sobre familias de conjuntos - [Detalles]
Hablamos sobre los conjuntos que tienen como elementos conjuntos a los cuales llamamos familias de conjuntos, al igual que lo que hemos ya estudiado de conjuntos a estos también podemos unirlos e intersectarlos entre sí como familia, además de indexarlos (ponerles índices y por ende un orden de conjuntos), Se demuestran unas propiedades y se muestran en estas uniones e intersecciones las leyes de De Morgan.
Diapositivas sobre conjuntos infinitos - [Detalles]
Ahora estudiamos otro tipo de conjuntos infinitos o infinitos numerables, estos son los que cumplen una biyección entre el conjunto y el conjunto de los números naturales, se muestran unas propiedades sencillas de demostrar. Hacemos una división entre los conjuntos contables y no contables.
Diapositivas sobre el principio de inducción - [Detalles]
Se muestra el proceso para realizar una demostración por inducción matemática sobre el conjunto de los números naturales, se explica el paso basi y el paso inductivo (cómo se construye la hipótesis de inducción) y unos ejemplos de como realizar este tipo de demostraciones.
Diapositivas sobre ejemplos de combinatoria y propiedades del cálculo combinatorio - [Detalles]
Hacemos un ejercicio básico sobre el cálculo combinatorio que son ejercicios sobre un mazo de póker y realizamos unas cálculos con etse material, asimismo demostramos 2 propiedades sobre números combinatorios y se dejan 2 ejercicios para el lector.
Cuestionario sobre producto triple de vectores - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema del producto triple de vectores en el espacio cartesiano donde se busca una comprensión de como se debe de realizar este cálculo (pues en este si es importante el orden) y el cáclulo sobre este nuevo producto, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
La construcción de las naturales - [Detalles]
Definimos lo que es un conjunto inductivo, demostramos propiedades de este tipo de conjuntos y que el conjunto de los números naturales satisface los axiomas de Peano.
Principios de inducción y teoremas de recursión - [Detalles]
Demostramos el princicipio de inducción y el teorema de recursión débil, por otro lado enunciamos el teorema de recursión fuerte y el principio de buen orden.
Definición de la suma y sus propiedades básicas - [Detalles]
Definimos la suma en el conjunto de los números naturales y demostramos las propiedades básicas de esta operación en N.
Definición del producto y sus propiedades básicas - [Detalles]
Definimos el producto en el conjunto de los números naturales y demostramos las propiedades básicas de esta operación en N.
Otras definiciones recursivas en los naturales (exponenciación y factorial) - [Detalles]
Definimos el factorial y la exponenciación en los números naturales asimismo probamos unas leyes de los exponentes.
El tamaño de $N$ y de cada natural - [Detalles]
Caracterizamos a los conjuntos finitos e infinitos y demostramos que el conjunto de los números naturales es el infinito más pequeño.
Problemas del orden en $\mathbb{N}$ - [Detalles]
Descripción pendiente
Problemas de compatibilidad del orden de los naturales con sus operaciones - [Detalles]
Descripción pendiente
La inmersión de los naturales en los enteros - [Detalles]
Estudiamos a los números enteros pero ahora trabajamos para etiquetarlos como los conocemos comunmente sin perder de vista la construcción y formalidad matemática que se ha trabajado en este tema.
Problemas de orden de los enteros y la inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$ - [Detalles]
Descripción pendiente
Divisibilidad en los enteros - [Detalles]
Damos la definición de divisibilidad en los enteros. Discutimos algunas propiedades básicas y otras relacionadas con las operaciones y orden.
Números primos y sus propiedades - [Detalles]
Damos la definición de que un entero sea primo. Vemos dos equivalencias y propiedades para preparar el teorema fundamental de la aritmética.
Teorema fundamental de la aritmética e infinidad de números primos - [Detalles]
Enunciamos y demostramos el teorema fundamental de la aritmética. Luego, lo usamos para ver que el conjunto de primos es infinito.
Problemas de números primos - [Detalles]
Descripción pendiente
Racionales y sus expansiones decimales - [Detalles]
Damos una serie de ejemplos que nos muestran la relación entre los números racionales y sus expresiones decimales.
Inmersión de los reales en los complejos - [Detalles]
Motivamos la construcción de los complejos y como suplen la necesidad de resolver el problema de raíces de números negativos con el número i. La construcción es muy parecida a las dadas en álgebra superior II como parejas ordenadas, también definimos su propiedad suma y producto, con estas operaciones demostramos que los complejos son un campo.
La conjugación de números complejos - [Detalles]
Definimos la operación conjugado en el campo de los reales, enunciamos propiedades del conjugado y demostramos algunas de ellas. De igual manera definimos la parte real e imaginaria de un número compleja y sus relaciones con el conjugado.
La norma en los complejos - [Detalles]
Definimos la norma de los complejos y demostramos propiedades de la norma compleja también demostramos una propiedad muy importante tanto para los reales como para los complejos que es la propiedad de la desigualdad del triángulo tanto para la aprte real tanto para la métrica de la suma de 2 números complejos.
Sistemas de ecuaciones lineales complejos - [Detalles]
Motivamos el estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales pero ahora con números complejos, nuestra inspiración fueron algunos métodos que ya conocemos por el estudio en los reales tales como el determinante, substitución o igualando coeficientes.
Cambio de coordenadas y forma polar de un complejo - [Detalles]
Estudiamos las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de los números complejos, asimismo mostramos que existe una biyección entre estos dos sistemas coordenados.
Problemas de sistemas de ecuaciones complejos y forma polar - [Detalles]
Resolvemos una serie de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con números complejos, asi también enunciamos la relga de Kramer para la resolución de estos problemas.
Raíces de números complejos y raíces de la unidad - [Detalles]
Motivamos el estudio de poder calcular reíces de un número complejo, así vamos obteniendo resultados que nos ayuden a poder calcular las raíces en los complejos llegando al teorema que da solución al estos problemas también lo demostramos al igual que el teorema de las raíces n-ésimas de la unidad.
Exponencial, logaritmo y trigonometría en los complejos - [Detalles]
Definimos las función exponencial, logaritmo y trigonométricas en los números complejos, asimismo se demuestran ciertas propiedades de estas funciones aaí como también la identidad de Euler.
Factorización completa y unicidad de la factorización - [Detalles]
Definimos lo que es una factorización completa y demostramos que la factorización completa de una permutación es única salvo el orden de los factores.
Grupos cíclicos - parte 1 - [Detalles]
Se da la definición de grupo cíclico y se exploran algunas de sus propiedades, se demuestra que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos y que hay subgrupos para cada divisor del orden de un grupo cíclico.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Ahora queremos repasar lo que significa que $\mathbb{C}$ sea un campo y que implica, así como reforzar unas cuantas fórmulas para expresar partes real e imaginaria de un número complejo.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Revisitaremos un poco de la parte histórica y notaremos un poco de la importancia de la simbiótica relación entre los números complejos y el plano cartesiano.
8. Sucesiones en el espacio métrico $(\mathbb{C}, d)$ - [Detalles]
Estudiaremos las sucesiones de números complejos, el cual resulta un objeto fundamental para el estudio del concepto de las aproximaciones, utilizando los conceptos de distancia que definimos en la entrada anterior e introducimos el "límite de una sucesión" y cuando puede o no existir.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan propiedades de los números complejos que surgen naturalmente de una construcción geométrica como lo son el módulo, también se da una interpretación geométrica de las operaciones entre complejos.
4. Forma polar y potencias en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se introduce la representación polar de un número complejo y cómo se pueden hacer las operaciones entre complejos en esta representación. Se presenta la fórmula de De Moivre para las potencias de números complejos.
5. Potencias racionales y raíces en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presenta cómo calcular raíces n-esimas de números complejos partiendo de la fórmula de De Moivre.
Unidad I: Introducción y preliminares - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la primera unidad tales como operaciones de números complejos, geometría del espacio complejo y el plano complejo extendido, por mencionar algunos.
Unidad I: Introducción y preliminares - Examen - [Detalles]
En este examen se evalúan temas de la primera unidad tales como operaciones de números complejos, geometría del espacio complejo y el plano complejo extendido, por mencionar algunos.
Unidad III: Series de números complejos - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la tercera unidad tales como tipos de convergencia de series, criterios de convergencia de series y representación en series de funciones elementales.
Unidad III: Series de números complejos - Examen - [Detalles]
En este examen se evalúan temas de la tercera unidad tales como tipos de convergencia de series, criterios de convergencia de series y representación en series de funciones elementales.
Unidad III: Series de números complejos - Tarea - Soluciones - [Detalles]
Se presentan las soluciones detalladas a la tarea en equipo de la tercera unidad.
Unidad III: Series de números complejos - Examen - Soluciones - [Detalles]
Se presentan las soluciones detalladas al examen de la tercera unidad.
28. Sucesiones y series de funciones - [Detalles]
Desde hace varias entradas habíamos definido sucesiones, y en la anterior series, pero ambas para números complejos, ahora subiremos un escalón, definiendo estos conceptos también para funciones complejas.
28. Sucesiones y series de funciones - [Detalles]
Ya que vimos sucesiones y series de números complejos, ahora toca ver los mismos conceptos pero para funciones de variable compleja. Veamos un par de preguntas para ver si se entendió bien.
La Inducción matemática - [Detalles]
La inducción matemática es una herramienta fundamental para poder demostrar proposiciones que tienen que ver con los números naturales. En este video discutimos cuál es su estructura y como se implementa.
Ejercicio Inducción (Gauss) - [Detalles]
En este video, no sólo descubriremos la belleza detrás de esta ecuación que suma números consecutivos, sino que también nos embarcaremos en un viaje didáctico para demostrar su validez utilizando el principio de inducción matemática.
Nota 21. Conteo, ordenaciones con repetición. - [Detalles]
En esta nota comenzaremos a ver las técnicas de conteo, las cuales son una aplicación de los números naturales; analizaremos la situación conocida como ordenaciones con repetición, que nos dan todas las posibilidades de formar una secuencia ordenada de m posiciones, llenadas con los n objetos de un determinado conjunto.
Álgebra Moderna I: Palabras. - [Detalles]
Se definirá el concepto de palabra en X, ya que estas permiten dar descripción del subgrupo generado. Así mismo, se establecerá el concepto de orden de un producto.
En esta entrada veremos el concepto de conjunto bien ordenado, en dicho conjunto toma mucha importancia el concepto de minimo. También veremos como se relaciona este nuevo concepto con los conceptos de orden que se han visto anteriormente
Isomorfismos de orden - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de funciones biyectivas entre conjuntos ordenados, algunas con propiedades particulares a las que llamaremos isomorfismos, tabién veremos algunos resultados sobre isomorfismos.
Conjuntos inductivos y axioma del infinito - [Detalles]
En esta entrada, hablaremos acerca de los conjuntos inductivos, así como de un nuevo axioma que nos permitirá establecer la existencia de conjuntos con una cantidad infinita de elementos, este axioma será pieza importante pues los axiomas que tenemos hasta ahora no nos permiten probar que la colección de números naturales es un conjunto.
Principio de inducción - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca del principio de inducción, este principio nos permitirá demostrar propiedades que cumple los números naturales. Será de gran importancia pues emplearemos este teorema como método de demostración en el conjunto de los naturales.
Teorema de recursión - [Detalles]
En esta entrada veremos el concepto de calculo de longitud, así como la motivación y prueba del teorema de recursión, el cual nos ayudara a definir la suma en el conjunto de los numeros naturales.
Conjuntos numerables - [Detalles]
En esa entrada seguiremos trabajando con conjuntos infinitos, en especial aquellos que tienen la misma cantidad de elementos que los numeros naturales .
Aritmética cardinal - [Detalles]
En esta sección definiremos operaciones aritméticas entre números cardinales y analizaremos algunas de sus propiedades.
Buenos órdenes para cualquier conjunto - [Detalles]
En esta entrada veremos mas equivalencias del axioma de elección, en particular veremos el teorema del buen orden.
Ejercicio Polinomios de grado par - [Detalles]
En este video, abordaremos paso a paso el razonamiento detrás de por qué todo polinomio de grado par alcanza su máximo en el conjunto de los números reales.
Expresiones algebraicas - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, nos adentraremos en las expresiones algebraicas, donde las letras reemplazan a los números para expresar ideas matemáticas de forma general. Aprenderemos a utilizar este lenguaje simbólico para traducir enunciados del mundo real a ecuaciones y resolver problemas de una manera más eficiente. Dentro del capitulo veremos temas como: jerarquía de operaciones, monomios y polinomios, términos semejantes, solución de ecuaciones de primer grado, etc.
Bosques y árboles - [Detalles]
Definimos y exploramos los conceptos de bosque, árbol y hoja. Demostramos que todo árbol de orden n tiene n-1 aristas.
Teoría de Gráficas - Cuestionario 1 - [Detalles]
Antes de contestar este cuestionario se recomienda ver los videos 1, 2 y 3 del curso. Los conceptos que requieres saber son: ¿Qué es una gráfica? ¿Qué significa que dos gráficas sean isomorfas? Orden y Tamaño de una gráfica. Algunas familias especiales: gráfica completa K_n; ciclo C_n; trayectoria P_n; estrella S_n. Conceptos no totalmente formales: Gráfica conexa, árboles, gráficas planares. La gráfica complemento. La gráfica complemento de una gráfica dada. Operaciones: union disjunta; suma de Zykov; quitar un vértice o una arista. Subgráficas, subgráficas inducidas, y subgráficas generadoras.
Órdenes parciales y totales - [Detalles]
En esta entrada revisamos los conceptos de orden parcial, total. Así como elementos maximales, minimales, máximos y mínimos.
Principio de inducción en los números naturales - [Detalles]
Introducción En esta entrada vamos a hablar de el principio de inducción que se deriva del quinto axioma de Peano. Veremos cómo es que nos ayudará a un nuevo tipo de demostraciones, lo que significa en términos simples y algunos ejemplos de su uso. El efecto dominó Pensemos un poco en cómo funciona la inducción […]
Principio de recursión en los números naturales - [Detalles]
En esta entrada revisamos las funciones recursivas, su definición y ejemplos.
Suma y producto de naturales y sus propiedades - [Detalles]
En esta entrada vemos la definición de suma y multiplicación en términos de los números naturales así como algunas propiedades.
Breviario de Lógica y Conjuntos - [Detalles]
En este video se comentan algunos aspectos de lógica y conjuntos, que serán de uso muy frecuente en el curso. En especial se comenta sobre los conectivos lógicos y los conjuntos solución de proposiciones sobre números reales.
En este video, se explica un poco sobre el origen y finalidad de los axiomas de los números reales, se presentan los axiomas de campo y se deducen algunas consecuencias de estos.
Principio Arquimediano - Análisis Matemático I - [Detalles]
El Principio Arquimediano. En este video se eununcia y demuestra el Principio Arquimediano, como consecuencia del Axioma del Supremo. Se define la parte entera de un real y se demuestra que los números racionales son densos en los reales.
Funciones, Parte 2 - [Detalles]
En este video se discute exhaustivamente la naturaleza de la raíz cuadrada positiva de números reales no negativos, como función. El énfasis principal es mostrar que todo número real positivo tiene una raíz cuadrada positiva, haciendo uso del axioma del supremo.
Continuidad de funciones de números reales - [Detalles]
En este video examinaremos la definición de continuidad puntual y veremos que muchas funciones que conocemos son continuas en muchos puntos. Daremos también la definición de continuidad en un conjunto y veremos que gracias a los teoremas que conocemos sobre el álgebra de límites, la suma, resta, multiplicación, división y composición de funciones continuas es continua.
En este video platicamos sobre algunos tipos de discontinuidades de funciones de números reales.
Ejemplos: determinar el dominio de una función - [Detalles]
En este video hacemos un par de ejemplos en los que se determina el dominio de una función, es decir, el dominio máximo de números reales, que es posible para una regla de correspondencia dada.
Limites de sucesiones - [Detalles]
En este video se motiva la definición de límite de una sucesión de números reales, y se ejemplifica con la sucesión 1/n.
COMAL: Cálculo Diferencial e Integral I - [Detalles]
Este curso de Cálculo Diferencial e Integral I introduce desde motivaciones históricas hasta temas de números reales, funciones, límites, derivadas, sucesiones y algo de series. Con actividades prácticas, videos explicativos y ejercicios, se espera que quienes usen este material conozcan con suficiente profundidad los temas propuestos y desarrollen habilidades de demostración. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.
COMAL: Teoría de los Conjuntos - [Detalles]
En este curso en notas tipo blog, comenzamos con una introducción a los axiomas de ZFC y sus consecuencias. A partir de ahí, definimos relaciones, funciones y órdenes. Definimos a los números naturales desde la perspectiva de conjuntos inductivos. Exploramos la definición de equipotencia y finitud, hablando un poco de aritmética cardinal. Terminamos discutiendo el axioma de elección, sus equivalencias y consecuencias. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.
Implementación con bits, Enteros con signo - [Detalles]
Enteros con signo – Representación de datos numéricos; los números negativos en la computadora.
Complejidad, notación asintótica - [Detalles]
Notación asintótica - Definición y características de la notación asintótica así como categorías de orden.
Correctez en programas recursivos, Correctez de un algoritmo recursivo - [Detalles]
Correctez de un algoritmo recursivo - Cómo realizar el análisis de correctez mediante inducción matemática siguiendo el principio del buen orden.
Funciones de orden superior, Pasar una función como parámetro - [Detalles]
Pasar una función como parámetro - Implementar una interfaz funcional para pasar la función a parámetro. Introducción a las clases anónimas internas y a las LAMBDA
Funciones de orden superior, Regresar una función como resultado - [Detalles]
Regresar una función como resultado - Aplicar métodos para obtener funciones como resultado. Anidar funciones.
Funciones de orden superior, Aplicación para listar directorios con java nio - [Detalles]
Aplicación para listar directorios con java nio - Cómo usar la API de JAVA-nio para listar directorios
Hilos. Sincronización, Vitalidad - [Detalles]
Vitalidad - Cómo crear varios hilos y obtener orden de ejecución.