Diapositivas sobre cardinalidad y conjuntos - [Detalles]
Proporcionamos la definición de lo que es la cardinalidad y de lo que es la quivalencia de 2 conjuntos finitos, se anotan una serie de ejemplos respecto a conjuntos finitos equivalentes, también se demuestran una serie de propiedades del tema de cardinalidad en conjuntos finitos.
Nota 20. Principio del producto, funciones entre conjuntos finitos. - [Detalles]
En esta nota vemos el principio del producto, el cual nos dice que la cardinalidad de el producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de sus cardinalidades, también vemos que si tenemos una función entre conjuntos finitos de la misma cardinalidad son equivalentes ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva.
Conjuntos finitos (parte II) - [Detalles]
En esta entrada daremos continuación al tema de conjuntos finitos. Probaremos más resultados que se satisfacen para los conjuntos finitos y veremos cuál es la cardinalidad del conjunto potencia dada un conjunto finito.
Cardinalidad - conjuntos finitos - [Detalles]
Usando lo visto anteriormente, usando la cardinalidad, damos la definición de un conjunto finito o infinito. Hablamos de varios teoremas relacionados a los conjuntos finitos.
Nota 19. Conjuntos equipotentes y cardinalidad - [Detalles]
En esta nota hablamos de la cardinalidad de un conjunto, es decir, su tamaño o número de elementos que contiene, vemos como el tamaño de dos conjuntos se puede comparar mediante funciones. Por último probamos el principio de la suma, el cual nos dice la cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos y ajenos, con este resultado veremos en general la cardinalidad de la unión de dos conjuntos finitos.
Conjuntos finitos - [Detalles]
En esta sección veremos a los conjuntos finitos, los cuales podremos contar según el número natural al que sean equipotentes. Además, veremos resultados acerca de la cardinalidad de la unión de dos conjuntos.
Álgebra Moderna I: Subgrupos - [Detalles]
La proxima estructura que nos interesa estudiar es la de la subcoleccion H de un grupo G, por tanto necesitamos conocer que necesita H para que sea un grupo en si mismo. Así mismo, hay que estudiar propiedades que heredan estas subcolecciones y las caracterizaciones. Por ultimo siempre es bueno revisar que pasa cuando son finitos.
Demostrando propiedades de subgrupos - [Detalles]
Se presentan algunas propiedades que cumplen los subgrupos de un grupo: todo grupo es subgrupo de sí mismo, el unitario del neutro es subgrupo, todo subgrupo es un grupo.
Grupos - "Construyendo subgrupos" - [Detalles]
Se construyen algunos subgrupos usando resultados y teoremas vistos en videos anteriores.
Grupos cíclicos - parte 1 - [Detalles]
Se da la definición de grupo cíclico y se exploran algunas de sus propiedades, se demuestra que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos y que hay subgrupos para cada divisor del orden de un grupo cíclico.
Kerneles y subgrupos normales - [Detalles]
Se define el kernel de un homomorfismo y se define el concepto de subgrupo normal, se muestra que en grupos abelianos todos los subgrupos son normales.
Subgrupos conjugados y normalizadores - [Detalles]
Se define la relación de conjugación entre subgrupos de un grupo y se definen los normalizadores.
Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante. - [Detalles]
Es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. En esta entrada, nos centraremos en demostrar formalmente este resultado y otros teoremas mas que sumen a las propiedades de subgrupos normales y el grupo alternante.
Guía de estudio sobre funciones y cardinalidad - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los funciones, relaciones, conjuntos infinitos, conjuntos finitos y cardinalidad de conjuntos. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
El tamaño de $N$ y de cada natural - [Detalles]
Caracterizamos a los conjuntos finitos e infinitos y demostramos que el conjunto de los números naturales es el infinito más pequeño.
Grupos cíclicos - parte 2 - [Detalles]
Se dan más propiedades de los grupos cíclicos y su relación con la función phi de Euler, se da una caracterización de los grupos cíclicos finitos.
Álgebra Moderna I: Caracterización de grupos cíclicos - [Detalles]
En los grupos cíclicos, existe un subgrupo único para cada divisor del orden del grupo. Este concepto será el enfoque inicial de esta explicación. Posteriormente, emplearemos un resultado de la teoría de números, utilizando la teoría de grupos para describir los grupos cíclicos de manera más detallada. Esta descripción, junto con sus implicaciones en los campos finitos, se basa en los materiales de los libros de Rotman y también se encuentra en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, que se mencionan en la bibliografía.
Cardinalidad de conjuntos finitos - [Detalles]
Introducción ¿Qué es lo que entiendes cuando alguien te dice: «En esta canasta hay cinco manzanas»? Probablemente te llegue a la mente una imagen similar a la siguiente: Y es que para nosotros es muy natural el decir «cuántas» cosas hay dentro de un conjunto. De hecho los primeros usos que dieron lugar al nacimiento […]
Lemas previos al teorema fundamental de los grupos abelianos finitos - [Detalles]
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Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos - [Detalles]
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Mini-cuestionario: Cardinalidad de conjuntos finitos e infinitos - [Detalles]
Correspondiente a la Unidad II "Relaciones y funciones" del curso de Algebra Superior I, este cuestionario está diseñado para que el alumno entienda las diferencias de la cardinalidad numerable y no numerable en conjuntos.
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Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por X - [Detalles]
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Subgrupos normalmente generados - [Detalles]
En este video terminamos nuestro pequeño detour por la teoría de grupos. Definiremos el subgrupo normalmente generado por un subconjunto de un grupo G.
El teorema de clasificación de cubrientes - parte 3 - [Detalles]
En este video demostramos finalmente el teorema de clasificación de cubrientes. Es decir, establecemos una biyección entre el conjunto de subgrupos del grupo fundamental y clases de isomorfismo de cubrientes.
Qué es un subgrupo - [Detalles]
Se da la definición y ejemplos de subgrupos.
Grupos - "Subgrupos" - [Detalles]
Se recuerda la definición de subgrupo y se presentan algunos ejemplos.
Subgrupos cíclicos - Definición y ejemplos - [Detalles]
Se define el concepto de grupo cíclico y se muestran ejemplos.
Subgrupos cíclicos generados - [Detalles]
Se repasa el concepto de subgrupo cíclico generado por un elemento y se presentan ejemplos.
Subgrupo generado por un subconjunto - parte 1 - [Detalles]
Se define el concepto de subgrupo generado por un subconjunto de un grupo partiendo de que la intersección de subgrupos es un subgrupo.
Conjugación y conjugados - [Detalles]
Se define la relación de conjugación entre elementos de un grupo, y también la conjugación entre subgrupos.
Producto directo de grupos - parte 3 - [Detalles]
Se demuestra que el producto de subgrupos normales es subgrupo normal del producto y que el cociente es isomorfo a un producto de cocientes.
Grupos simétricos (2) - [Detalles]
Continúa el estudio de la estructura cíclica de permutaciones, se demuestra que los subgrupos normales de Sn son precisamente aquellos que "cerrados" bajo estructura cíclica.
Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]
Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.
Consecuencias de los teoremas de Sylow - [Detalles]
Se presentan algunas aplicaciones y consecuencias de los teoremas de Sylow que involucran a los p-subgrupos de Sylow.
Álgebra Moderna I: Teoremas sobre subgrupos y Subgrupo generado por X - [Detalles]
El primer teorema a probar dentro de la sección es el de si todo subgrupo de un cíclico, es cíclico también. Posterior a este resultado se busca encontrar al menor subgrupo que contiene a cualquier subconjunto X.
Álgebra Moderna I: Grupo Cociente - [Detalles]
La definición de subgrupos normales surgió de la necesidad de extender las propiedades de los enteros a grupos más generales. En los enteros, definimos una relación de equivalencia (módulo n) que nos permite obtener clases de equivalencia. Estas clases no solo generan una partición, sino que también constituyen un subgrupo de Z. La idea central es generalizar este concepto: buscamos definir una operación en ciertas clases de equivalencia para que también formen un grupo.
Mini-cuestionario: Ejemplos de subgrupos - [Detalles]
Preguntas para repasar las propiedades necesarias para ser subgrupo.
Mini-cuestionario: Grupos y subgrupos - [Detalles]
Preguntas para repasar la definición de subgrupo y su relación con otros conceptos.
Mini-cuestionario: Subgrupos cíclicos - [Detalles]
Preguntas para repasar la definición de subgrupo cíclico y trabajar ejemplos.
Mini-cuestionario: Subgrupos cíclicos y orden - [Detalles]
Preguntas para repasar el concepto de subgrupo cíclico y su relación con el orden de un elemento.
Mini-cuestionario: Ejemplos de subgrupos generados - [Detalles]
Preguntas para trabajar la definición de subgrupo generado por un subconjunto, calculando ejemplos.
Mini-cuestionario: Grupos cíclicos - [Detalles]
Preguntas para repasar las propiedades de los grupos cíclicos y sus subgrupos.
Evaluación: Grupos - [Detalles]
Evaluación para repasar todos los conceptos aprendidos en la unidad de grupos: definición, grupos abelianos, grupos cíclicos, orden, homomorfismos, isomorfismos, subgrupos, subgrupo generado, clases laterales y el teorema de Lagrange.
Mini-cuestionario: Kerneles y subgrupos normales - [Detalles]
Preguntas para repasar los conceptos de kernel y subgrupo normal, y sus propiedades.
Evaluación: Los teoremas de isomorfismo - [Detalles]
Evaluación para repasar todos los conceptos aprendidos en la unidad de teoremas de isomorfismo: kerneles, subgrupos normales, grupo cociente, los teoremas de isomorfismo, teorema de la correspondencia, producto directo de grupos.