Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Damos la definición de una ecuación lineal y damos ejemplos de cuales no son ecuaciones lineales. Definimos un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones lineales. Finalmente se da la definición y un ejemplo de solución al sistema de ecuaciones lineales.
Operaciones elementales renglón - [Detalles]
Se definen sistemas de ecuaciones lineales equivalentes, y se da un teorema que demuestra que aplicar operaciones elementales a un sistema, resulta en un sistema equivalente. Finalmente explicamos como al usar operaciones elementales se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales.
Diapositivas sobre la forma escalonada y el proceso Gauss-Jordan - [Detalles]
Hablamos sobre lo que es una matriz escalonada y se muestra el procedimiento de reducción de Gauss-Jordan y sobre cómo este proceso repercute para encontrar la solución a un sistema de ecuaciones lineal y sobre de el mostramos el análisis cualitativo del sistema de ecuaciones si tiene solución o si es incosistente, de esa forma también damos la definición de un sistema homogéneo.
La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones - [Detalles]
Explicamos y definimos una matriz de tamaño NxM (arreglos rectangulares de números). Damos la representación matricial de un sistema lineal, la cual es una matriz conformada por los coeficientes del sistema (matriz de coeficientes). Definimos la matriz aumentada y explicamos como usarla para resolver sistemas lineales.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 1) - [Detalles]
Probamos el principio de superposición de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además, demostramos que el conjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo forma un espacio vectorial con la suma y producto por escalar usuales de matrices.
Diapositivas sobre sistemas de ecuaciones lineales, sus soluciones y su matriz de coeficientes - [Detalles]
Comenzamos el tema con la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineal,; hablamos un poco sobre las soluciones de estos sistemas, su geometría e interpretación analítica y cualitativa. Damos un repaso al tema de matrices, recordeando las operaciones elementales, las operaciones renglón y asociamos en una matriz los coeficientes del sistema de ecuaciones lineal.
Solución general al sistema lineal no homogéneo. - [Detalles]
Enunciamos y probamos un teorema que nos dice cómo encontrar la solución general a un sistema lineal no homogéneo con la ayuda del sistema homogéneo asociado.
Bases numéricas, Sistema binario y sus potencias - [Detalles]
Sistema binario y sus potencias – Qué es el sistema binario y sus derivados.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Campo vectorial asociado - [Detalles]
Asociamos un campo vectorial a un sistema de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, y analizamos su relación con las curvas del plano fase del sistema.
Analisis cualitativo de sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Discutimos una serie de observaciones con las cuales podemos describir un sistema lineal sin resolverlo directamente. También se demuestra que un sistema lineal tiene una única solución, infinitas soluciones, o ninguna solución.
Propiedades del conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones de primer orden lineales (Parte 2) - [Detalles]
Definimos el Wronskiano de un subconjunto de soluciones a un sistema lineal homogéneo. Además definimos cuándo este subconjunto de soluciones es linealmente dependiente o independiente. Finalmente demostramos un teorema que relaciona estos dos conceptos.
Las nulclinas y el plano fase - [Detalles]
Definimos las nulclinas de un sistema de ecuaciones de primer orden, y estudiamos los aspectos más importantes que nos ayudarán a esbozar el plano fase de un sistema.
El péndulo con fricción - [Detalles]
Revisamos el sistema de ecuaciones que modela el movimiento de un péndulo con fricción y estudiamos las diferencias que existen con el péndulo simple. Además esbozamos el plano fase del el sistema.
Sistemas de $2 imes 2$ y su geometría - [Detalles]
Se da una representación geométrica para las ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales de 2x2. También se explica la representación geométrica de las soluciones para un sistema de ecuaciones lineales de 2x2.
La solución de un sistema con matriz en forma escalonada reducida - [Detalles]
Describimos la solución para un sistema con matriz en forma escalonada reducida. Discutimos los diferentes casos donde se tiene o no solución a los sistemas en forma escalonada.
Proceso de reducción de Gauss-Jordan - [Detalles]
Se describe el proceso de reducción de Gauss-Jordan, el cual consiste en usar operaciones elementales para dar la forma escalonada reducida de la matriz aumentada de un sistema lineal y dar la solución al sistema usando su forma escalonada reducida.
Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]
Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Matriz no diagonalizable - [Detalles]
Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios repetidos y NO es diagonalizable. Definimos a los vectores propios generalizados de una matriz, desarrollamos un algoritmo mediante el cual encontramos n soluciones linealmente independientes al sistema, y por tanto la solución general.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Método de eliminación de variables - [Detalles]
Resolvemos el sistema lineal (homogéneo y no homogéneo) de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes en su forma general por el método de eliminación de variables.
Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. El plano fase - [Detalles]
Comenzamos la última unidad del curso estudiando la geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, definiendo el plano fase y analizando un par de ejemplos.
Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio - [Detalles]
Comenzamos el estudio cualitativo a los sistemas de dos ecuaciones no lineales. Linealizamos el sistema en sus puntos de equilibrio y estudiamos el comportamiento de las soluciones cerca de estos.
Ecuaciones diofantinas - [Detalles]
Definimos lo que son las ecuaciones diofantinas que son aquellas ecuaciones con soluciones enteras, asimismo profundizamos en saber que características toman este tipo de ecuaciones para logras saber si tienen solución entera o no.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann - [Detalles]
En las entradas anteriores vimos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos deducido las ecuaciones de C-R y hemos visto que dichas condiciones nos permiten caracterizar por completo la diferenciabilidad en el sentido complejo. En esta entrada abordaremos algunos resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones ya mencionadas.
Cuestionario de ecuaciones y problemas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 5 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: problemas que dan lugar a ecuaciones, solución de ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, etc.
El oscilador armónico simple - [Detalles]
Mediante un sistema de ecuaciones resolvemos la ecuación del oscilador armónico simple.
El plano traza - determinante - [Detalles]
Clasificamos los planos fase y puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, según la traza y el determinante de la matriz asociada al sistema.
Sistemas de ecuaciones no lineales. Linealización de puntos de equilibrio (Ejemplos) - [Detalles]
Analizamos el plano fase de un par sistemas no lineales, después de linealizar el sistema cerca de los puntos de equilibrio.
Propiedades cualitativas de las trayectorias - [Detalles]
Se desarrollan las principales propiedades cualitativas de las trayectorias en el plano fase de un sistema de ecuaciones diferenciales
El péndulo simple - [Detalles]
Obtenemos una ecuación de segundo orden que modela el movimiento de un péndulo. Posteriormente estudiamos el sistema de ecuaciones asociado y su plano fase.
Mapeo de Poincaré - [Detalles]
Hablamos un poco acerca del mapeo de primer retorno de Poincaré y relacionamos las secciones locales en un punto con las órbitas cerradas de un sistema de ecuaciones.
Vemos como trasladar los ejes de nuestro sistema de coordenadas cartesiano en el plano. Damos una relación entre el eje coordenado original y el trasladado. Usando esta relación damos las ecuaciones de las secciones cónica: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola, con el centro trasladado.
Rotación De Ejes Y Figuras - [Detalles]
Vemos como rotar los ejes de nuestro sistema de coordenadas cartesiano en el plano. Damos una relación entre el eje coordenado original y el rotado. Usando esta relación damos las ecuaciones de las secciones cónicas: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.
1. Introducción a los números complejos - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan problemas que motivan la necesidad del sistema de números complejos, en particular los problemas de solucionar ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.
Ecuaciones lineales y congruencias - primeros ejemplos - [Detalles]
Repasamos brevemente que es una ecuación lineal y definimos las ecuaciones lineales modulo "m" de una variable. Vemos cuales son los posibles valores que pueden solucionar nuestra ecuación lineal y algunos ejemplos de cuáles serían las soluciones a algunas ecuaciones lineales.
Ecuaciones no lineales de primer orden separables - [Detalles]
Comenzamos el estudio a las ecuaciones no lineales considerando el caso de las ecuaciones separables
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 2) - [Detalles]
Hablamos un poco del problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden, así como del Teorema de existencia y unicidad correspondiente, tanto en una versión general como en su versión para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Ecuaciones diferenciales autónomas - [Detalles]
Estudio de las propiedades gráficas de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden en las que no aparece explícitamente la variable independiente, mejor conocidas como ecuaciones autónomas
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y el teorema de existencia y unicidad - [Detalles]
Continuación con el estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no homogéneas y presentación del teorema de existencia y unicidad para este tipo de ecuaciones diferenciales
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Seguimos con las ecuaciones de Cauchy-Riemann y ahora vemos mas propiedades acerca de las funciones que satisfacen estas ecuaciones.
Ecuaciones y problemas - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos, aprenderemos a resolver ecuaciones de primer grado y sistemas de ecuaciones con dos o más variables. Veremos diferentes métodos de resolución, como sustitución y suma-resta.
Forma escalonada reducida - [Detalles]
Definimos que una matriz esté en forma escalonada reducida. Vemos cómo resolver su sistema lineal asociado. Hablamos de operaciones y matrices elementales.
Reducción gaussiana en sistemas lineales $AX=b$ - [Detalles]
Aplicamos el algoritmo de reducción gaussiana en sistemas lineales de la forma AX=b para llevarlos a un sistema más sencillo y con las mismas soluciones.
La exponencial de una matriz y la matriz fundamental de soluciones - [Detalles]
Relacionamos la exponencial de una matriz A de coeficientes constantes con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo que tiene a A como matriz asociada.
Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]
Encontramos la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes en términos de los valores y vectores propios de la matriz asociada A, si esta es diagonalizable.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos - [Detalles]
Analizamos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios complejos. Encontramos dos soluciones reales dada una solución compleja formada con un valor y un vector propios complejos.
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos y diagonalizable - [Detalles]
Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema homogéneo con coeficientes constantes es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Además resolvemos un par de ejemplos.
Método de variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular al sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes.
Plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos - [Detalles]
Analizamos el plano fase para sistemas lineales con valores propios repetidos, dependiendo si la matriz asociada al sistema es diagonalizable o no.
Exponencial de una matriz y matriz fundamental de soluciones - [Detalles]
Se define el concepto de exponencial de una matriz y se ve su utilidad en los sistema lineales además de probar que es una matriz fundamental de soluciones a estos sistemas lineales
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios distintos - [Detalles]
Se estudia el primer caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema lineal son todos reales y distintos
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios complejos - [Detalles]
Se continua con el segundo caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son complejos
Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios repetidos - [Detalles]
Se finaliza el método de valores y vectores propios con el caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son algunos repetidos y se presenta el teorema de Cayley-Hamilton
Sistemas gradiente - [Detalles]
Estudiamos a los sistemas gradiente y sus principales propiedades. Además encontramos funciones de Lyapunov para puntos de equilibrio que sean mínimos locales estrictos de la función G que define al sistema.
Mini-cuestionario: Forma escalonada reducida - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la noción de que una matriz esté en forma escalonada reducida, y cómo se relaciona con la solución del sistema asociado.
Cuestionario de coordenadas polares - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema del sistema de coordenadas polares y como se grafica sobre este nuevo plano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar
Cuestionario sobre funciones en el plano polar - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema del sistema de coordenadas polares, las funciones que se pueden generar en el plano polar y las diferencias de las perspectiva del plano polar al cartesiano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Sistemas de coordenadas en el espacio. Cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas - [Detalles]
Damos una pequeña presentación de los tres principales sistemas de coordenadas tridimensionales: Cartesianas, esféricas y cilíndricas. Igualmente hablamos sobre las ventajas de cada sistema de coordenadas.
2. El campo de los números complejos $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan formalmente al sistema de números complejos como un campo, introduciendo las operaciones de suma y producto, así como la conjugación.
Sistemas de ecuaciones lineales y sistemas homogéneos asociados - [Detalles]
Definimos sistemas de ecuaciones lineales y homogéneos. Vemos que se pueden expresar en términos matriciales. Probamos el principio de superposición.
Problemas de sistemas de ecuaciones y forma escalonada reducida - [Detalles]
Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones lineales consistentes y equivalentes. Ejemplos de matrices en forma escalonada reducida.
Problemas de ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos - [Detalles]
Resolvemos problemas de ortogonalidad relacionados con encontrar bases para el espacio ortogonal y definir subespacios mediante ecuaciones e hiperplanos.
Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer - [Detalles]
Aplicamos teoría de determinantes en sistemas de ecuaciones. Calculamos el rango a partir de subdeterminantes. Vemos la regla de Cramer y ejemplos.
Ecuación diofántica lineal en dos variables - [Detalles]
Definimos la ecuación Diofánticas, como ecuaciones algebraicas para las cuales que buscan soluciones enteras. Nos concentramos en las ecuaciones de la forma "a*x+b*y=n", con a,b,n enteros. Mostramos cuando la ecuación tiene solución entera y cuantas soluciones tiene.
Resolviendo un problemacon ecuaciones diofánticas - [Detalles]
Resolvemos un problema donde podemos hacer uso de las ecuaciones diofánticas para dar la solución al problema. Describimos como abstraer el problema a una ecuación diofántica, y usando lo anteriormente visto, damos la solución.
Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias: motivación y ejemplos (Parte 1) - [Detalles]
Revisamos un par de ejemplos sencillos donde las ecuaciones diferenciales hacen su aparición, motivando su estudio.
Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias: motivación y ejemplos (Parte 2) - [Detalles]
Revisamos un par de ejemplos sencillos donde las ecuaciones diferenciales hacen su aparición, motivando su estudio.
Definiciones elementales: Problema de condición inicial, ecuaciones lineales y no lineales - [Detalles]
Definimos el problema de condición inicial (o valor inicial) y a las ecuaciones lineales y no lineales.
Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden: ejemplos - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones lineales homogéneas de primer orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos dos ecuaciones por el método de variación de parámetros, una de ellas la resolvimos por el método de factor integrante en un video anterior, esto para comprobar que los dos métodos llevan a la misma solución.
Teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales de primer orden - [Detalles]
Demostramos el Teorema de existencia y unicidad en su versión para ecuaciones lineales de primer orden
Ecuaciones no lineales de primer orden separables (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales por el método de variables separables
Ecuaciones diferenciales exactas - [Detalles]
Comenzamos el estudio de las ecuaciones exactas, y demostramos un teorema que nos dice cuándo una ecuación es exacta y tiene solución
Ecuaciones diferenciales exactas (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ejemplos de ecuaciones exactas
Ecuaciones diferenciales no exactas. Método del factor integrante (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales no exactas por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Propiedades de las soluciones - [Detalles]
Estudiamos a las ecuaciones homogéneas de segundo orden y el comportamiento de las soluciones
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Independencia lineal de soluciones - [Detalles]
Terminamos el estudio de las soluciones a ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, con el concepto de dependencia e independencia lineal de soluciones. Estudiamos la relación entre este nuevo concepto con los de conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones de segundo orden por el método de variación de parámetros.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 1) - [Detalles]
Damos las primeras definiciones acerca de sistemas de ecuaciones de primer orden y mostramos dos ejemplos de problemas donde los sistemas aparecen.
Introducción a las ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Introducción general a las ecuaciones diferenciales ordinarias
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden - [Detalles]
Estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no homogéneas
Ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden, métodos de resolución - [Detalles]
Estudio de métodos para resolver ecuaciones diferenciales NO lineales de primer orden
Ecuaciones diferenciales exactas - [Detalles]
Desarrollo del método de resolución de las ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales de orden superior - [Detalles]
Introducción general a las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior
Soluciones a ecuaciones diferenciales de orden superior - [Detalles]
Estudio de las propiedades de las soluciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes - [Detalles]
Se estudia un método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes de acuerdo al valor del discriminante de la ecuación auxiliar
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados - [Detalles]
Al estudiar el caso no homogeneo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta un primer método que propone soluciones en forma de series similares a la función g
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de variación de parámetros - [Detalles]
Se hace una generalización del método de variación de parámetros para resolver de manera general ecuaciones diferenciales no homogéneas de segundo orden
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios - [Detalles]
Se hace un breve repaso de series de potencias para posteriormente desarrollar un método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos ordinarios
Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares - [Detalles]
Se describe el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos singulares
Ecuaciones del Hermite, Laguerre y Legendre - [Detalles]
Se aplican los métodos anteriores para resolver tres de seis ecuaciones diferenciales especiales
Ecuaciones de Bessel, Chebyshev e Hipergeométrica - [Detalles]
Se continua con la resolución de tres ecuaciones diferenciales especiales más
Introducción al teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Enunciamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden y damos los primeros detalles para la demostración de dicho teorema.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de existencia - [Detalles]
Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de unicidad - [Detalles]
Demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Definimos los puntos de equilibrio para sistemas de ecuaciones de primer orden, y revisamos algunos ejemplos.
Estabilidad de puntos de equilibrio para sistemas de ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Revisamos los conceptos de puntos de equilibrio estables, asintóticamente estables e inestables para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Sistemas de ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Se presenta una introducción a los sistemas de ecauciones diferenciales compuestos por varias ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden - [Detalles]
Se hace un generalización de la teoría preliminar vista en el teorema de existencia y unicidad de Picar-Lindelöf y se demuestra el teorema de existencia y unicidad para el caso general, es decir, para sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden tanto lineales como no lineales
Introducción a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Para comenzar con la unidad se presenta un ejemplo ilustrativo que permite ganar intuición sobre el desarrollo geométrico y cualitativo de los sistemas de ecuaciones diferenciales
Introducción a las bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden - [Detalles]
Damos una breve introducción a las bifurcaciones en sistemas de dos ecuaciones de primer orden.
Mini-cuestionario: Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las definiciones relacionadas con sistemas de ecuaciones lineales
Mini-cuestionario: Sistemas de ecuaciones lineales no homogéneos - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo usar el procedimiento de reducción gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones no homogéneos
Guía de estudio sobre sistemas de ecuaciones lineales, matrices y determinantes - [Detalles]
Se deja una lista de ejercicios respecto a los temas de matrices y solución a sistemas de ecuaciones lineales. El objetivo de esta lista es que el alumno proporcione ejemplo así como hacer demostraciones para su práctica y así refuerzen su estudio, conocimiento y habilidad en estos temas.
Cuestionario sobre sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales - [Detalles]
Se deja un cuestionario electrónico para que el alumno refuerce sus conocimientos en cuanto a matrices (operaciones y determinantes) y para solucionar sistemas de ecuaciones. Al realizarlo arroja una calificación evaluando su desempeño, así mostrando en que áreas necesitaría volver a repasar y seguir estudiando.
Diapositivas sobre ecuaciones de la recta en el plano - [Detalles]
Damos inicio a un nuevo tema que será de utilidad para toda la carrera que es el tema de ecuaciones de rectas como la paramétrica, la general, la de punto pendiente, entre otras.
Cuestionario sobre ecuaciones de la recta en el plano - [Detalles]
Ponemos en práctica las primeras definiciones sobre el tema de las ecuaciones de la recta en el plano cartesiano, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Cuestionario sobre ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]
Ponemos en práctica esta extensión respecto a las ecuaciones de las rectas en R^n, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Diapositivas sobre ecuaciones de planos en el espacio - [Detalles]
Anlizamos los planos que se pueden generar en R^3 (espacio euclídeo) y cómo se pueden identificar mediante asignándoles su ecuación a cada uno, hacer una ecuación en plano comparte características con las ecuaciones de la recta sólo que con una dimensión más, es decir, ambos tienen ecuación general y ecuación paramétrica, para los planos va a ser encesario conocer 3 puntos para poder dar su ecuación (mientras que en la recta sólo requeriamos 2).
Cuestionario sobre ecuaciones de planos en el espacio - [Detalles]
Ponemos en práctica el tema de los planos en el espacio euclídeo y las ecuaciones de estos tanto de manera paramétrica, cuando conocemos 3 pu tos que forman parte del plano. Al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Diapositivas sobre las ecuaciones canónicas de las cónicas - [Detalles]
Dadas las definiciones anteriores de las cónicas vistas como ligares geométricos y con sus respectivos elementos es posible crear una fórmula llamada cacócia para cada una de estas figuras, en con ayuda de estas ecuaciones canónicas es más fácil el poder observar las diferencias entre una y otra, es decir, se nos facilita la tarea de distinguir distintas canónicas.
Cuestionario sobre las ecuaciones canónicas de las cónicas - [Detalles]
Ponemos en práctica las ecuaciones canónicas para cada una de nuestra cónicas mediante ejercicios muy simples que tratan sobre identificar dada la ecuación de qué tipo de cónica se trata o se trataría, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Mini-cuestionario: Ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo la ortogonalidad está relacionada con los sistemas de ecuaciones y con los hiperplanos en espacios vectoriales.
Mini-cuestionario: Determinantes en sistemas de ecuaciones lineales y regla de Cramer - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo los determinantes ayudan a resolver sistemas de ecuaciones.
Problemas de ecuaciones en congruencias y teorema chino del residuo - [Detalles]
Resolvemos una serie de ejercicios de ecuaciones lineales de congruencias.
Ecuaciones cuadráticas complejas - [Detalles]
Damos un primer acercamiento al teorema fundamental del álgebra y como repercute este en el campo de los complejos, también mostramos una manera de resolver ecuaciones cuadráticas en el campo complejo que no tienen solución en el campo de los reales, también mostramos que la fórmula general es aplicable sobre C.
Sistemas de ecuaciones lineales complejos - [Detalles]
Motivamos el estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales pero ahora con números complejos, nuestra inspiración fueron algunos métodos que ya conocemos por el estudio en los reales tales como el determinante, substitución o igualando coeficientes.
Problemas de sistemas de ecuaciones complejos y forma polar - [Detalles]
Resolvemos una serie de problemas de sistemas de ecuaciones lineales con números complejos, asi también enunciamos la relga de Kramer para la resolución de estos problemas.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Veamos una primera entrada de las ecuaciones C-R.
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Ahora chequemos más propiedades de las ecuaciones C-R.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann - [Detalles]
Repasaremos un par de propiedades que se derivan de las ecuaciones de C-R.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
En esta entrada conoceremos lo que son las ecuaciones de Cauchy-Riemann y su utilidad para estudiar la analicidad en funciones de variable compleja.
Expresiones algebraicas - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, nos adentraremos en las expresiones algebraicas, donde las letras reemplazan a los números para expresar ideas matemáticas de forma general. Aprenderemos a utilizar este lenguaje simbólico para traducir enunciados del mundo real a ecuaciones y resolver problemas de una manera más eficiente. Dentro del capitulo veremos temas como: jerarquía de operaciones, monomios y polinomios, términos semejantes, solución de ecuaciones de primer grado, etc.
Ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos abordaremos conceptos clave de geometría analítica, como lugares geométricos y ecuaciones. Exploraremos la forma general de la ecuación de la línea recta y su expresión en la forma pendiente-ordenada al origen. También analizaremos la relación entre la inclinación y la pendiente de una recta, así como las propiedades de rectas paralelas y perpendiculares.
Ecuaciones de las cónicas - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos exploraremos cuatro figuras importantes en este modulo: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, cada una con su propia identidad matemática. Estas ecuaciones son clave para comprender y modelar fenómenos diversos, enriqueciendo nuestra percepción del mundo.
Cuestionario de ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 11 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: lugares geométricos y sus ecuaciones, punto-pendiente de una recta, forma general de la ecuación de la línea recta, etc.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Repasamos sistemas de ecuaciones lineales, matrices elementales y matrices equivalentes por filas. Los relacionamos con matrices invertibles.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Hablamos de sistemas de ecuaciones lineales y qué quiere decir resolverlos. Vemos su forma matricial y una aplicación a sistemas de 2x2.
Problemas de sistemas de ecuaciones e inversas de matrices - [Detalles]
Resolvemos cuatro problemas usando el método de reducción gaussiana. Dos de ellos son de resolver sistemas lineales y dos de encontrar inversas de matrices.
Ortogonalidad, ecuaciones e hiperplanos - [Detalles]
Definimos hiperplanos en espacios vectoriales arbitrarios. Vemos que en espacios de dimensión finita todo subespacio es intersección de hiperplanos.
Problemas de determinantes y ecuaciones lineales - [Detalles]
None
Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones - [Detalles]
Esbozamos las soluciones a una ecuación de primer orden de la forma dy/dt=f(y), la cual denominamos ecuación autónoma, mediante el uso de sus soluciones de equilibrio y la línea fase asociada a la ecuación.
Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de primer orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal no homogénea de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial lineal no homogénea por el método de variación de parámetros.
Ecuaciones diferenciales no exactas. Método del factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el problema que surge cuando una ecuación no cumple con la definición de ser exacta.
Introducción a las bifurcaciones. Valor de bifurcación - [Detalles]
Definimos una familia uniparamétrica de ecuaciones diferenciales autónomas y mediante un ejemplo revisamos el concepto de valor de bifurcación
Introducción a las bifurcaciones. Diagrama de bifurcaciones - [Detalles]
Dibujamos un diagrama que contiene la información de todas las soluciones a una familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas, así como los valores de bifurcación, y la naturaleza de las soluciones de equilibrio
Introducción a las bifurcaciones. Determinación de los valores de bifurcación - [Detalles]
Determinamos los valores de bifurcación con ayuda de las gráficas y las primeras derivadas de las funciones que determinan a la familia uniparamétrica de ecuaciones autónomas
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano - [Detalles]
Definimos al conjunto fundamental de soluciones de una ecuación, y al Wronskiano de dos soluciones. Vemos la relación que guardan estos dos conceptos, y demostramos algunas propiedades que cumplen estos.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales distintas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son reales y distintas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces repetidas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son repetidas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces complejas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son complejas.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden y sus soluciones - [Detalles]
Demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para resolver una ecuación lineal no homogénea de segundo orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 1) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes indeterminados, y revisamos el caso cuando g(t) es un polinomio de grado n. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 2) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función exponencial. Finalizamos el video con un ejemplo.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 3) - [Detalles]
Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función coseno o seno.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Comenzamos la revisión de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables, y mostramos la existencia de una solución con desarrollo en serie de potencias alrededor de un punto ordinario.
Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables por series de potencias.
Método de la transformada de Laplace - [Detalles]
Resolvemos el problema de condición inicial de manera general para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes por el método de la transformada de Laplace.
Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Eliminación de variables (Ejemplos) - [Detalles]
Empleamos el método de eliminación de variables que desarrollamos en el video anterior para resolver un par de ejemplos de sistemas lineales con coeficientes constantes.
Soluciones a las ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Estudio de las propiedades generales de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria
Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos - [Detalles]
Estudio de problemas reales donde las ecuación diferenciales son el modelo matemático que describe y resuleve al problema
Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada - [Detalles]
Estudio de las propiedades gráficas de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati - [Detalles]
Se presentan las ecuaciones diferenciales de Bernoulli y de Riccati y se desarrolla el método de resolución de cada una de ellas
Teorema de Existencia y Unicidad - Ecuación Integral, Funciones Lipschitzianas y Lema de Gronwall - [Detalles]
Se desarrolla una teoría preliminar necesaria para demostrar el teorema de existencia y unicidad, en dicha teoría se presentan las ecuaciones integrales, las funciones lipschitzianas y el lema de Gronwall
Demostración del Teorema de Existencia y Unicidad de Picard-Lindelof - [Detalles]
Presentación de la demostración del teorema de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales de primer orden
Método de reducción de orden - [Detalles]
Presentación de un primer método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Soluciones a sistemas de ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Se estudian las propiedades de las soluciones a los sistemas lineales tanto homogéneos como no homogéneos
Método de eliminación de variables - [Detalles]
Se presenta un primer método sencillo para resolver sistemas lineales compuestos de pocas ecuaciones diferenciales lineales de primer orden tanto homogéneas como no homogéneas
Sistemas lineales no homogéneos – Método de variación de parámetros - [Detalles]
Se presenta una generalización del método de variación de parámetros para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneas con coeficientes constantes
Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales - [Detalles]
Se demuestra el teorema de existencia y unicidad para los casos particulares en los que los sistemas de ecuaciones diferenciales son lineales con coeficientes constantes tanto homogéneos como no homogéneos
Sistemas autónomos, puntos de equilibrio y su estabilidad - [Detalles]
Se presentan formalmente los conceptos básicos sobre la teoría cualitativa de los sistemas de ecuaciones diferenciales
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios reales y distintos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son reales y distintos
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios complejos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son complejos
Teoría cualitativa de los sistemas lineales homogéneos – Valores propios repetidos - [Detalles]
Se desarrolla la teoría cualitativa de los sistemas compuestos por dos ecuaciones diferenciales lineales de pimer orden en el caso en el que los valores propios son repetidos
El plano Traza-Determinante - [Detalles]
Toda la teoría desarrollada sobre los sistemas lineales de dos ecuaciones diferenciales de primer orden se resume en el conocido plano Traza-Determinante
Las nulclinas y el plano fase (Ejemplos) - [Detalles]
Mediante el método de las nulclinas esbozamos el plano fase de un par de sistemas de ecuaciones no lineales.
Funciones de Lyapunov - [Detalles]
Definimos las funciones de Lyapunov y estudiamos algunas propiedades útiles respecto a sistemas de ecuaciones y sus puntos de equilibrio.
Bifurcaciones en sistemas lineales (Ejemplos) - [Detalles]
Estudiamos algunas familias uniparamétricas de sistemas de ecuaciones de primer orden lineales.
Mini-cuestionario: Matrices invertibles mediante sistemas de ecuaciones - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo usar el procedimiento de reducción gaussiana para encontrar la inversa de una matriz
Diapositivas sobre soluciones a sistemas de ecuaciones - [Detalles]
En estas diapositivas mostramos más ejemplos sobre cómo proceder para encontrar el conjunto de solución, desde pasar a una matriz a su forma escalonada reducida, si este conjunto es vacío o no.
Diapositivas sobre ecuaciones de la recta en $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]
Dando continuidad al tema anterior de las rectas pero ahora hacemos ahora la generalización de este tipo de rectas en más dimensiones (R^n). Vemos la recta paramétrica y como encontrar esta recta si conocemos dos puntos pertenecientes a ella. Las diapositivas se encuentran acompañadas de ejemplos.
Diapositivas sobre ecuaciones de rectas en el espacio - [Detalles]
Incentivamos el estudio de las relaciones que existen entre diferentes tipos de rectas como las rectas paralelas, las que se intersectan en un punto y en las que se intersectan en más de un punto (un segmento). Tratamos también un término muy concurrido que es el tema de distancias, hablamos de distancia entre un punto a una recta y la distancia entre dos rectas, ambos temas desarrollados en el espacio euclídeo.
Cuestionario sobre ecuaciones de rectas en el espacio - [Detalles]
Ponemos en práctica las relaciones que hay entre dos rectas (paralelas, intersección en uno o más puntos) y además el cálculo de las distancia de un punto a una recta, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Diapositivas sobre discriminante y excentricidad - [Detalles]
Como hemos estado estudiando en todo este tiempo y un objetivo central dentro de nuestro estudio es saber identificar a las cónicas con ver sus ecuaciones. Ahora presentamos 2 criterios los cuales de una manera analítica nos facilitarán resolver esta tarea: por discriminante es necesario que la ecuación esté en su forma general y también por excentricidad que e sun cociente entre 2 distancias.
Ecuaciones de la recta - [Detalles]
Vemos las diferentes formas de representar la ecuación de la recta. Las formas de la ecuación de la recta que vemos son: Punto pendiente, ecuación segmentaria o canónica, ecuación general y paramétrica. También mencionamos algunas partes importantes de la ecuación de la recta, como la pendiente y la ordenada al origen.
Ejemplo distancia entre dos rectas - [Detalles]
Dadas dos rectas descritas por sus respectivas ecuaciones de la resta, calculamos como ejemplo la distancia entre estas dos rectas. Usamos la formula anteriormente deducida.
Ecuaciones del plano - [Detalles]
Vemos la ecuación para un plano en el espacio tridimensional, vemos la forma de la ecuación paramétrica y de la ecuación general del plano. También vemos como dar la ecuación del plano a partir de tres puntos que pasen por el plano y como obtener el vector normal al plano.
COMAL: Ecuaciones Diferenciales Notas - [Detalles]
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.
COMAL: Ecuaciones Diferenciales Videos - [Detalles]
Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE104522.
Proyecto: Caminata por el jardín y sistemas lineales en el cubo - [Detalles]
En este proyecto estudiamos los sistemas de ecuaciones lineales en el cubo unitario de altas dimensiones para resolver un problema de geometría discreta.
Ecuaciones en congruencias - [Detalles]
Demostramos una serie de resultados que nos ayudan a saber si una ecuación de congruencias tiene solución única o si al menos tiene solución.
Teorema chino del residuo - [Detalles]
Motivamos la resolución de sistemas lineales de ecuaciones de congruencias y saber si se tienen solución, esto con ayuda del teorema chino del residuo el cual enunciamos y demostramos.
Problemas de norma de complejos y ecuaciones de segundo grado - [Detalles]
Resolvemos ejercicios de la norma en el campo de los complejos también resolvemos problemas de raíces cuadráticas complejas y raíces complejas.
Ejemplos de solución de ecuaciones de grados 3, 4 y más - [Detalles]
Resolvemos ejercicios en los cuales se pide que encontremos las raíces de un polinomio de grado 3 con el método de Cradano, de grado 4 con el método de Ferrari y de grados mayores.
6. Lugares geométricos en $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Aplicando nuestros conocimientos de geometría analítica, analizaremos como se describen los lugares geométricos tales como rectas, circunferencias, elipses, etc. pero ahora dando unas nuevas ecuaciones en los complejos.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Examen - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Cuestionario de ecuaciones de cónicas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 12 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: circunferencia, parábola, elipse, con sus respectivas propiedades cada una, etc.
Valor absoluto y más sobre el orden de los reales - [Detalles]
En este video definiremos la función valor absoluto, reconoceremos algunas de sus propiedades y veremos cómo son los conjuntos solución de ecuaciones y desigualdades que la involucran. Veremos también cómo se comporta el orden de los reales con operaciones como elevar al cuadrado y tomar recíprocos.