Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante. - [Detalles]
Es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. En esta entrada, nos centraremos en demostrar formalmente este resultado y otros teoremas mas que sumen a las propiedades de subgrupos normales y el grupo alternante.
Diapositivas sobre ecuaciones de planos en el espacio - [Detalles]
Anlizamos los planos que se pueden generar en R^3 (espacio euclídeo) y cómo se pueden identificar mediante asignándoles su ecuación a cada uno, hacer una ecuación en plano comparte características con las ecuaciones de la recta sólo que con una dimensión más, es decir, ambos tienen ecuación general y ecuación paramétrica, para los planos va a ser encesario conocer 3 puntos para poder dar su ecuación (mientras que en la recta sólo requeriamos 2).
Ecuaciones de la recta - [Detalles]
Vemos las diferentes formas de representar la ecuación de la recta. Las formas de la ecuación de la recta que vemos son: Punto pendiente, ecuación segmentaria o canónica, ecuación general y paramétrica. También mencionamos algunas partes importantes de la ecuación de la recta, como la pendiente y la ordenada al origen.
Soluciones de una ecuación cuadrática - [Detalles]
Hablamos sobre las posibles soluciones de una ecuación cuadrática (damos un breve recordatorio sobre la formula general o más popularmente conocida como "chicharronera"). Vemos gráficamente cuando una ecuación cuadrática tiene dos, una o ninguna solución real. Definimos el discriminante y haciendo uso de el vemos cuando la ecuación cuadrática tiene una o dos soluciones reales, o cuando su solución es compleja.
Definiciones elementales: Ecuación diferencial ordinaria, solución, y orden de una ecuación - [Detalles]
Definimos una ecuación diferencial ordinaria, solución y el orden de una ecuación.
Ecuación de Bessel (Parte 1) - [Detalles]
Hallamos la ecuación indicial para la ecuación de Bessel de orden lambda alrededor del punto singular regular t=0. Posteriormente encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden cero.
Ecuaciones del plano - [Detalles]
Vemos la ecuación para un plano en el espacio tridimensional, vemos la forma de la ecuación paramétrica y de la ecuación general del plano. También vemos como dar la ecuación del plano a partir de tres puntos que pasen por el plano y como obtener el vector normal al plano.
Ecuación diofántica lineal en dos variables - [Detalles]
Definimos la ecuación Diofánticas, como ecuaciones algebraicas para las cuales que buscan soluciones enteras. Nos concentramos en las ecuaciones de la forma "a*x+b*y=n", con a,b,n enteros. Mostramos cuando la ecuación tiene solución entera y cuantas soluciones tiene.
Cuando tiene solucion una congruencia lineal - [Detalles]
Vemos un ejemplo de una ecuación lineal modulo 4 que no puede tener soluciones enteras (mostramos que si tuviera solución llegamos a una contradicción), esto nos lleva a dar una proposición para saber cuándo una ecuación lineal tiene una solución y una segunda proposición, con la cual podemos saber cuándo una ecuación lineal tiene o no solución.
Cuantas soluciones tiene una congruencia lineal - [Detalles]
Usando un ejemplo vemos cuantas soluciones llega a tener una ecuación lineal modulo "m", esto nos lleva a buscar un método para conocer el número de soluciones de una ecuación lineal. Haciendo uso de un teorema que demostramos durante el video, llegamos a un corolario el cual nos dice que una ecuación lineal modulo "m", tiene MCD(a,m) soluciones.
Ecuaciones autónomas, soluciones de equilibrio, línea fase y esbozo de soluciones - [Detalles]
Esbozamos las soluciones a una ecuación de primer orden de la forma dy/dt=f(y), la cual denominamos ecuación autónoma, mediante el uso de sus soluciones de equilibrio y la línea fase asociada a la ecuación.
Ecuación diferencial de Bernoulli - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial de Bernoulli mediante un cambio de variable que hace lineal a la ecuación
Ecuación diferencial de Riccati - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial de Riccati mediante un cambio de variable que hace lineal a la ecuación
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden y sus soluciones - [Detalles]
Demostramos que la solución general a una ecuación lineal no homogénea de segundo orden puede verse como la suma de la solución general a la ecuación homogénea asociada y una solución particular a la ecuación no homogénea denotada.
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 1) - [Detalles]
Damos las consideraciones generales que utilizaremos a lo largo del tema, definimos la ecuación indicial de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables, y desarrollamos el método de Frobenius para el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero
Ecuación de Legendre - [Detalles]
Resolvemos la ecuación de Legendre alrededor del punto ordinario t=0, y hacemos mención de la relación que guarda esta ecuación con los polinomios que llevan el mismo nombre.
Ecuación hipergeométrica - [Detalles]
Encontramos la ecuación indicial asociada a la ecuación hipergeométrica de manera general, y después encontramos una solución particular al caso cuando γ=1/2.
Ecuación de Cauchy-Euler - [Detalles]
Se aplican los resultados obtenidos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables conocida como ecuación de Cauchy-Euler
Ecuacion de la recta en $\mathbb{R}^n$ - [Detalles]
Definimos la ecuación de la recta en el espacio tridimensional R^3 (lo que podemos generalizar para R^n). Vemos la forma paramétrica y también vemos que podemos escribir la ecuación de la recta conociendo dos puntos que pasen por ella.
Ejercicios ecuación del plano - [Detalles]
Hacemos ejercicios para obtener la ecuación de un plano. A partir de un punto en el plano y su vector normal, damos la ecuación paramétrica y general del plano.
Ecuación de la circunferencia - [Detalles]
Damos una ecuación para la circunferencia a base de su definición como lugar geométrico. Vemos como a partir de sus componentes, centro y su radio, podemos conocer la ecuación de la circunferencia.
Ecuación de la la Elipse - [Detalles]
Damos una ecuación para la elipse a base de su definición como lugar geométrico. Vemos como a partir de sus focos y otros componentes podemos dar la ecuación de la elipse.
Ecuación De La Parábola - [Detalles]
Damos una ecuación para la parábola a base de su definición como lugar geométrico. Vemos a partir de su foco y directriz, podemos dar la ecuación de la parábola.
Ecuación de la hipérbola - [Detalles]
Damos una ecuación para la hipérbola a base de su definición como lugar geométrico, con centro en el origen y focos en el eje x. Vemos como a partir de su foco, directriz y otros componentes, podemos dar la ecuación de la parábola.
Discriminante De Cónicas - [Detalles]
Retomamos la ecuación general de las cónicas (la cual es una ecuación de segundo grado de dos variables). Definimos el Discriminante para las cónicas, el cual nos ayuda a saber el tipo de cónica que representa una ecuación general para las cónicas.
Particiones, relaciones y clases de equivalencia - [Detalles]
Definimos un tipo especial de relación entre conjuntos, la Relación de equivalencia, y cuáles son las 3 propiedades que debe cumplir, también hablamos de la clase de equivalencia y la partición de una relación de equivalencia
Ejemplo de clase de equivalencia y partición - [Detalles]
Continuamos con el ejemplo anterior sobre las relaciones de equivalencia, damos las clases de equivalencia y la particione de la relación de equivalencia con elementos del plano cartesiano.
Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]
Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler.
Diapostivas sobre relaciones de equivalencia - [Detalles]
Partimos de una definición de las diapositivas anteriores y de las definiicones de relaciones reflexivas, simétricas y transitivas, la relación que cumpla con estas 3 se llama una relación de equivalencia y de esta nueva definición se desprende las definiciones de clase de equivalencia y particiones, estas ideas se ilustran con más ejemplos.
Construcción de los enteros y su suma - [Detalles]
Construimos el conjunto de los números enteros a partir de los números naturales, definimos a un número entero como una clase de equivalencia, definimos su operación suma y su inverso; también demostramos algunas propiedades básicas de la operación suma en los enteros.
Clases laterales - definición y ejemplos - [Detalles]
Se da la definición de clase lateral y se presentan ejemplos.
Nota 13. Relación de equivalencia. - [Detalles]
En esta nota introducimos el concepto de relación de equivalencia, un tipo de relación muy útil que cumple tres propiedades: reflexividad, simetría y transitividad. También vemos el concepto de clase de equivalencia el cual deriva de este tipo de relación.
Área de Figuras Irregulares - [Detalles]
En este video (basado en el libro de Tom Apostol) se comenta un ejemplo elocuente del cálculo del área de cierta figura geométrica irregular, considerando aproximaciones por defecto y por exceso. Este video será exhibido y comentado en la clase del lunes 20 de septiembre de 2021.
Implementación con orientación a objetos, Interfaz ILista (agregar I a Lista) - [Detalles]
Interfaz ILista (agregar I a Lista) - Principio del encapsulamiento al aplicar la interfaz ILista. Implementar la clase Nodos. Programar listas simplemente ligadas.
Implementación con orientación a objetos, Agregar al final - [Detalles]
Agregar al final - Cómo usar la clase listasimple para agregar objetos al final de las listas.
Implementación con orientación a objetos, Insertar en cualquier posición - [Detalles]
Insertar en cualquier posición - Qué clase usar para insertar en cualquier posición dependiendo del caso.
Cuáles son todas las soluciones enteras de una ecuación diofántica - [Detalles]
Demostramos que todas las soluciones de una ecuación lineal Diofántica tienen una forma en particular (expresada en términos de una solución particular y del MCD). Por lo que basta con conocer una solución particular para dar todas las posibles soluciones.
Ejemplos de cómo resolver una ecuación diofántica - [Detalles]
Vemos un método para encontrar una solución particular de la ecuación diofántica lineal. En el método hacemos uso del Máximo común divisor y a partir de la solución encontrada podemos generar todas las demás soluciones utilizando las fórmulas del segundo teorema del tema actual.
Ecuaciones lineales y congruencias - primeros ejemplos - [Detalles]
Repasamos brevemente que es una ecuación lineal y definimos las ecuaciones lineales modulo "m" de una variable. Vemos cuales son los posibles valores que pueden solucionar nuestra ecuación lineal y algunos ejemplos de cuáles serían las soluciones a algunas ecuaciones lineales.
Campo de pendientes asociado a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos cómo asociar un campo de pendientes a una ecuación de la forma dy/dt=f(t,y(t)) mediante varios ejemplos sencillos.
Curvas integrales y soluciones a una ecuación diferencial de primer orden - [Detalles]
Revisamos la relación existente entre las curvas integrales del campo asociado a la ecuación de primer orden dy/dt=f(t,y) y sus soluciones.
Teorema de existencia y unicidad. Ecuación integral asociada - [Detalles]
Damos los primeros detalles para la demostración del Teorema de existencia y unicidad de Picard. Encontramos una manera equivalente de resolver un problema de condición inicial, que es resolviendo una ecuación integral asociada.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales distintas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son reales y distintas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces repetidas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son repetidas.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces complejas - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son complejas.
Ecuación diferencial de Euler - [Detalles]
Resolvemos de manera general la ecuación diferencial de Euler para cualquier intervalo que no contenga al punto singular t=0
Ecuación diferencial de Euler (Ejemplo) - [Detalles]
Resolvemos una ecuación diferencial de Euler en particular
Ecuación de Hermite - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial de Hermite alrededor del punto ordinario t=0
Ecuación de Laguerre - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación diferencial de Laguerre cerca del punto singular regular t=0.
Ecuación de Bessel (Parte 2) - [Detalles]
Encontramos una solución a la ecuación de Bessel de orden uno.
Ecuación de Chebyshev - [Detalles]
Encontramos la solución general a la ecuación de Chebyshev alrededor del punto ordinario t=0.
Ecuación de Bernoulli y ecuación de Riccati - [Detalles]
Se presentan las ecuaciones diferenciales de Bernoulli y de Riccati y se desarrolla el método de resolución de cada una de ellas
Guía de estudio sobre cónicas - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este cuarto y último módulo de estudios que es todo lo relacionado a cónicas; ecuación general, ecuación canónica, excentricidad, traslación y rotación de ejes, simetría y parametrización. Hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Ejemplo diferentes formas de la ecuación de la recta - [Detalles]
En este ejemplo vemos como a partir de la ecuación de la recta en forma de punto pendiente, podemos transformarla a las demás formas. Es decir, dada una misma recta, vemos como representarla en sus demás formas.
Damos una introducción a las secciones cónicas, las cuales son lugares geométricos descritos por la circunferencia, elipse, parábola, hipérbola. También mencionamos algunos elementos importantes como la generatriz, vértice y el eje. Damos la ecuación que define a las secciones cónicas y como diferenciarlas a partir de su ecuación general.
Ejercicios para identificar y graficar cónicas - [Detalles]
Usamos la ecuación general de las cónicas para identificar el tipo de sección cónica dada una ecuación. Vemos algunos ejemplos y obtenemos sus elementos.
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Damos la definición de una ecuación lineal y damos ejemplos de cuales no son ecuaciones lineales. Definimos un sistema de ecuaciones lineales como un conjunto de ecuaciones lineales. Finalmente se da la definición y un ejemplo de solución al sistema de ecuaciones lineales.
Resolviendo un problemacon ecuaciones diofánticas - [Detalles]
Resolvemos un problema donde podemos hacer uso de las ecuaciones diofánticas para dar la solución al problema. Describimos como abstraer el problema a una ecuación diofántica, y usando lo anteriormente visto, damos la solución.
Curvas integrales asociadas a un campo de pendientes - [Detalles]
Definimos las curvas integrales del campo de pendientes asociado a nuestra ecuación diferencial dy/dt=f(t,y).
Método de las isoclinas - [Detalles]
Presentamos el método de las isoclinas para encontrar las soluciones de la ecuación dy/dt=f(t,y) mediante las curvas de nivel de la función f.
Clasificación de soluciones de equilibrio - [Detalles]
Clasificamos a las soluciones de equilibrio de la ecuación autónoma dy/dt=f(y) en tres tipos: atractores, repulsores y nodos.
Ecuaciones lineales homogéneas de primer orden - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de primer orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el caso general de una ecuación lineal no homogénea de primer orden, por el método de factor integrante.
Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Resolvemos la ecuación diferencial lineal no homogénea por el método de variación de parámetros.
Ecuaciones diferenciales exactas - [Detalles]
Comenzamos el estudio de las ecuaciones exactas, y demostramos un teorema que nos dice cuándo una ecuación es exacta y tiene solución
Ecuaciones diferenciales no exactas. Método del factor integrante - [Detalles]
Resolvemos el problema que surge cuando una ecuación no cumple con la definición de ser exacta.
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden. Conjunto fundamental de soluciones y el Wronskiano - [Detalles]
Definimos al conjunto fundamental de soluciones de una ecuación, y al Wronskiano de dos soluciones. Vemos la relación que guardan estos dos conceptos, y demostramos algunas propiedades que cumplen estos.
Método de reducción de orden - [Detalles]
Dada una solución a una ecuación lineal homogénea de segundo orden, podemos encontrar una segunda solución linealmente independiente a la primera, mediante el método de reducción de orden.
Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Solución por variación de parámetros - [Detalles]
Desarrollamos el método de variación de parámetros para resolver una ecuación lineal no homogénea de segundo orden.
Radio de convergencia de series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]
Calculamos el radio de convergencia para una solución por serie de potencias cerca de un punto ordinario para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 2) - [Detalles]
Continuamos desarrollando el método de Frobenius. En esta ocasión revisamos el caso cuando la ecuación indicial tiene raíces repetidas
Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 3) - [Detalles]
Finalizamos el estudio al método de Frobenius revisando el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces que difieren por un entero
Método de la transformada de Laplace. Problemas que involucran funciones continuas por pedazos - [Detalles]
Aplicamos el método de la transformada de Laplace para resolver problemas de condición inicial cuya ecuación diferencial involucra funciones continuas por pedazos, y resolvemos un ejemplo particular.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 3) - [Detalles]
Escribimos a los sistemas en forma de matrices. Además transformamos una ecuación de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales.
El oscilador armónico simple - [Detalles]
Mediante un sistema de ecuaciones resolvemos la ecuación del oscilador armónico simple.
Soluciones a las ecuaciones diferenciales - [Detalles]
Estudio de las propiedades generales de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria
Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos - [Detalles]
Estudio de problemas reales donde las ecuación diferenciales son el modelo matemático que describe y resuleve al problema
Campos de pendientes y su ecuación diferencial asociada - [Detalles]
Estudio de las propiedades gráficas de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden
Teorema de Existencia y Unicidad - Ecuación Integral, Funciones Lipschitzianas y Lema de Gronwall - [Detalles]
Se desarrolla una teoría preliminar necesaria para demostrar el teorema de existencia y unicidad, en dicha teoría se presentan las ecuaciones integrales, las funciones lipschitzianas y el lema de Gronwall
Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes - [Detalles]
Se estudia un método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes de acuerdo al valor del discriminante de la ecuación auxiliar
El péndulo simple - [Detalles]
Obtenemos una ecuación de segundo orden que modela el movimiento de un péndulo. Posteriormente estudiamos el sistema de ecuaciones asociado y su plano fase.
Diapositivas sobre cónicas - [Detalles]
Damos inicio a un nuevo tema que es el tema de las cónicas, estas surgen a partir de cortar un cono en diferentes ángulos, las cónicas son: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, damos los elementos que distinguen una de la otra tanto en su forma geométrica pero también con su ecuación general es posible diferenciarlas.
Cuestionario sobre cónicas - [Detalles]
Ponemos en práctica las primeras definiciones que tenemos de cónicas y evaluar si el alumno aprendió a diferenciarlas viendo su ecuación general, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Cuestionario sobre las ecuaciones canónicas de las cónicas - [Detalles]
Ponemos en práctica las ecuaciones canónicas para cada una de nuestra cónicas mediante ejercicios muy simples que tratan sobre identificar dada la ecuación de qué tipo de cónica se trata o se trataría, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Actividad Geogebra circunferencia - [Detalles]
Mostramos con ayuda del programa geogebra como al cambiar los parámetros de los elementos básicos que consitutyen a la circunferencia, vemos como la ecuación de esta cónica cambia si movemos el centro de posición o al cambiar su radio.
Actividad Geogebra elipse - [Detalles]
Mostramos con ayuda del programa geogebra como al cambiar los parámetros de los elementos básicos que consitutyen a la elipse; al mover la posición de los focos cambia la figura de la elpse así como su ecuación canónica, además que nos muestra la propiedad que cumplen los puntos que pertenecen con la propiedad de pertenecer a la elipse.
Actividad Geogebra parábola - [Detalles]
Mostramos con ayuda del programa geogebra como al cambiar los parámetros de los elementos básicos que consitutyen a la parábola, nos muestra como la parábola cambia al mover la recta directriz o el foco también como se modifica su ecuación, además de mostrarnos visualmente (y algebraicamente) que los puntos que forman a la parábola son efectivamente equidistantes de la directriz y del foco.
Actividad Geogebra hipérbola - [Detalles]
Mostramos con ayuda del programa geogebra como al cambiar los parámetros de los elementos básicos que consitutyen a la hipérbola, nos muestra como al cambiar de posición alguno de sus focos, asimismo nos muestra como cambia su ecuación y nos muestra de forma visual como éstos cumplen con la propiedad de la hipérbola.
Cuestionario sobre rotación de ejes - [Detalles]
Ponemos en práctica las rotaciones que se les pueden hacer a las figuras cónicas y como esta rotación repercute en su ecuación, al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Diapositivas sobre discriminante y excentricidad - [Detalles]
Como hemos estado estudiando en todo este tiempo y un objetivo central dentro de nuestro estudio es saber identificar a las cónicas con ver sus ecuaciones. Ahora presentamos 2 criterios los cuales de una manera analítica nos facilitarán resolver esta tarea: por discriminante es necesario que la ecuación esté en su forma general y también por excentricidad que e sun cociente entre 2 distancias.
Ejemplo 4 subespacio vectorial - [Detalles]
Vemos un ejemplo donde se muestra un subconjunto de un espacio vectorial (una recta, descrita por su ecuación de recta), NO es un subespacio vectorial.
Definimos los semiplanos, los cuales son regiones del plano cartesiano delimitados por una recta. Vemos su representación geométrica y como representarlos por desigualdad relacionada a la ecuación de la recta.
Damos una breve definición de los semiespacio, los cuales son regiones del espacio separadas por un plano. Los semiespacios están caracterizados por una desigualdad relacionada a la ecuación del plano que los separa.
Ecuaciones en congruencias - [Detalles]
Demostramos una serie de resultados que nos ayudan a saber si una ecuación de congruencias tiene solución única o si al menos tiene solución.
Ejercicio Inducción (Gauss) - [Detalles]
En este video, no sólo descubriremos la belleza detrás de esta ecuación que suma números consecutivos, sino que también nos embarcaremos en un viaje didáctico para demostrar su validez utilizando el principio de inducción matemática.
Ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos abordaremos conceptos clave de geometría analítica, como lugares geométricos y ecuaciones. Exploraremos la forma general de la ecuación de la línea recta y su expresión en la forma pendiente-ordenada al origen. También analizaremos la relación entre la inclinación y la pendiente de una recta, así como las propiedades de rectas paralelas y perpendiculares.
Cuestionario de ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 11 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: lugares geométricos y sus ecuaciones, punto-pendiente de una recta, forma general de la ecuación de la línea recta, etc.