Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz - [Detalles]
Definimos formas bilineales positivas y positivas definidas. Luego vemos qué es un producto interior y una norma. Probamos la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Mini-cuestionario: Producto interior y desigualdad de Cauchy-Schwarz - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de las nociones básicas de producto interior y de la desigualdad de Cauchy-Schwarz
Ejercicio Subsucesiones convergentes de sucesión de Cauchy - [Detalles]
¿Puede una sucesión de Cauchy garantizar la existencia de una subsucesión convergente? En este video, abordaremos este enigma matemático con meticulosidad y rigor, llevándote a través de una demostración exhaustiva que desentrañará este misterio. Utilizando definiciones precisas, argumentos lógicos y visualizaciones intuitivas, te guiaremos por el camino que une a las sucesiones de Cauchy con la convergencia.
Ángulos, norma, distancia y desigualdad de Minkowski - [Detalles]
Definimos varias nociones fundamentales de la geometría de espacios vectoriales: ángulos, norma y distancia. Probamos la desigualdad de Mikowski.
Valor absoluto. Desigualdad del triángulo - [Detalles]
Estudio del concepto valor absoluto y la desigualdad del triángulo con algunas de sus consecuencias.
Desigualdad del triángulo y lugar geométrico - [Detalles]
Mostramos la desigualdad del triángulo y su reciproco y que la bisectriz de un ángulo y la mediatriz de un segmento son lugares geométricos.
Ejemplo Desigualdad del Triángulo - [Detalles]
En este video, nos sumergimos en el corazón de una demostración que explora la relación entre $\vert xy - x_0y_0\vert$ y un valor $\varepsilon$ determinado, todo ello haciendo uso de la poderosa Desigualdad del Triángulo.
Ejercicio Desigualdad Medias - [Detalles]
En este video, desglosaremos y demostraremos la famosa desigualdad que relaciona estas dos medias, una herramienta esencial para muchos campos de las matemáticas y la ciencia.
Definimos el producto punto para el espacio vectorial R^n, igualmente damos un ejemplo del producto punto de dos vectores en R^2 y demostramos sus propiedades: Conmutatividad, Distributividad, Definido positivo y saca escalares. También mostramos la desigualdad de Cauchy y como mide el ángulo entre dos vectores.
La forma vectorial de la ley de cosenos - GeoGebra - [Detalles]
Interactivo en GeoGebra relacionados a los temas "Leyes de cosenos" y Producto punto". Utilizando la ley de cosenos, se expresa el coseno de un ángulo en términos de la norma y el producto punto, lo que permite demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
Sucesiones de Cauchy - [Detalles]
Definición y ejemplo de sucesiones de Cauchy y su relación con las sucesiones convergentes
Ecuación de Cauchy-Euler - [Detalles]
Se aplican los resultados obtenidos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables conocida como ecuación de Cauchy-Euler
Teorema de Cauchy - [Detalles]
Se define la noción de p-grupo y se demuestra el Teorema de Cauchy.
Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]
Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
En esta entrada conoceremos lo que son las ecuaciones de Cauchy-Riemann y su utilidad para estudiar la analicidad en funciones de variable compleja.
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Seguimos con las ecuaciones de Cauchy-Riemann y ahora vemos mas propiedades acerca de las funciones que satisfacen estas ecuaciones.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann - [Detalles]
En las entradas anteriores vimos las ecuaciones de Cauchy-Riemann, hemos deducido las ecuaciones de C-R y hemos visto que dichas condiciones nos permiten caracterizar por completo la diferenciabilidad en el sentido complejo. En esta entrada abordaremos algunos resultados que son consecuencia directa de las ecuaciones ya mencionadas.
36. Teorema integral de Cauchy - [Detalles]
El Teorema Integral de Cauchy es un teorema importantísimo en el estudio de la variable compleja, veremos sus diferentes versiones y demostraciones.
37. Consecuencias del teorema integral de Cauchy - [Detalles]
En esta entrada veremos unas cuantas consecuencias del Teorema Integral de Cauchy, tales como el Teorema de Liouville, el Teorema Fundamental del Álgebra, el Teorema de Morera y más.
38. Teorema integral de Cauchy versión homótopica (opcional) - [Detalles]
Dos de las nociones básicas de la topología son la de homotopía y homología. La versión local del teorema integral de Cauchy, enfatiza la topología del dominio y cómo el camino se encuentra dentro de él. Para mejorar nuestra comprensión de este hecho, examinamos estas cuestiones topológicas con más detalle.
37. Consecuencias del Teorema Integral de Cauchy - [Detalles]
Veamos unos ejercicios sencillos para asentar bases de los teoremas importantes que se siguen del Teorema Integral de Cauchy
38. Teorema Integral de Cauchy, versión homotópica. - [Detalles]
Repasaremos los conceptos de homología y homotopía y la reformulación del Teorema de Cauchy para estos aspectos.
Mini-cuestionario: Teorema de Cauchy - [Detalles]
Preguntas para repasar el concepto de $p$-grupo, el teorema de Cauchy y sus consecuencias.
Problemas de rango de transformaciones y matrices - [Detalles]
Resolvemos problemas de rango de matrices y transformaciones lineales usando sus propiedades, el teorema de rango nulidad y la desigualdad de Sylvester.
Desigualdades geométricas - [Detalles]
Mostraremos algunas desigualdades geométricas, entre ellas la desigualdad de Erdos Mordell y la desiuldad de Euler, también veremos ejemplos.
Definimos los semiplanos, los cuales son regiones del plano cartesiano delimitados por una recta. Vemos su representación geométrica y como representarlos por desigualdad relacionada a la ecuación de la recta.
Damos una breve definición de los semiespacio, los cuales son regiones del espacio separadas por un plano. Los semiespacios están caracterizados por una desigualdad relacionada a la ecuación del plano que los separa.
Mini-cuestionario: Ángulos, norma, distancia y desigualdad de Minkowski - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de varias nociones geométricas que salen a partir del producto interior.
La norma en los complejos - [Detalles]
Definimos la norma de los complejos y demostramos propiedades de la norma compleja también demostramos una propiedad muy importante tanto para los reales como para los complejos que es la propiedad de la desigualdad del triángulo tanto para la aprte real tanto para la métrica de la suma de 2 números complejos.
Ejercicio Desigualdad en los Reales - [Detalles]
En este video, nos lanzamos a la tarea de demostrar que la expresión $x^2 +xy + y^2$ siempre es positiva.
Ejercicio Estimación con Teorema del Valor Medio - [Detalles]
En este video, no solo desentrañaremos el significado y la intuición detrás del teorema del Valor Medio, sino que también lo utilizaremos como herramienta clave para demostrar una desigualdad intrigante.
Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada daremos un repaso de bases ortogonales y cómo encontrar estas bases, recordaremos conceptos como la descomposición de Fourier y la desigualdad de Bessel.
En este video se mencionan las propiedades de la diferencia en valor absoluto como una función que mide la distancia entre dos números reales, y se demuestra la desigualdad del triángulo en los números reales.
Problemas de desigualdades vectoriales - [Detalles]
Resolvemos problemas de desigualdades usando desigualdades vectoriales. Vemos aplicaciones de las desigualdades de Cauchy-Schwarz y de Minkowski.
Polinomios de Taylor (Parte 2) - [Detalles]
Estudio del residuo de los polinomios de Taylor, la forma de Lagrange y de Cauchy.
Esbozo de construcción de racionales y reales - [Detalles]
Mostramos un pequeño esbozo sobre la motivación y construcción de los números racionales (primeramente) con ayuda de los números enteros ya construidos, después ocupamos que el campo de los racionales no siempre tiene solución siendo esta la motivación para la construcción de los números reales a partir de sucesiones de Cauchy. Manejamos que son un esbozo pues la idea de construir Q es muy similar cuando construimos Z pero la contrucción de R se da con más claridad en cursos de cálculo y análisis matemático.
17. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones necesarias para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Veamos una primera entrada de las ecuaciones C-R.
18. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes para la diferenciabilidad compleja - [Detalles]
Ahora chequemos más propiedades de las ecuaciones C-R.
19. Consecuencias de las ecuaciones de Cauchy-Riemann - [Detalles]
Repasaremos un par de propiedades que se derivan de las ecuaciones de C-R.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Unidad II: Analicidad y funciones de variable compleja - Examen - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la segunda unidad tales como límites y continuidad de funciones de variable compleja, diferenciabilidad en el sentido complejo y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entre otras.
Unidad IV: Integración compleja - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la cuarta unidad tales como integral de funciones a lo largo de trayectorias, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville.
36. Teorema Integral de Cauchy - [Detalles]
Hagamos unos ejercicios que nos ayudarán a entender mejor uno de los teoremas más importantes del curso.
39. Teoremas de Weierstrass - [Detalles]
Repasemos conceptos importantes acerca de sucesiones de funciones que nos serán de utilidad para aplicar el Teorema Integral de Cauchy.
Teorema de Cauchy - [Detalles]
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Sucesiones de Cauchy - [Detalles]
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Una sucesión de Cauchy a partir de contracciones - [Detalles]
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Evaluación: Acciones de grupos y los teoremas de Sylow - [Detalles]
Evaluación para repasar todos los conceptos aprendidos en la unidad de acciones de grupos y la unidad de los teoremas de Sylow: conjugación, centro, centralizador, grupos simples, grupos simétricos, grupo alternante, acciones de grupos, lema de Burnside, teorema de Cauchy y teoremas de Sylow.