Triangularizar y descomposición de Schur - [Detalles]
En esta entrada estudiaremos el concepto de triangularizar matrices. Esto simplemente quiere decir encontrar una base respecto a la cual podamos escribir a nuestra matriz como una matriz triangular superior. Como veremos, el concepto de triangularización está íntimamente ligado con los ceros de polinomios.
Bases ortonormales y descomposición de Fourier - [Detalles]
Definimos la descomposición de Fourier dada una base ortonormal y vemos su relación con la norma. Aplicamos las ideas a polinomios y funciones periódicas.
Mini-cuestionario: Bases ortonormales y descomposición de Fourier - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de la descomposición de Fourier y sus aplicaciones.
El teorema de descomposición polar real - [Detalles]
En esta entrada veremos una de las consecuencias de el teorema espectral: el teorema de descomposición polar. Veremos que toda matriz $A$ tendrá una expresión de la forma $A = US$ donde $U$ es una matriz ortogonal y $S$ es una matriz simétrica positiva.
Problemas de bases ortogonales, Fourier y proceso de Gram-Schmidt - [Detalles]
Resolvemos varios problemas de bases ortogonales. Hablamos de proyecciones, la descomposición de Fourier y el proceso de Gram-Schmidt.
Divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética - [Detalles]
Usando el teorema fundamental de la aritmética vemos algunas propiedades sobre los exponentes de la descomposición en primos de un divisor y su dividendo. Esto también nos da otro método para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en términos de la factorización de primos.
Aplicaciones de bases ortogonales en espacios euclideanos - [Detalles]
En esta entrada daremos un repaso de bases ortogonales y cómo encontrar estas bases, recordaremos conceptos como la descomposición de Fourier y la desigualdad de Bessel.
El teorema espectral real - [Detalles]
En esta entrada enunciaremos y demostraremos el teorema espectral en el caso real. Una de las cosas que nos dice es que las matrices simétricas reales son diagonalizables. También nos garantiza que la manera en la que se diagonalizan es a través de una matriz ortogonal. Además, gracias al teorema espectral podremos, posteriormente, demostrar el famoso teorema de descomposición polar que nos dice cómo son todas las matrices.
El teorema espectral y de descomposición polar complejos - [Detalles]
En esta entrada veremos el análogo al teorema espectral real, pero para el caso complejo. En el caso real el resultado es para transformaciones o matrices simétricas. En el caso complejo eso no funcionará. Primero, tenemos que introducir a las transformaciones hermitianas, que serán las que sí tendrán un teorema espectral. Ya eligiendo la noción correcta, las demostraciones se parecen mucho a las del caso real, así que solamente las esbozaremos y en caso de ser necesario haremos aclaraciones pertinentes para la versión compleja.