Se definen las acciones de grupo y los G-conjuntos, se prueba que las acciones están en correspondencia biyectiva con los homomorfismos del grupo en el grupo simétrico, se muestran ejemplos, se definen las órbitas y los estabilizadores.
Lema de Burnside: demostración alternativa - [Detalles]
Se enuncia y demuestra el Lema de Burnside (una demostración alternativa de otra que se dio en otro video que no aparece en el sitio).
Lista de problemas: Acciones de grupos y los teoremas de Sylow - [Detalles]
Problemas para trabajar los conceptos vistos en la unidad de acciones de grupos y la unidad de teoremas de Sylow. Incluye sugerencias.
Examen: Acciones de grupos y los teoremas de Sylow - [Detalles]
Examen de la unidad de acciones de grupos y la unidad de teoremas de Sylow.
Solución al examen 4 - [Detalles]
Solución en vídeo del examen de la unidad de acciones de grupos y la unidad de teoremas de Sylow.
Se enuncia el lema de Burnside, y se hace una demostración contando los tamaños de las órbitas de una acción.
Mini-cuestionario: Conjugación como relación de equivalencia - [Detalles]
Preguntas para repasar las propiedades de la relación de equivalencia en un grupo dada por conjugación.
Mini-cuestionario: Centralizadores y clases de conjugación - [Detalles]
Preguntas para repasar los conceptos de centralizador y clase de conjugación, y sus propiedades.
Mini-cuestionario: $G$-conjuntos - [Detalles]
Preguntas para repasar los conceptos de acción de grupo, órbita y estabilizador.
Mini-cuestionario: Lema de Burnside - [Detalles]
Preguntas para repasar el lema de Burnside, por medio de su aplicación.
Evaluación: Acciones de grupos y los teoremas de Sylow - [Detalles]
Evaluación para repasar todos los conceptos aprendidos en la unidad de acciones de grupos y la unidad de los teoremas de Sylow: conjugación, centro, centralizador, grupos simples, grupos simétricos, grupo alternante, acciones de grupos, lema de Burnside, teorema de Cauchy y teoremas de Sylow.
Teorema de Cauchy - [Detalles]
Se define la noción de p-grupo y se demuestra el Teorema de Cauchy.
Consecuencias del teorema de Cauchy - [Detalles]
Se muestran algunas aplicaciones y consecuencias del teorema de Cauchy: ser p-grupo es equivalente a tener orden una potencia de p, todo p-grupo no trivial tiene centro no trivial, todo grupo de orden el cuadrado de un primo es abeliano, los subgrupos maximales de un p-grupo son normales y de índice p.
Los teoremas de Sylow - [Detalles]
Se enuncian y demuestran los teoremas de Sylow.
Consecuencias de los teoremas de Sylow - [Detalles]
Se presentan algunas aplicaciones y consecuencias de los teoremas de Sylow que involucran a los p-subgrupos de Sylow.
Mini-cuestionario: Teorema de Cauchy - [Detalles]
Preguntas para repasar el concepto de $p$-grupo, el teorema de Cauchy y sus consecuencias.
Mini-cuestionario: Los teoremas de Sylow - [Detalles]
Preguntas para repasar los teoremas de Sylow y su aplicación.
Producto directo de grupos - [Detalles]
Se da la definición del producto directo de grupos y se demuestran algunas propiedades.
Producto directo de grupos - parte 2 - [Detalles]
Se continúa el estudio del producto directo, se enuncia y demuestra el teorema de factorización.
Producto directo de grupos - parte 3 - [Detalles]
Se demuestra que el producto de subgrupos normales es subgrupo normal del producto y que el cociente es isomorfo a un producto de cocientes.