Homomorfismos de grupos - [Detalles]
Se da la definición y un par de ejemplos de homomorfismos de grupos.
Propiedades de los homomorfismos - [Detalles]
Se ven tres propiedades que cumplen todos los homomorfismos.
Isomorfismo. Definición y ejemplos - [Detalles]
Se da la definición y un par de ejemplos y no-ejemplos de isomorfismos de grupos.
Grupos - "Homomorfismos de grupos" - [Detalles]
Se recuerda la definición de homomorfismo de grupos y se presentan algunos ejemplos.
Álgebra Moderna I: Homomorfismo, Monomorfismo, Epimorfismo, Isomorfismo y Automorfismo - [Detalles]
En esta sección se analizara un tipo de correspondencia que se puede presentar entre dos grupos, lo cual nos llevara a definir el concepto de Homomorfismo. Por tanto, es necesario analizar sus propiedades y comportamientos bajo composición.
Álgebra Moderna I: Propiedades de los Homomorfismos - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en proporcionar algunas propiedades adicionales de los homomorfismos. Específicamente, examinaremos cómo los homomorfismos interactúan con las potencias de los elementos del grupo. Posteriormente, exploraremos la relación entre el orden de un elemento en el grupo original y el orden de su imagen bajo un homomorfismo.
Álgebra Moderna I: Núcleo e Imagen de un Homomorfismo - [Detalles]
En esta entrada, nos enfocaremos en dos conjuntos fundamentales relacionados con los homomorfismos. En primer lugar, consideramos la colección de todos los elementos del dominio que son transformados en el elemento neutro del codominio. A este conjunto lo denominamos el núcleo del homomorfismo ϕ. Por otro lado, podemos tomar todos los elementos del dominio, aplicarles la función ϕ y obtener el subconjunto correspondiente en el codominio. A este conjunto lo llamamos la imagen de ϕ. Estos dos subconjuntos desempeñan un papel crucial en el análisis de los homomorfismos.
Algunos teoremas de representaciones - [Detalles]
Se motiva la necesidad de representar a un grupo como subgrupo de otro más conocido y se muestran algunos teoremas de representación incluido el teorema de Cayley.
Álgebra Moderna I: Teorema de Cayley - [Detalles]
A partir de esta unidad veremos como cada uno de los elementos de los grupos (para cualquier grupo) se puede ver como una permutación. Todo grupo se puede pensar como un subgrupo de un grupo de permutaciones. El objetivo principal es converger en el Teorema de Cayley
Álgebra Moderna I: Una modificación al Teorema de Cayley - [Detalles]
Ya observamos la importancia del Teorema de Cayley, ya que nos permite visualizar a un grupo G como un subgrupo del grupo de permutaciones. En esta entrada relacionaremos al grupo G con un grupo simétrico mas pequeño que Sn . Utilizaremos los elementos de G no para mover sus propios elementos, si no, para mover clases laterales.
Álgebra Moderna I: Acciones - [Detalles]
Para esta sección, necesitamos tomar el concepto de acción. Hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un a en G y otro elemento, sea del mismo G o de las clases laterales. La realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro.
El primer teorema de isomorfismo - [Detalles]
Se enuncia y demuestra el primer teorema de isomorfismo de grupos.
Ejemplos del primer teorema de isomorfismo - [Detalles]
Se muestran algunos ejemplos de aplicación del primer teorema de isomorfismo.
El segundo teorema de isomorfismo - [Detalles]
Se enuncia y demuestra el segundo teorema de isomorfismo de grupos.
Ejemplo del segundo teorema de isomorfimso - [Detalles]
Se da un ejemplo de aplicación del segundo teorema de isomorfismo.
El tercer teorema de isomorfismo - [Detalles]
Se enuncia y demuestra el tercer teorema de isomorfismo de grupos.
Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]
El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Álgebra Moderna I: Segundo Teorema de Isomorfía - [Detalles]
Para esta entrada nos apoyaremos en el diagrama de retícula propuesto anteriormente, con el cual introduciremos el segundo teorema de isomorfía. Posteriormente reforzaremos y daremos una versión mas intuitiva de este teorema.
Álgebra Moderna I: Tercer Teorema de Isomorfía - [Detalles]
"Alguna vez te haz preguntado: ¿Qué ocurre con un cociente de cocientes?" Después de una breve introducción al tercer teorema de isomorfía, comenzaremos enunciándolo y probándolo a partir del primer teorema.
Álgebra Moderna I: Cuarto Teorema de Isomorfía - [Detalles]
A partir de ilustraciones con retículas, en esta entrada se introduce al cuarto teorema de Isomorfía. El cual nos encargaremos de demostrar a lo largo de la sección y ejemplificar trabajando sobre el grupo diédrico.