Funciones circulares de suma y diferencias - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos daremos continuación al tema anterior, mostrando ahora mas propiedades de las funciones circulares, así como realizar el cálculo de la suma y resta de seno, coseno y tangente. Además, abordaremos las funciones circulares del doble de un número y la transformación de productos a sumas y viceversa de estas funciones trigonométricas.
Cuestionario de funciones circulares de suma y diferencia - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 10 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: transformación de productos a suma y viceversa, seno, coseno y tangente de sumas y diferencias, etc.
Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Definimos qué es una transformación lineal. Vemos que a cualquier matriz se le puede asociar una transformación lineal, y viceversa.
Motivación de integral y sumas superiores e inferiores - [Detalles]
Motivación de la integral y sumas
Mini-cuestionario: Sumas directas - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de los conceptos de sumas directas en espacios vectoriales.
Mini-cuestionario: Matrices como transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo una matriz está asociada a una transformación lineal y viceversa.
Ortogonalidad y transformación transpuesta - [Detalles]
Definimos la noción de transformación transpuesta. Vemos propiedades básicas, su kernel, su imagen y que su matriz es la transpuesta de la original.
Mini-cuestionario: Ortogonalidad y transformación transpuesta - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo se define la transformación transpuesta en términos del espacio dual y qué matriz la representa.
Adjunta de una transformación lineal - [Detalles]
En esta tercera unidad estudiaremos algunos aspectos geométricos de transformaciones lineales. Para ello, lo primero que haremos será introducir la noción de la adjunta de una transformación lineal. Esto nos permitirá más adelante poder hablar de varias transformaciones especiales: normales, simétricas, antisimétricas, ortogonales.
Hablamos un poco sobre la notación que se suele emplear para las sumas o series, así como de a que se refiere la sumatoria.
Definición de la integral definida - [Detalles]
Continuación de sumas de Riemann, condición de Riemann
Definición de series y series infinitas - [Detalles]
Estudio de la definición de las sumas parciales y series infinitas.
Área bajo la curva - [Detalles]
Se aborda el tema del concepto de la integral con las sumas de Riemann y se dan tres ejemplos de su aplicación.
Traza de matrices y propiedades - [Detalles]
Definimos qué es la traza de matrices. Vemos que la traza abre sumas y saca escalares. Resolvemos dos problemas ejemplo.
Qué es un radián. Tallercito feliz - [Detalles]
En este taller nos dedicamos a explicar qué es un radián, durante el taller se realiza una actividad muy divertida que pueden hacer con Arilín desde su casa. Por otro lado, explicamos la relación entre radianes y grados, cómo hacer convenciones de radianes a grados y viceversa.
Nota 15. Relaciones de equivalencia y particiones. - [Detalles]
En esta nota veremos cómo las relaciones de equivalencia generan particiones, y concluiremos que toda relación de equivalencia tiene asociada una partición y viceversa, toda partición tiene asociada una única relación de equivalencia. Con esta nota concluimos la primera unidad del curso.
Álgebra Moderna I: Teoremas y Proposiciones relacionadas con subgrupos normales y grupo Alternante. - [Detalles]
Es fácil verificar que toda clase lateral derecha es una clase lateral izquierda y viceversa. En esta entrada, nos centraremos en demostrar formalmente este resultado y otros teoremas mas que sumen a las propiedades de subgrupos normales y el grupo alternante.
Conjunto cociente - [Detalles]
En esta entrada definiremos al conjunto cociente, dicho conjunto tendrá como elementos a las clases de equivalencia de una relación. Además probaremos que toda relación de equivalencia induce una partición y viceversa.
Cuestionario de nociones de trigonometría - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 8 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: convertir ángulos a radianes y viceversa, semejanza de triángulos, distancia entre dos puntos, etc.
Práctica en Python: "Coordenadas Polares" - [Detalles]
Práctica en Python relacionado al tema de "Coordenadas polares". Se presenta un repaso del plano polar y explicaciones de cómo transformar las coordenadas polares a cartesianas y viceversa, también del código para hacerlo y un código extra para graficar funciones en coordenadas polares.
Más propiedades de congruencias - [Detalles]
Continuamos viendo propiedades sobre las congruencias. Vemos que si dos enteros expresados productos: "a*x", "a*y", son congruentes modulo "m", es equivalente a que los enteros "x", "y" sean congruentes modulo "m/MCD(a,m)", dándonos una relación entre el módulo y el máximo común divisor. Igualmente vemos algunas propiedades más que surgen de este teorema.
Propiedades algebraicas de los números reales (Parte 2) - [Detalles]
Estudio de algunas propiedades relacionadas a la multiplicación, productos notables y a los inveros multiplicativos.
Integrales trigonométricas: Producto de potencias de senos y cosenos - [Detalles]
Enseñanza a la integración donde el integrando contiene productos de funciones senos y cosenos
Integrales trigonométricas: Producto de potencias de tan(x) y sec(x) - [Detalles]
Enseñanza a la integración donde el integrando contiene productos de funciones tan(x) y sec(x).
El grupo fundamental de un producto - [Detalles]
En este video demostramos que el grupo fundamental de un producto de espacios topológicos es el producto de los grupos fundamentales de los factores, es decir, el grupo fundamental abre productos.
En este video continuamos nuestro pequeño detour por la teoría de grupos. Definiremos el producto libre de grupos y su propiedad universal.
Complejos CW - productos - [Detalles]
En este video definiremos explicaremos cómo dar una estructura celular al producto de dos complejos CW.
Productos de subconjuntos de un grupo - [Detalles]
Se extiende la definición de producto para incluir el producto de dos subconjuntos de un grupo.
La gráfica de líneas y dos productos de gráficas - [Detalles]
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Monomios y polinomios - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, exploraremos los monomios y polinomios, piezas clave del álgebra. Abordaremos las leyes de los exponentes, esenciales para simplificar potencias, los productos notables, que son un atajo para agilizar calcular, y también veremos la multiplicación de monomios y polinomios, al igual que sus las operaciones básicas.
Cuestionario de monomios y polinomios - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 6 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: monomios, polinomios, ley de los signos, productos notables, etc.
Matrices similares y su polinomio característico - [Detalles]
En esta entrada exploramos otros aspectos del polinomio característico. Principalmente nos encargamos de comparar los polinomios característicos de matrices similares, así como los de dos productos (recordamos que el producto de matrices no es conmutativo).
Forma matricial de una transformación lineal - [Detalles]
Definimos la forma matricial de transformaciones lineales. Vemos que la composición de transformaciones corresponde al producto de sus formas matriciales.
Cambio de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Explicamos cómo un cambio de base de transformaciones lineales afecta la forma matricial de la transformación. Definimos el concepto de matrices similares.
Diapositivas sobre parametrización de curvas - [Detalles]
Hacemos un estudio sobre la parametrización de curvas y como es posible hacer esta transformación, este tema es acompañado de varios ejemplos.
Mini-cuestionario: Introducción a forma matricial de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Mini-cuestionario: Más sobre formas matriciales de transformaciones lineales - [Detalles]
Otro mini-cuestionario para verificar el entendimiento qué es y cómo se obtiene la forma matricial de una transformación lineal.
Mini-cuestionario: Cambios de base de transformaciones lineales - [Detalles]
Mini-cuestionario para verificar el entendimiento de cómo realizar cambios a las matrices que representan una transformación lineal al cambiar de base.
Álgebra Moderna I: Primer Teorema de Isomorfía y Diagrama de Retícula - [Detalles]
El teorema principal a estudiar en esta entrada es el primero de los cuatro teoremas de Isomorfía, el cual nos permite entender cómo están relacionados el dominio, el núcleo y la imagen de un homomorfismo de grupos, de forma similar al teorema de la dimensión en Álgebra lineal, que establece la relación entre el dominio, el núcleo y la imagen de una transformación lineal.
Álgebra Moderna I: Acciones - [Detalles]
Para esta sección, necesitamos tomar el concepto de acción. Hemos estado usando el verbo actuar para referirnos a esta transformación que sucede al operar un a en G y otro elemento, sea del mismo G o de las clases laterales. La realidad es que ya usar actuar da una idea de lo que estamos queriendo decir. Estamos usando un elemento de un grupo para transformar un elemento de otro.
Aplicar polinomios a transformaciones lineales y matrices - [Detalles]
En esta entrada veremos el concepto de «aplicar polinomios a matrices» o equivalentemente «aplicar polinomios a transformaciones lineales». La idea fundamental es simple: las potencias en los polinomios se convierten en repetidas aplicaciones de la transformación y las constantes en múltiplos de la identidad.
Eigenvectores y eigenvalores - [Detalles]
En esta entrada revisitamos los conceptos de eigenvalores y eigenvectores de una transformación lineal. Primero enunciaremos la definición, después veremos un primer ejemplo para convencernos de que no son objetos imposibles de calcular. Luego daremos un método para vislumbrar una manera más sencilla de hacer dicho cálculo y concluiremos con unos ejercicios.
Introducción al teorema de Cayley-Hamilton - [Detalles]
En esta entrada introducimos el teorema de Cayley-Hamilton, otro de los teoremas importantes del curso. Intuitivamente este teorema nos dice que «el polinomio característico anula al operador lineal». Es decir, si $P(\lambda)$ es el polinomio característico de una transformación lineal $T$, entonces $P(T) = 0$ .
Transformaciones ortogonales, isometrías y sus propiedades - [Detalles]
En la siguiente entrada veremos transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.
Aplicaciones de la forma canónica de Jordan - [Detalles]
En las entradas anteriores demostramos que cualquier matriz (o transformación lineal) tiene una y sólo una forma canónica de Jordan. Además, explicamos cómo se puede obtener siguiendo un procedimiento específico. Para terminar nuestro curso, platicaremos de algunas de las consecuencias del teorema de Jordan.
Representaciones matriciales, eigenvalores y eigenvectores - [Detalles]
Estudiamos representaciones matriciales de una transformación lineal. Con la idea de eigenvectores, hablamos de representaciones sencillas.