Divisibilidad: el máximo común divisor - [Detalles]
Definimos el máximo común divisor (MCD). Primero hacemos la observación de que cada entero tiene un numero finito de divisores, definimos el común divisor, y vemos que el conjunto de divisores de uno o más enteros siempre es finito y podemos obtener un máximo en común (que sea común divisor). Vemos algunos ejemplos y la notación que usaremos para el MCD
El maximo común divisor como combinación lineal entera - [Detalles]
Demostramos un teorema que nos afirma que el máximo común divisor se puede escribir como una combinación lineal de sus dividendos. Hacemos uso de las propiedades de divisibilidad anteriormente vistas y después generalizamos el teorema para el máximo común divisor de un numero arbitrario de enteros.
Como calcular el máximo común divisor de dos enteros - [Detalles]
Retomamos el teorema anterior sobre el máximo común divisor y el algoritmo de la división. Haciendo uso de estos dos resultados damos un método para calcular el máximo común divisor de dos enteros.
El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor - [Detalles]
Demostramos un teorema que relaciona el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos enteros "a", "b". El teorema nos dice que MCD(a,b)*MCM(a,b)=|a*b|
Propiedades del máximo común divisor - [Detalles]
Demostramos algunas propiedades sobre el máximo común divisor, vemos que puede sacar enteros, y varias propiedades más, las cuales demostramos haciendo uso del teorema de combinación lineal anteriormente visto.
El algoritmo de Euclides: enunciado y demostración. - [Detalles]
Demostramos el algoritmo de Euclides, es un método o procedimiento que nos ayuda en la búsqueda del Máximo Común Divisor de dos números enteros. Vemos que hace uso del algoritmo de la división repetidamente y que hay una relación entre el residuo y el máximo común divisor.
Máximo Común Divisor - [Detalles]
Introducimos el concepto de máximo común divisor a través de ideales. Vemos que es combinación lineal entera y hablamos de primos relativos.
Máximo común divisor de polinomios y algortimo de Euclides - [Detalles]
Definimos lo que es un ideal en los polinomios, proporcionamos un ejemplo y una caracterización de los ideales en los polinomios, al igual que en entradas anteriores tomamos ideas principales de temas que se ocupaban en los enteros pero ahora los adaptamos a los polinomios como lo es el máximo común divisor, el algoritmo de Euclides y demostramos la identidad de Bézout.
El mínimo común múltiplo - [Detalles]
Definimos el mínimo común múltiplo de "n" enteros. Primero damos la definición de común múltiplo y el más pequeño es aquel que tomamos como mínimo común múltiplo. Definimos la notación para expresar el mínimo común múltiplo y demostración un teorema sobre el mismo.
Divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética - [Detalles]
Usando el teorema fundamental de la aritmética vemos algunas propiedades sobre los exponentes de la descomposición en primos de un divisor y su dividendo. Esto también nos da otro método para obtener el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo en términos de la factorización de primos.
Los números naturales - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos matemáticos, nos embarcaremos en lo que es la aritmética, explorando los números primos, así como algunas de sus propiedades más importantes. Comenzaremos revisando algunos conceptos básicos, como los números naturales, los múltiplos, el mínimo común múltiplo (MCM) y el máximo común divisor (MCD). Luego, profundizaremos en la noción de divisibilidad, factorización y la clasificación de los números en primos y compuestos.
Ejemplos de cómo resolver una ecuación diofántica - [Detalles]
Vemos un método para encontrar una solución particular de la ecuación diofántica lineal. En el método hacemos uso del Máximo común divisor y a partir de la solución encontrada podemos generar todas las demás soluciones utilizando las fórmulas del segundo teorema del tema actual.
Más propiedades de congruencias - [Detalles]
Continuamos viendo propiedades sobre las congruencias. Vemos que si dos enteros expresados productos: "a*x", "a*y", son congruentes modulo "m", es equivalente a que los enteros "x", "y" sean congruentes modulo "m/MCD(a,m)", dándonos una relación entre el módulo y el máximo común divisor. Igualmente vemos algunas propiedades más que surgen de este teorema.
El teorema de derivadas y multiplicidad - [Detalles]
Construimos un método por el cual a través de derivadas podamos determinar la multiplicidad de las raíces de un polinomio esto a través del teorema de multiplicidad y derivadas, también con ayuda de la simplificación de un polinomio para encontrar sus raíces, este método se basa en los conocimientos adquiridos en otra entrada que es calculas el máximo común divisor entre el polinomio y su derivada.
Mínimo Común Múltiplo - [Detalles]
Definimos la noción de mínimo común múltiplo a partir de ideales. Vemos ejemplos, propiedades y algunas relaciones con primos relativos.
Divisibilidad algoritmo de la división (versión corregida) - [Detalles]
Mostramos el algoritmo de la división: Un algoritmo mediante el cual podemos obtener el cociente y el residuo de una división, esto también nos sirve para expresar un entero (dividendo) en términos del divisor, cociente y residuo: (dividendo = cociente*divisor + residuo).
Problemas de MCD, algortimo de Euclides e irreducibilidad en R[x] - [Detalles]
Resolvemos problemas propuestos que involucran los temas del máximo compun divisor en los polinomios mediante el algortimo de Euclides y la factorización de polinomios ocupando el teorema del factor.
Teorema del máximo-mínimo - [Detalles]
Demostración del teorema del máximo-mínimo
Ejercicio Función con máximo global - [Detalles]
Si una función $f(x)$ es siempre positiva y tiende a $0$ cuando $x$ se acerca al infinito o al negativo infinito, ¿logra esta función alcanzar su valor máximo en algún punto?
Pasar de frase a implicación - [Detalles]
Se muestran ejemplos de cómo traducir una frase común, a una proposición lógica.
Limites laterales - [Detalles]
En este video se explica la idea de los límites laterales, se hacen algunos ejemplos y se demuestra que cuando los límites laterales coinciden, el límite de la función existe y es igual al valor común de los límites laterales.
Divisibilidad: definición y primeros ejemplos - [Detalles]
Definimos que significa que un entero "b" sea divisible por "a" (donde "a" es distinto de cero). Damos la notación para simbolizar cuando pasa esto, y cuando no pasa (cuando "b" no es divisible por "a"). Mostramos algunos ejemplos y definimos cuando "a" es divisor de "b".
Grupos cíclicos - parte 1 - [Detalles]
Se da la definición de grupo cíclico y se exploran algunas de sus propiedades, se demuestra que todos los subgrupos de un grupo cíclico son cíclicos y que hay subgrupos para cada divisor del orden de un grupo cíclico.
Álgebra Moderna I: Caracterización de grupos cíclicos - [Detalles]
En los grupos cíclicos, existe un subgrupo único para cada divisor del orden del grupo. Este concepto será el enfoque inicial de esta explicación. Posteriormente, emplearemos un resultado de la teoría de números, utilizando la teoría de grupos para describir los grupos cíclicos de manera más detallada. Esta descripción, junto con sus implicaciones en los campos finitos, se basa en los materiales de los libros de Rotman y también se encuentra en el libro de Avella, Mendoza, Sáenz y Souto, que se mencionan en la bibliografía.
Divisibilidad de polinomios - [Detalles]
Damos la definición del grado de un polinomio, el cual es el máximo exponente cuyo coeficiente es distinto de cero. Damos algunos ejemplos de polinomios y obtenemos su grado. También vemos dos propiedades sobre el grado de un polinomio.
Cota superior e inferior de un conjunto - [Detalles]
Estudio de los conceptos máximo, mínimo, cota superior e inferior de un conjunto. Definción de conjunto acotado.
Localización de máximos y mínimos. Monotonía de funciones. - [Detalles]
Estudio de los conceptos máximo y mínimo de una función, la derivada y la monotonía de una función y el Criterio de la primera derivada.
Unidad V: Aplicaciones - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.
Unidad V: Aplicaciones - Examen - [Detalles]
En este examen se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.
Los Elementos de Euclides: Presentación - [Detalles]
En este video encontrarás todo lo que puedes aprender con esta serie de videos relativos al libro I de Los Elementos de Euclides. Te explicamos como puedes aprovechar al máximo el material que compartimos en los cuadernillos.
Cotas superiores y supremos - [Detalles]
En esta entrada hablaremos acerca de cotas superiores y supremos. Estos nuevos conceptos también nos permitirán acotar conjuntos ordenados. También veremos como se relaciona este concepto con el máximo de un conjunto.
Ejercicio Polinomios de grado par - [Detalles]
En este video, abordaremos paso a paso el razonamiento detrás de por qué todo polinomio de grado par alcanza su máximo en el conjunto de los números reales.
Continuidad en intervalos cerrados 2 - [Detalles]
En este video demostramos que las funciones continuas en intevalos cerrados son acotadas, y después, demostramos que alcanzan sus valores máximo y mínimo.
Ejemplos: determinar el dominio de una función - [Detalles]
En este video hacemos un par de ejemplos en los que se determina el dominio de una función, es decir, el dominio máximo de números reales, que es posible para una regla de correspondencia dada.