Continuidad en intervalos cerrados 2 - [Detalles]
En este video demostramos que las funciones continuas en intevalos cerrados son acotadas, y después, demostramos que alcanzan sus valores máximo y mínimo.
Continuidad en intervalos cerrados - [Detalles]
En este video se explica el concepto de continuidad en intervalos cerrados y se demuestran los teoremas de Bolzano y del Valor Intermedio.
La homotopía de caminos rel 0,1 es una relación de equivalencia - [Detalles]
En este video se continua preparando el camino para definir el grupo fundamental de un espacio topológico. El objetivo del video es mostrar que la relación de homotopía de caminos rel 0,1 es una relación de equivalencia.
Definición de grupos de homotopía - [Detalles]
Definimos una operación en los grupos de homotopía y probamos que está bien definida.
Clases de homotopía de funciones con domino la n-esfera - [Detalles]
Vemos una manera equivalente de definir los grupos de homotopía
Sucesión exacta larga de grupos de homotopía relativos - [Detalles]
Vemos que si tenemos una filtración de espacio A <B <X entonces podemos formar una sucesión exacta larga con los grupos de homotopía relativos de estos espacios. Esta sucesión sirve mucho para hacer calculos.
32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Empezamos la unidad 4, en esta primera entrada, como preliminares, veremos algunas definiciones tales como la de una función híbrida, trayectoria o curva y algunas más, que mas adelante nos permitirán dar una definición de integral compleja.
32. Trayectorias, curvas y contornos en el plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
Empezaremos finalmente con la parte de integración, necesitamos repasar unos preliminares importantes, tales como curvas y trayectorias en el plano complejo.
34. Integrales de contorno I - [Detalles]
Ya definimos que son contornos, e integrales de funciones híbridas, pasemos ahora a las integrales, ahora sí, de funciones complejas de $\mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}$.
Grupos simétricos (2) - [Detalles]
Continúa el estudio de la estructura cíclica de permutaciones, se demuestra que los subgrupos normales de Sn son precisamente aquellos que "cerrados" bajo estructura cíclica.
Ejercicio Intervalos anidados - [Detalles]
En este video exploramos el Teorema de los Intervalos Anidados. Este teorema, una joya en el análisis real, nos habla de la intersección de una sucesión de intervalos cerrados y su misterioso comportamiento.
Homotopias entre funciones - [Detalles]
En este video definimos homotopía entre funciones y homotopías que preservan el punto base. Luego demostramos que las homotopías que preservan el punto base inducen el mismo homomorfismo en grupos fundamentales.
El cubriente universal - parte 2 - [Detalles]
En este video definimos el cubriente universal (de un espacio que satisface ciertas condiciones) en términos de clases de homotopía de caminos en el espacio base que comienzan en un punto base fijo. En videos posteriores mostraremos que el espacio que definimos en este video es, en efecto, el cubriente universal del espacio con el que comenzamos.
38. Teorema integral de Cauchy versión homótopica (opcional) - [Detalles]
Dos de las nociones básicas de la topología son la de homotopía y homología. La versión local del teorema integral de Cauchy, enfatiza la topología del dominio y cómo el camino se encuentra dentro de él. Para mejorar nuestra comprensión de este hecho, examinamos estas cuestiones topológicas con más detalle.
38. Teorema Integral de Cauchy, versión homotópica. - [Detalles]
Repasaremos los conceptos de homología y homotopía y la reformulación del Teorema de Cauchy para estos aspectos.
La categoría de homotopía - [Detalles]
Definimos una categoría en donde los isomorfismos son las equivalencias homotópicas
Espacios H apartir de su conjunto de homotopía - [Detalles]
La operación en los groups de homotopía - [Detalles]
Vemos que la operación en los grupos pi_n esta bien definida
Los grupos de homotopía sí son grupos - [Detalles]
Probamos que pi_n satisface las propiedades de grupo.
La suma en pi_n no depende de la coordenada - [Detalles]
Vemos que hay otra manera de definir la suma en los grupos de homotopía y es equivalente a la operación que ya habíamos visto
Los grupos de homotopía superiores son abelianos - [Detalles]
Probamos que cuando n es mayor a 1 tenemos que pi_n es un grupo abeliano
Equivalencia homotópica implica equivalencia homotópica debil - [Detalles]
Un mapeo entre espacios se dice que es una equivalencia homotópica débil si induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía. En este video probamos que todas las equivalencias homotópicas son equivalencias homotópicas débiles.
Grupos de homotopía de un espacio H - [Detalles]
En este video vemos que si X es un espacio H entonces la operación en pi_n es la misma que la operación en X visto como espacio H
Acción del grupo fundamental - [Detalles]
Vemos que el grupo pi_1 actúa en los grupos de homotopía superiores
Functorialidad de los grupos de homotopía - [Detalles]
Vemos que pi_n forma un functor de la categoría de espacios topológicos a la categoría de grupos
Grupos de homotopía de un producto - [Detalles]
Vemos una fórmula para pi_n(X x Y)
Grupos de homotopía relativos - [Detalles]
Si tenemos un espacio X y un subespacio A podemos definir un grupo pi_n(X,A,*)