Los enteros módulo $m$ - [Detalles]
Definimos los enteros modulo "m". Este conjunto consiste de las clases de equivalencia de la congruencia modulo "m". Definimos la operación suma y multiplicación en el conjunto de los enteros modulo "m" (recordemos que sus elementos son clases de equivalencia). Mostramos que las operaciones cumplen las propiedades necesarias para que los enteros modulo "m" sean un anillo.
Más propiedades de congruencias - [Detalles]
Continuamos viendo propiedades sobre las congruencias. Vemos que si dos enteros expresados productos: "a*x", "a*y", son congruentes modulo "m", es equivalente a que los enteros "x", "y" sean congruentes modulo "m/MCD(a,m)", dándonos una relación entre el módulo y el máximo común divisor. Igualmente vemos algunas propiedades más que surgen de este teorema.
Definición de congruencia - [Detalles]
Definimos la relación de congruencia modulo "m" entre dos enteros "a", "b", cuando "m" divide a "a-b". Damos la notación para representar la relación de congruencia y mostramos que dos enteros que son congruentes modulo "m", tienen el mismo residuo de dividir entre "m".
Recordando a los enteros módulo n - [Detalles]
Se da la primera motivación para definir grupos cociente al recordar la definición de los enteros módulo n.
Cuestionario de los números enteros - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 2 del texto "Cimientos Matemáticos". Se cubren temas como números enteros, ley de los signos, multiplicación y división de números enteros, etc.
El anillo de los números enteros - [Detalles]
Hablamos sobre los números enteros y las propiedades que la suma y el producto poseen en los números enteros. El conjunto de los números enteros junto con estas propiedades formal lo que se conoce como un anillo, lo cual se definirá de forma abstracta en un video posterior.
Sistemas de residuos módulo $m$ - [Detalles]
Damos la definición de un sistema completo de residuos modulo "m". El cual es un conjunto donde cada elemento sirve como un representante de una clase de equivalencia de la relación de congruencia. También definimos un sistema reducido de residuos modulo "m". Damos la definición de la función de Euler, y vemos un teorema que nos ayuda a conocer el valor de la función de Euler.
Propiedades del módulo de un número complejo - [Detalles]
Damos y demostramos varias propiedades sobre el módulo de los complejos. Veremos que el módulo de un complejo es siempre positivo o igual a cero, y que es cero si y solo si el complejo es cero. También mostramos algunas desigualdades importantes.
Congruencias y el anillo de enteros módulo n - [Detalles]
Definimos lo que es una congruencia y lo que es un anillo de módulo n, demostramos que Z_{n}es un campo si y sólo si n es primo.
Álgebra Moderna I: Grupo Cociente - [Detalles]
La definición de subgrupos normales surgió de la necesidad de extender las propiedades de los enteros a grupos más generales. En los enteros, definimos una relación de equivalencia (módulo n) que nos permite obtener clases de equivalencia. Estas clases no solo generan una partición, sino que también constituyen un subgrupo de Z. La idea central es generalizar este concepto: buscamos definir una operación en ciertas clases de equivalencia para que también formen un grupo.
Construcción de los enteros y su suma - [Detalles]
Construimos el conjunto de los números enteros a partir de los números naturales, definimos a un número entero como una clase de equivalencia, definimos su operación suma y su inverso; también demostramos algunas propiedades básicas de la operación suma en los enteros.
El producto en los enteros - [Detalles]
Definimos la operación producto y demostramos algunas propiedades básicas de esta operación en los enteros, también demostramos la propiedad distributiva para la suma y el producto, también vemos que en los enteros no tiene divisores de cero.
Los números enteros - [Detalles]
En este capítulo de Cimientos Matemáticos, veremos el tema de los números enteros. Exploraremos sus propiedades y operaciones básicas. Veremos cómo cómo se ordenan en una recta numérica, estableciendo desigualdades. Hablaremos de su suma y resta, cuidando cómo trabajar con positivos y negativos. Luego, revisaremos la multiplicación y división de números enteros. Para todas estas operaciones hablaremos de varias propiedades.
Implementación con bits, Enteros en la computadora como anillos - [Detalles]
Enteros en la computadora como anillos – Representación de datos numéricos; qué son los anillos y cómo se representan los enteros.
Cuantas soluciones tiene una congruencia lineal - [Detalles]
Usando un ejemplo vemos cuantas soluciones llega a tener una ecuación lineal modulo "m", esto nos lleva a buscar un método para conocer el número de soluciones de una ecuación lineal. Haciendo uso de un teorema que demostramos durante el video, llegamos a un corolario el cual nos dice que una ecuación lineal modulo "m", tiene MCD(a,m) soluciones.
El Plano Complejo, Módulo y Argumento de un Número Complejo - [Detalles]
Mostramos como se asocia un numero complejo a un punto. Usando esto podemos dar la definición del plano complejo (Análogo al plano cartesiano). Donde cada punto del plano representa un numero complejo. Damos la forma polar de un numero complejo y la representación de su modulo y argumento en el plano complejo.
Propiedades básicas de congruencias - [Detalles]
Demostramos algunas propiedades sobre la congruencia, entre sus propiedades podremos notar que la relación de congruencia se basa en la relación que tienen los números enteros con el residuo obtenido de dividir entre el módulo "m".
Cuestionario de conjuntos importantes - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 14 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: los números naturales, los números enteros, los números racionales e irracionales, etc.
Como calcular el máximo común divisor de dos enteros - [Detalles]
Retomamos el teorema anterior sobre el máximo común divisor y el algoritmo de la división. Haciendo uso de estos dos resultados damos un método para calcular el máximo común divisor de dos enteros.
Congruencias como relación de equivalencia - [Detalles]
En este video vemos que la relación de congruencia es, justo como podríamos sospechar, una relación de equivalencia en los enteros. Mostramos que la congruencia cumple las tres propiedades para ser una relación de equivalencia: Reflexividad, Simetría, Transitividad. Hablamos sobre la partición que genera en los enteros y cuáles son las clases de equivalencia para cada entero.
Criterio de Eisenstein para verificar que un Polinomio es irreducible - [Detalles]
Presentamos el criterio de Eisenstein, el cual es un teorema que nos dice: Dado un polinomio con coeficientes en los enteros, si existe un numero primo que cumpla cierta propiedad (la cual detallamos en el video), entonces el polinomio es irreducible. Usando este criterio podemos saber si un polinomio es reducible sobre los enteros.
El orden de los enteros - [Detalles]
Definimos el orden en los números enteros y se demuestra primero que es parcial y después que éste es total.
La inmersión de los naturales en los enteros - [Detalles]
Estudiamos a los números enteros pero ahora trabajamos para etiquetarlos como los conocemos comunmente sin perder de vista la construcción y formalidad matemática que se ha trabajado en este tema.
Divisibilidad en los enteros - [Detalles]
Damos la definición de divisibilidad en los enteros. Discutimos algunas propiedades básicas y otras relacionadas con las operaciones y orden.
Ideales en los enteros - [Detalles]
Definimos a los ideales en los enteros. Vemos ejemplos, una definición alternativa, propiedades y un teorema de caracterización.
Números enteros y racionales - [Detalles]
En este video presentamos el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales. Vemos que a pesar de que éstos últimos forman un campo, todavía no se ajustan al modelo de la recta geométrica.
Implementación con bits, Enteros con signo - [Detalles]
Enteros con signo – Representación de datos numéricos; los números negativos en la computadora.
Los teoremas de Fermat y de Euler - [Detalles]
Vemos el pequeño teorema de Fermat y el Teorema de Euler. Primero demostramos el teorema de Euler, el cual nos da una relación de la función de Euler con una congruencia modulo "m", y usando este resultado demostramos el pequeño teorema de Fermat.
Ecuaciones lineales y congruencias - primeros ejemplos - [Detalles]
Repasamos brevemente que es una ecuación lineal y definimos las ecuaciones lineales modulo "m" de una variable. Vemos cuales son los posibles valores que pueden solucionar nuestra ecuación lineal y algunos ejemplos de cuáles serían las soluciones a algunas ecuaciones lineales.
Cuando tiene solucion una congruencia lineal - [Detalles]
Vemos un ejemplo de una ecuación lineal modulo 4 que no puede tener soluciones enteras (mostramos que si tuviera solución llegamos a una contradicción), esto nos lleva a dar una proposición para saber cuándo una ecuación lineal tiene una solución y una segunda proposición, con la cual podemos saber cuándo una ecuación lineal tiene o no solución.
Forma polar de un número complejo - [Detalles]
Vemos como escribir un numero complejo en su forma polar (mediante su modulo y su argumento). Para esto hacemos uso de las razones trigonométricas y vemos su representación en el plano complejo.
Conjugado de un número complejo - [Detalles]
Definimos el conjugado de un numero complejo, si un numero complejo es "a+b*i", su conjugado es "a-b*i". También vemos algunas propiedades relevantes sobre el conjugado, y su relación con el módulo de un numero complejo.
Guía de estudio sobre trigonometría y más sistemas de coordenadas - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este segundo módulo de estudios que es todo lo relacionado a trigonometría tanto temas como ley de senos, ley de cosenos, razones trigonométricas hasta coordenadas esféricas, polares y cilíndricas, hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Cuestionario sobre trigonometría y más sistemas de coordenadas - [Detalles]
Ponemos en práctica el módulo de trigonometría para una mejor preparación al presentar un examen parcial de etse tema. Al resolver el cuestionario lanza la calificación para que el alumno pueda ver que áreas necesita repasar.
Guía de estudio sobre espacios vectoriales - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este segundo módulo de estudios que es todo lo relacionado a trigonometría tanto temas como ley de senos, ley de cosenos, razones trigonométricas hasta coordenadas esféricas, polares y cilíndricas, hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Guía de estudio sobre rectas y planos - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este tercer módulo de estudios que es todo lo relacionado a rectas, planos, perpendicularidad, vector normal, y más. Hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Diapositivas sobre parametrización de cónicas - [Detalles]
Ya teniendo nociones sobre la parametrización de curvas ahora nos interesará parametrizar estas figuras que estamos estudiando, estas parametrizaciones solo son posibles con ayuda de nuestro módulo 2 "trigonometría", con ayuda en estas identidades y razones es posible hacer las parametrización de las cónicas.
Guía de estudio sobre cónicas - [Detalles]
Proponemos una lista de ejercicios para poner en práctica los temas principales de este cuarto y último módulo de estudios que es todo lo relacionado a cónicas; ecuación general, ecuación canónica, excentricidad, traslación y rotación de ejes, simetría y parametrización. Hay ejercicios teóricos tanto ejercicios prácticos.
Problemas de congruencias y $Z_n$ - [Detalles]
Resolvemos ejercicios que ocupan las definiciones de congruencia, anillo de módulo n para encontras sus unidades e inversos multiplicativos en caso de que los haya.
Continuidad y diferenciabilidad de polinomios reales - [Detalles]
Definimos dos términos muy ocupados en general en matemáticas que son los conceptos de continuidad y derivada, éstos términos los definimos en general para funciones pero en nuestro módulo de álgebra lo limitamos a ocuparlo para polinomios, demostramos que todo polinomio es una función continua y también demostramos el teorema de valor intermedio y el teorema de la derivada de polinomios.
Subgrupo conmutador - [Detalles]
Se define el conmutador de dos elementos y se define el subgrupo conmutador, se demuestra que el cociente módulo el conmutador es abeliano y es mínimo con esa propiedad.
3. El plano complejo $\mathbb{C}$ - [Detalles]
En esta entrada de blog se presentan propiedades de los números complejos que surgen naturalmente de una construcción geométrica como lo son el módulo, también se da una interpretación geométrica de las operaciones entre complejos.
Unidad V: Aplicaciones - Tarea - [Detalles]
En esta tarea en equipo se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.
Unidad V: Aplicaciones - Examen - [Detalles]
En este examen se evalúan temas de la quinta unidad tales como series de Taylor y de Laurent, tipos de singularidades, teorema del residuo y el principio del módulo máximo.
Ecuaciones de las cónicas - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos exploraremos cuatro figuras importantes en este modulo: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, cada una con su propia identidad matemática. Estas ecuaciones son clave para comprender y modelar fenómenos diversos, enriqueciendo nuestra percepción del mundo.
Cuestionario de los números naturales - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 1 del texto "Cimientos Matemáticos". Se cubren temas como números naturales, mcm, MCD, números primos, factorización, etc.
Cuestionario de las fracciones - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 3 del texto "Cimientos Matemáticos". Se cubren temas como la suma, multiplicación, división de fracciones, etc.
Cuestionario de expresiones algebraicas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 4 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, jerarquía de operaciones, monomios, polinomios, etc.
Cuestionario de ecuaciones y problemas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 5 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: problemas que dan lugar a ecuaciones, solución de ecuaciones de primer grado, sistemas de ecuaciones 2x2 y 3x3, etc.
Cuestionario de monomios y polinomios - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 6 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: monomios, polinomios, ley de los signos, productos notables, etc.
Cuestionario de geometría elemental - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 7 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: la definición de punto, segmento, línea recta, circunferencia, ángulo, tipos de ángulos, tipos de rectas, etc.
Cuestionario de nociones de trigonometría - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 8 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: convertir ángulos a radianes y viceversa, semejanza de triángulos, distancia entre dos puntos, etc.
Cuestionario de funciones circulares - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 9 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: identidades trigonométricas, valores de las funciones circulares, etc.
Cuestionario de funciones circulares de suma y diferencia - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 10 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: transformación de productos a suma y viceversa, seno, coseno y tangente de sumas y diferencias, etc.
Cuestionario de ecuaciones de la línea recta - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 11 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: lugares geométricos y sus ecuaciones, punto-pendiente de una recta, forma general de la ecuación de la línea recta, etc.
Cuestionario de ecuaciones de cónicas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 12 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: circunferencia, parábola, elipse, con sus respectivas propiedades cada una, etc.
Cuestionario de conjuntos y logica - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 13 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: conjuntos, elementos de conjuntos, cardinalidad, símbolos de pertenencia, subconjunto, operaciones con conjuntos, lógica de proposiciones, etc.
Cuestionario de los números reales - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 15 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: postulados de campo, postulados de orden, valor absoluto, etc.
Cuestionario de funciones - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 16 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: valor de una función, grafica de una función y su relación, tabulación, etc.
Cuestionario de funciones algebraicas - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 17 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: función lineal, función cuadrática, sus propiedades, funciones polinomiales, etc.
Cuestionario de funciones trascendentes - [Detalles]
Este es un cuestionario para repasar el Módulo 18 del texto "Cimientos Matemáticos" donde se abarcan temas como: función seno, coseno y sus respectivas propiedades, función exponencial, función logaritmica, etc.
Como demostrar una implicación. Demostración directa - [Detalles]
Platicamos las características de la demostración directa y damos un ejemplo con una proposición sobre los números enteros múltiplos de 6.
Demostrar que una proposición es falsa - [Detalles]
Explicamos como demostrar que una proposición o enunciado es falso, damos un ejemplo usando los números enteros.
Demostración por casos - [Detalles]
Explicamos como realizar una demostración por casos y las reglas que se deben seguir, damos ejemplos con números enteros.
Subconjuntos (ejemplo y 3 propiedades básicas) - [Detalles]
Continuamos con un ejemplo, que los enteros son subconjunto de los racionales. También vemos propiedades Importantes: todo conjunto contiene al vacío, todo conjunto se contiene a sí mismo y transitividad.
Definición de anillo - [Detalles]
Definimos un anillo, el cual consiste en una tupla (A,+,*), es decir, un conjunto, una suma y un producto. Tal que se cumplan ciertas propiedades (Análogo a los números enteros). Vemos algunos ejemplos y vemos que los números naturales no son un anillo. También damos la definición de dominio entero.
Divisibilidad: el máximo común divisor - [Detalles]
Definimos el máximo común divisor (MCD). Primero hacemos la observación de que cada entero tiene un numero finito de divisores, definimos el común divisor, y vemos que el conjunto de divisores de uno o más enteros siempre es finito y podemos obtener un máximo en común (que sea común divisor). Vemos algunos ejemplos y la notación que usaremos para el MCD
El maximo común divisor como combinación lineal entera - [Detalles]
Demostramos un teorema que nos afirma que el máximo común divisor se puede escribir como una combinación lineal de sus dividendos. Hacemos uso de las propiedades de divisibilidad anteriormente vistas y después generalizamos el teorema para el máximo común divisor de un numero arbitrario de enteros.
Propiedades del máximo común divisor - [Detalles]
Demostramos algunas propiedades sobre el máximo común divisor, vemos que puede sacar enteros, y varias propiedades más, las cuales demostramos haciendo uso del teorema de combinación lineal anteriormente visto.
El algoritmo de Euclides: enunciado y demostración. - [Detalles]
Demostramos el algoritmo de Euclides, es un método o procedimiento que nos ayuda en la búsqueda del Máximo Común Divisor de dos números enteros. Vemos que hace uso del algoritmo de la división repetidamente y que hay una relación entre el residuo y el máximo común divisor.
El mínimo común múltiplo - [Detalles]
Definimos el mínimo común múltiplo de "n" enteros. Primero damos la definición de común múltiplo y el más pequeño es aquel que tomamos como mínimo común múltiplo. Definimos la notación para expresar el mínimo común múltiplo y demostración un teorema sobre el mismo.
El mínimo común múltiplo y el máximo común divisor - [Detalles]
Demostramos un teorema que relaciona el máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (MCM) de dos enteros "a", "b". El teorema nos dice que MCD(a,b)*MCM(a,b)=|a*b|
Ecuación diofántica lineal en dos variables - [Detalles]
Definimos la ecuación Diofánticas, como ecuaciones algebraicas para las cuales que buscan soluciones enteras. Nos concentramos en las ecuaciones de la forma "a*x+b*y=n", con a,b,n enteros. Mostramos cuando la ecuación tiene solución entera y cuantas soluciones tiene.
El grado de un polinomio - [Detalles]
Hablamos sobre las propiedades de las operaciones con polinomios, notamos que depende del conjunto de escalares y vemos que la suma y la multiplicación de polinomios cumplen ciertas propiedades, si los coeficientes pertenecen a los Enteros, Racionales, Reales o Complejos. Finalmente vemos que, si los coeficientes están en cualquiera de estos conjuntos, el conjunto de polinomios es un anillo conmutativo.
Teorema para buscar las Raíces enteras y racionales de un polinomio - [Detalles]
Demostramos un teorema que nos ayuda a encontrar las raíces racionales o enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros. El teorema nos indica que basta con buscar en los divisores del término independiente ("a_0") y del coeficiente líder del polinomio ("a_n").
Orden en los números enteros - [Detalles]
Hablamos sobre algunas propiedades de los números naturales, vemos que poseen un orden. Lo nos lleva a dar las definiciones formales de "menos que" y "menor igual". Demostramos algunas proposiciones y propiedades que surgen de considerar un orden en los números naturales.
Homología singular - generadores para la homología de la esfera - [Detalles]
En este video calculamos explícitamente un generador para la homología enésima de la n-esfera con coeficientes en los enteros. Esta cuenta no es trivial y usamos muchos de los resultados obtenidos anteriormente.
Problemas de construcción, suma y producto de enteros - [Detalles]
Descripción pendiente
Problemas de orden de los enteros y la inmersión de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{Z}$ - [Detalles]
Descripción pendiente
Esbozo de construcción de racionales y reales - [Detalles]
Mostramos un pequeño esbozo sobre la motivación y construcción de los números racionales (primeramente) con ayuda de los números enteros ya construidos, después ocupamos que el campo de los racionales no siempre tiene solución siendo esta la motivación para la construcción de los números reales a partir de sucesiones de Cauchy. Manejamos que son un esbozo pues la idea de construir Q es muy similar cuando construimos Z pero la contrucción de R se da con más claridad en cursos de cálculo y análisis matemático.
Algortimo de la división, teorema del factor y del residuo - [Detalles]
Acoplamos temas vistos en los enteros pero ahora para el anillo de los polinomios como el tema de divisibiliad y el teorema del algoritmo de la división conjuntamente con su demostración y su aplicación en la práctica. Asimismo se define lo que es un polinomio irreducible así como el teorema del facotor y el del residuo.
Máximo común divisor de polinomios y algortimo de Euclides - [Detalles]
Definimos lo que es un ideal en los polinomios, proporcionamos un ejemplo y una caracterización de los ideales en los polinomios, al igual que en entradas anteriores tomamos ideas principales de temas que se ocupaban en los enteros pero ahora los adaptamos a los polinomios como lo es el máximo común divisor, el algoritmo de Euclides y demostramos la identidad de Bézout.
El criterio de la raíz racional - [Detalles]
Estudiamos el criterio de la raíz racional el cual nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio de coeficiente enteros, asimismo mostramos una aplicación directa, una indirecta y una con un polinomio de coeficientes racionales.
Álgebra Moderna I: Relación de equivalencia dada por un subgrupo e índice de H en G - [Detalles]
En esta entrada definiremos una relación de equivalencia en un grupo. Nos referimos al grupo de los enteros con la suma (Z,+) en el cual es posible establecer una relación de equivalencia que induce a una partición con exactamente n conjuntos.
Gráficas regulares y secuencias de grado q - [Detalles]
Aquí damos respuesta a las siguientes preguntas ¿Para qué valores de n y r existe una gráfica r-regular de orden n? ¿Qué secuencias de n números enteros no negativos son la secuencia de grados de una gráfica?
Conjuntos importantes - [Detalles]
En este capitulo de Cimientos Matemáticos revisaremos los conjuntos de números más importantes y los más usuales con los que solemos trabajar, tal es el caso de los naturales y enteros que ya hemos visto en capítulos anteriores, pero ahora añadiendo a los números, racionales, irracionales, reales y hasta los números complejos, que de complejos únicamente es el nombre, ya que veremos que la manera de trabajar con este es muy sencilla.