Teorema de existencia y unicidad. Dependencia continua de la condición inicial - [Detalles]
Concluimos el estudio al Teorema de existencia y unicidad analizando la dependencia continua de la solución al problema de condición inicial respecto a los valores de la condición inicial
Veremos una condición necesaria y suficiente para que el triángulo pedal de un punto degenere en una recta, conocida como recta de Simson.
El cubriente universal - parte 1 - [Detalles]
En este video definimos una condición necesaria para que un espacio tenga cubriente universal: la noción de ser semi-localmente simplemente conexo.
Sistemas de congruencias lineales (parte 1) - [Detalles]
En este apartado se aborda el tema de sistemas de congruencias lineales de una variable (en la parte 2 la generalización) cuando los módulos no son necesariamente primos relativos (condición necesaria para el teorema chino del residuo), contiene demostraciones de teoremas y proposiciones, junto con definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para resolver sistemas de congruencias lineales de una variable y algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Sistemas de congruencias lineales (parte 2) - [Detalles]
En este apartado se aborda el tema de sistemas de congruencias lineales de 2 o más variables (de una variable en la parte 1) cuando los módulos no son necesariamente primos relativos (condición necesaria para el teorema chino del residuo), contiene demostraciones de teoremas y proposiciones, junto con definiciones y problemas resueltos. Este tema corresponde a la Unidad 2 "Congruencias", del curso de Teoría de los Números I. Además, se presenta un código implementado en Python para resolver sistemas de congruencias lineales de n variables y algunos ejercicios para que el alumno ponga en práctica lo aprendido.
Definiciones elementales: Problema de condición inicial, ecuaciones lineales y no lineales - [Detalles]
Definimos el problema de condición inicial (o valor inicial) y a las ecuaciones lineales y no lineales.
Factorial y combinatorio - [Detalles]
Comenzamos dando la definición de la factorial de un número natural, así como la notación que se emplea para expresarlo. Damos la notación necesaria para entender la combinatoria, y también la fórmula del combinatorio n en k.
Teorema de Existencia y Unicidad - Ecuación Integral, Funciones Lipschitzianas y Lema de Gronwall - [Detalles]
Se desarrolla una teoría preliminar necesaria para demostrar el teorema de existencia y unicidad, en dicha teoría se presentan las ecuaciones integrales, las funciones lipschitzianas y el lema de Gronwall
Teorema de existencia y unicidad. Ecuación integral asociada - [Detalles]
Damos los primeros detalles para la demostración del Teorema de existencia y unicidad de Picard. Encontramos una manera equivalente de resolver un problema de condición inicial, que es resolviendo una ecuación integral asociada.
Teorema de existencia y unicidad. Iteraciones de Picard - [Detalles]
Construimos las iteraciones de Picard que nos ayudarán a encontrar una solución al problema de condición inicial, bajo ciertas hipótesis que analizamos antes de demostrar la parte de la existencia del Teorema de Picard
Transformada de Laplace y sus propiedades - [Detalles]
Definimos la transformada de Laplace de una función y demostramos algunas propiedades que nos servirán para resolver problemas de condición inicial.
Método de la transformada de Laplace - [Detalles]
Resolvemos el problema de condición inicial de manera general para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes por el método de la transformada de Laplace.
Método de la transformada de Laplace (Ejemplos) - [Detalles]
Resolvemos un par de problemas de condición inicial por el método de la transformada de Laplace.
Método de la transformada de Laplace. Problemas que involucran funciones continuas por pedazos - [Detalles]
Aplicamos el método de la transformada de Laplace para resolver problemas de condición inicial cuya ecuación diferencial involucra funciones continuas por pedazos, y resolvemos un ejemplo particular.
Introducción a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden (Parte 2) - [Detalles]
Hablamos un poco del problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden, así como del Teorema de existencia y unicidad correspondiente, tanto en una versión general como en su versión para sistemas de ecuaciones lineales homogéneas.
Propiedades de la exponencial de una matriz - [Detalles]
Analizamos las principales propiedades que cumple la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes, además de relacionarla con los problemas de condición inicial para sistemas lineales de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de existencia - [Detalles]
Demostramos la existencia de una solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Teorema de existencia y unicidad para sistemas de ecuaciones de primer orden. Prueba de unicidad - [Detalles]
Demostramos la unicidad de la solución al problema de condición inicial para sistemas de ecuaciones de primer orden.
Definición de la integral definida - [Detalles]
Continuación de sumas de Riemann, condición de Riemann
Diapositivas sobre determinantes - [Detalles]
Definimos el determinante de una matriz con esta definición mostramos como se calcula para dimensiones de 3 (regla de Sarrus y cofactores) y para dimensiones mayores a 3, para dimensiones menores es muy fácil realizar el cálculo. Enunciamos las propiedades que cumple el determinante y entre estas proposiciones la condición del determinante para mostrar si una matriz es invertible. Finalmente demostramos una proposición sobre unas matrices especiales que son las triangulares y como estas matrices sin importar su dimensión ni si son triangularrs superiores o inferiores su determinante da una fórmula sencilla que es el producto de las entradas de la diagonal.
Diapositivas de subconjuntos del plano y espacio cartesiano - [Detalles]
En estas diapositivas sirve de retroalimentación respecto a los temas 2 temas anteriores, son un repaso de esteos subconjuntos generados por una condición dentro del plano cartesiano o dentor del espacio cartesiano.
Lugar geométrico en el plano cartesiano - [Detalles]
Definimos un lugar geométrico, el cual es un conjunto de puntos que cumplen una condición dada. Explicamos algunos ejemplos usando condiciones para las coordenadas cartesianas.
Ejercicio 3 bases de espacios vectoriales - [Detalles]
Usando la definición de una base para un espacio vectorial cualquiera, demostramos una condición equivalente para saber cuándo un conjunto es base de un espacio vectorial.
Los Elementos de Euclides: Teorema 22 - [Detalles]
En este video cubrimos el Teorema 22 de Los Elementos de Euclides. Aquí se estudia la construcción de un triángulo a partir de tres segmentos dados que cumplen la condición de que la suma de las longitudes de dos cualesquiera de los segmentos es mayor que la longitud del tercer lado.
Transformaciones ortogonales, isometrías y sus propiedades - [Detalles]
En la siguiente entrada veremos transformaciones lineales entre espacios euclidianos que preservan las distancias. Estas transformaciones son muy importantes, pues son aquellas transformaciones que además de ser lineales, coinciden con nuestra intuición de movimiento rígido. Veremos que esta condición garantiza que la transformación en cuestión preserva el producto interior de un espacio a otro.