La matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones - [Detalles]

Explicamos y definimos una matriz de tamaño NxM (arreglos rectangulares de números). Damos la representación matricial de un sistema lineal, la cual es una matriz conformada por los coeficientes del sistema (matriz de coeficientes). Definimos la matriz aumentada y explicamos como usarla para resolver sistemas lineales.

Triángulo de Pascal - [Detalles]

Vemos cómo utilizar el triángulo de Pascal y explicamos como deducir sus coeficientes. También comparamos las propiedades del combinatorio con los coeficientes en el triángulo de Pascal. Todo esto nos ayuda para calcular la n-ésima potencia de un binomio.

El grado de un polinomio - [Detalles]

Hablamos sobre las propiedades de las operaciones con polinomios, notamos que depende del conjunto de escalares y vemos que la suma y la multiplicación de polinomios cumplen ciertas propiedades, si los coeficientes pertenecen a los Enteros, Racionales, Reales o Complejos. Finalmente vemos que, si los coeficientes están en cualquiera de estos conjuntos, el conjunto de polinomios es un anillo conmutativo. 

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces reales distintas - [Detalles]

Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son reales y distintas.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces repetidas - [Detalles]

Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son repetidas.

Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes. Raíces complejas - [Detalles]

Resolvemos el caso general de una ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, cuando las raíces a la ecuación a(r^2)+br+c=0 son complejas.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 1) - [Detalles]

Describimos de manera general el método de coeficientes indeterminados, y revisamos el caso cuando g(t) es un polinomio de grado n. Finalizamos el video con un ejemplo.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 2) - [Detalles]

Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función exponencial. Finalizamos el video con un ejemplo.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden. Coeficientes indeterminados (Parte 3) - [Detalles]

Describimos de manera general el método de coeficientes en el caso cuando g(t) es el producto de un polinomio de grado n por una función coseno o seno.

Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Método de eliminación de variables - [Detalles]

Resolvemos el sistema lineal (homogéneo y no homogéneo) de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes en su forma general por el método de eliminación de variables.

Sistemas de ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Eliminación de variables (Ejemplos) - [Detalles]

Empleamos el método de eliminación de variables que desarrollamos en el video anterior para resolver un par de ejemplos de sistemas lineales con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]

Probamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes.

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]

Probamos el teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales NO homogéneos con coeficientes constantes.

Método de valores y vectores propios para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes - [Detalles]

Encontramos la solución general a un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes en términos de los valores y vectores propios de la matriz asociada A, si esta es diagonalizable.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios distintos (Ejemplos) - [Detalles]

Resolvemos un par de ejemplos de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes cuando los valores propios de la matriz asociada son reales y distintos.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos (Ejemplos) - [Detalles]

Resolvemos un par de ejemplos de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes cuando los valores propios de la matriz asociada son complejos.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios repetidos y diagonalizable - [Detalles]

Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema homogéneo con coeficientes constantes es diagonalizable y tiene valores propios repetidos. Además resolvemos un par de ejemplos.

Ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes - [Detalles]

Se estudia un método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes de acuerdo al valor del discriminante de la ecuación auxiliar

Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos ordinarios - [Detalles]

Se hace un breve repaso de series de potencias para posteriormente desarrollar un método de resolución de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos ordinarios

Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes variables – Soluciones en series de potencias respecto a puntos singulares - [Detalles]

Se describe el método de Frobenius para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables con respecto a puntos singulares

Diapositivas sobre sistemas de ecuaciones lineales, sus soluciones y su matriz de coeficientes - [Detalles]

Comenzamos el tema con la definición de lo que es un sistema de ecuaciones lineal,; hablamos un poco sobre las soluciones de estos sistemas, su geometría e interpretación analítica y cualitativa. Damos un repaso al tema de matrices, recordeando las operaciones elementales, las operaciones renglón y asociamos en una matriz los coeficientes del sistema de ecuaciones lineal.

El anillo de polinomios con coeficientes reales - [Detalles]

Construimos a los polinomios con coeficientes reales, demostramos que esta construcción cumple con que es un anillo y un dominio entero luego.

Teorema del binomio ejemplo 1 - [Detalles]

Vemos un ejemplo usando el teorema del binomio. También damos consejos para calcular coeficientes en los términos que aparecen en la expansión de (a+b).

Teorema sobre polinomios y números complejos - [Detalles]

Vemos y demostramos uno de los teoremas más importantes sobre polinomios: Si un número complejo es solución de un polinomio con coeficientes reales entonces su conjugado también es solución de ese mismo polinomio. Este teorema nos puede ayudar a encontrar soluciones de un polinomio. 

Criterio de Eisenstein para verificar que un Polinomio es irreducible - [Detalles]

Presentamos el criterio de Eisenstein, el cual es un teorema que nos dice: Dado un polinomio con coeficientes en los enteros, si existe un numero primo que cumpla cierta propiedad (la cual detallamos en el video), entonces el polinomio es irreducible.  Usando este criterio podemos saber si un polinomio es reducible sobre los enteros. 

Teorema para buscar las Raíces enteras y racionales de un polinomio - [Detalles]

Demostramos un teorema que nos ayuda a encontrar las raíces racionales o enteras de un polinomio cuyos coeficientes son enteros. El teorema nos indica que basta con buscar en los divisores del término independiente ("a_0") y del coeficiente líder del polinomio ("a_n"). 

El oscilador armónico forzado - [Detalles]

Resolvemos un ejemplo del oscilador armónico por el método de coeficientes indeterminados.

Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]

Comenzamos la revisión de las ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables, y mostramos la existencia de una solución con desarrollo en serie de potencias alrededor de un punto ordinario.

Radio de convergencia de series de potencias cerca de un punto ordinario - [Detalles]

Calculamos el radio de convergencia para una solución por serie de potencias cerca de un punto ordinario para una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables.

Soluciones por series de potencias cerca de un punto ordinario (Ejemplos) - [Detalles]

Resolvemos un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables por series de potencias.

Soluciones por series cerca de un punto singular regular (Parte 1) - [Detalles]

Damos las consideraciones generales que utilizaremos a lo largo del tema, definimos la ecuación indicial de la ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables, y desarrollamos el método de Frobenius para el caso cuando la ecuación indicial tiene dos raíces distintas que no difieren por un entero

Método de la transformada de Laplace - [Detalles]

Resolvemos el problema de condición inicial de manera general para ecuaciones de segundo orden con coeficientes constantes por el método de la transformada de Laplace.

La exponencial de una matriz - [Detalles]

Definimos la exponencial de una matriz con coeficientes constantes.

Propiedades de la exponencial de una matriz - [Detalles]

Analizamos las principales propiedades que cumple la exponencial de una matriz cuadrada con coeficientes constantes, además de relacionarla con los problemas de condición inicial para sistemas lineales de primer orden.

La exponencial de una matriz y la matriz fundamental de soluciones - [Detalles]

Relacionamos la exponencial de una matriz A de coeficientes constantes con la matriz fundamental de soluciones al sistema lineal homogéneo que tiene a A como matriz asociada.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Valores propios complejos - [Detalles]

Analizamos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios complejos. Encontramos dos soluciones reales dada una solución compleja formada con un valor y un vector propios complejos.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Matriz no diagonalizable - [Detalles]

Consideramos el caso cuando la matriz asociada al sistema tiene valores propios repetidos y NO es diagonalizable. Definimos a los vectores propios generalizados de una matriz, desarrollamos un algoritmo mediante el cual encontramos n soluciones linealmente independientes al sistema, y por tanto la solución general.

Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden – Método de coeficientes indeterminados - [Detalles]

Al estudiar el caso no homogeneo de las ecuaciones diferenciales de segundo orden se presenta un primer método que propone soluciones en forma de series similares a la función g

Ecuación de Cauchy-Euler - [Detalles]

Se aplican los resultados obtenidos para resolver una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes variables conocida como ecuación de Cauchy-Euler

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Matriz no diagonalizable (Ejemplos) - [Detalles]

Resolvemos un par de ejemplos de sistemas cuya matriz asociada tiene valores propios repetidos y NO es diagonalizable.

Método de variación de parámetros para sistemas lineales no homogéneos - [Detalles]

Desarrollamos el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular al sistema lineal no homogéneo con coeficientes constantes.

Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. El plano fase - [Detalles]

Comenzamos la última unidad del curso estudiando la geometría de las soluciones a un sistema de dos ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, definiendo el plano fase y analizando un par de ejemplos.

Sistemas de dos ecuaciones de primer orden. Campo vectorial asociado - [Detalles]

Asociamos un campo vectorial a un sistema de ecuaciones de primer orden con coeficientes constantes, y analizamos su relación con las curvas del plano fase del sistema.

El plano traza - determinante - [Detalles]

Clasificamos los planos fase y puntos de equilibrio de sistemas de ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes, según la traza y el determinante de la matriz asociada al sistema.

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios distintos - [Detalles]

Se estudia el primer caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema lineal son todos reales y distintos

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios complejos - [Detalles]

Se continua con el segundo caso del método de valores y vectores propios correspondiente al caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son complejos

Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes – Valores propios repetidos - [Detalles]

Se finaliza el método de valores y vectores propios con el caso en el que los valores propios de la matriz del sistema son algunos repetidos y se presenta el teorema de Cayley-Hamilton

Sistemas lineales no homogéneos – Método de variación de parámetros - [Detalles]

Se presenta una generalización del método de variación de parámetros para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden no homogéneas con coeficientes constantes

Teorema de existencia y unicidad para sistemas lineales - [Detalles]

Se demuestra el teorema de existencia y unicidad para los casos particulares en los que los sistemas de ecuaciones diferenciales son lineales con coeficientes constantes tanto homogéneos como no homogéneos

Homología singular - el 0-ésimo grupo de homología - [Detalles]

En este video veremos que el 0-ésimo grupo de homología singular es la suma de copias de los coeficientes, una por cada componente arco-conexa del espacio.

Homología singular - generadores para la homología de la esfera - [Detalles]

En este video calculamos explícitamente un generador para la homología enésima de la n-esfera con coeficientes en los enteros. Esta cuenta no es trivial y usamos muchos de los resultados obtenidos anteriormente.

Homología celular - ejemplos - espacios proyectivos - [Detalles]

En este video explicamos cómo calcular la homología de los espacios proyectivos con diferentes coeficientes.

Sistemas de ecuaciones lineales complejos - [Detalles]

Motivamos el estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales pero ahora con números complejos, nuestra inspiración fueron algunos métodos que ya conocemos por el estudio en los reales tales como el determinante, substitución o igualando coeficientes.

Problemas de operaciones en el anillo de polinomios - [Detalles]

Resolvemos problemas sobre las operaciones básicas en el anillo de los polinomios con coeficientes reales.

El criterio de la raíz racional - [Detalles]

Estudiamos el criterio de la raíz racional el cual nos permite determinar las únicas raíces racionales que puede tener un polinomio de coeficiente enteros, asimismo mostramos una aplicación directa, una indirecta y una con un polinomio de coeficientes racionales.