Teorema del valor medio para campos escalares - [Detalles]
Demostramos el teorema del valor medio para campos escalares. Con él, vemos que derivadas parciales continuas implican diferenciabilidad.
Derivadas parciales de segundo orden - [Detalles]
Definimos las derivadas parciales de segundo orden para un campo escalar, con ejemplos. Vemos cuándo conmuta el orden de derivación.
Derivadas parciales de orden superior - [Detalles]
Definimos qué son las derivadas parciales de orden superior para campos escalares. Damos ejemplos y un teorema de conmutatividad.
Polinomio de Taylor para campos escalares - [Detalles]
Hablamos del polinomio de Taylor para campos escalares. Justificamos su existencia y damos un ejemplo totalmente desarrollado de grado 3.
Discutimos la importancia que tendrán las matrices en el cálculo de varias variables. Recordamos ciertas operaciones binarias y elementales.
Repasamos qué son los determinantes, definidos en términos de permutaciones. Recordamos algunas de sus propiedades.
Sistemas de ecuaciones lineales - [Detalles]
Repasamos sistemas de ecuaciones lineales, matrices elementales y matrices equivalentes por filas. Los relacionamos con matrices invertibles.
Representaciones matriciales, eigenvalores y eigenvectores - [Detalles]
Estudiamos representaciones matriciales de una transformación lineal. Con la idea de eigenvectores, hablamos de representaciones sencillas.
Polinomio característico - [Detalles]
Hablamos de polinomio característico y cómo ayuda a encontrar eigenvalores y eigenvectores. Vemos que no depende de la base elegida.
Formas lineales y formas bilineales - [Detalles]
Hacemos un repaso de formas lineales y bilineales con el fin de usarlas posteriormente en nuestro estudio de diferenciabilidad.
Formas cuadráticas - [Detalles]
Hacemos un repaso de lo que son las formas cuadráticas. Vemos la identidad de polarización, el teorema de Gauss y hablamos de positividad.
Diferenciabilidad en campos vectoriales - [Detalles]
Definimos diferenciabilidad en campos vectoriales. La relacionamos con derivadas parciales, direccionales y la matriz jacobiana.
Regla de la cadena para campos vectoriales - [Detalles]
Enunciamos y demostramos la regla de la cadena para campos vectoriales, es decir, de varias variables. Damos ejemplos de su uso.
Introducción al teorema de la función inversa - [Detalles]
Enunciamos el teorema de la función inversa y lo explicamos. Probamos resultados auxiliares para su demostración.
Demostración del teorema de la función inversa - [Detalles]
Demostramos el teorema de la función inversa para varias variables (campos vectoriales). Damos un ejemplo de su aplicación.
Teorema de la función implícita y demostración - [Detalles]
Damos el teorema de la función implícita para campos vectoriales (varias variables). Lo demostramos con el teorema de la función inversa.
Ejemplos e intuición del teorema de la función implícita - [Detalles]
Damos ejemplos del teorema de la función implícita de varias variables para entenderlo mejor. Hablamos de la intuición detrás.
Divergencia, laplaciano y rotacional - [Detalles]
Hacemos una breve introducción de los conceptos de divergencia, laplaciano y rotacional. Los relacionamos con posibles aplicaciones.
Puntos críticos de campos escalares - [Detalles]
Desarrollamos cómo entender los valores extremos (máximos y mínimos) de campos escalares en términos del gradiente y la matriz hessiana.
Multiplicadores de Lagrange - [Detalles]
Enunciamos y demostramos el teorema de multiplicadores de Lagrange para optimizar campos escalares bajo restricciones. Damos ejemplos de uso.
COMAL: Cálculo Diferencial e Integal III - [Detalles]
Curso de Cálculo Diferencial e Integral III en notas tipo blog. Trabajo realizado con el apoyo del Programa UNAM-DGAPA-PAPIME PE109323.